Universit degli studi di Lecce Corso di laurea

Università degli studi di Lecce Corso di laurea in Matematica e Informatica Corso Seminariale a. a. 2005 - 2006 Automi e macchine di Turing Macchia Sara

Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Perché si studia la teoria degli automi? La teoria degli automi è lo studio di dispositivi computazionali o “macchine”. Gli automi, originariamente, furono proposti per creare un modello matematico che riproducesse il funzionamento del cervello. 2/61

Automi e macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Gli automi finiti sono degli utili modelli per molti importanti tipi di software: • software per la progettazione e la verifica del comportamento dei circuiti digitali; • l’ ”analizzatore lessicale” di un compilatore; • software che eseguono una scansione di testi molto lunghi per trovare parole, frasi, ecc. ; • software per verificare i protocolli di comunicazione o protocolli per lo scambio sicuro di informazioni. 3/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi • Cos’è un automa? Macchine di Turing Un automa è un dispositivo, o un sistema in forma di macchina sequenziale, che, ad ogni istante, può trovarsi in un determinato “stato”. Funzioni calcolabili con Md. T Lo scopo dello stato è quello di ricordare la parte rilavante della storia del sistema. Problema dell’arresto Finché ci sono solo un numero finito di stati, l’intera storia del sistema non può essere ricordata. 4/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi • Esempio 1 Un automa finito che rappresenta un interruttore on/off Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto rappresenta gli stati rappresenta l’input indica lo stato iniziale 5/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi • Esempio 2 Un automa finito che riconosce la parola then Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto L’automa ha bisogno di cinque stati rappresenta l’unico stato finale possibile 6/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Descrizione modellistica Il modello di un automa consiste di un dispositivo di controllo, con un numero finito di stati, una testina di lettura e un nastro infinito diviso in celle. … Stato … Testina Controllo a stati finiti 7/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione • Definizione Automi Si chiama automa a stati finiti deterministico (ASFD) un sistema M definito come segue Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto M = (Q, A, t, q 0, F) dove Q è un insieme finito di stati A è un insieme finito di caratteri che costituiscono l’alfabeto t: Qx. A->Q è una funzione che associa ad ogni coppia (stato, carattere) uno stato (detta di transizione) q 0 è lo stato iniziale con q 0 Q F è l’insieme degli stati finali, F Q 8/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Vediamo come un ASFD accetta o meno una sequenza di simboli in input: sequenza di simboli in input stato iniziale a 1 a 2 … an q 0 funzione di transizione t(q 0, a 1) = q 1 a 2 -> t(q 1, a 2) = q 2 … trovo così q 3 q 4 q 5 … qn Se qn F allora l’input a 1 a 2 … an viene accettato, cioè la parola viene riconosciuta. 9/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Automi a stati finiti NON deterministici Come un ASFD, un automa a stati finiti non deterministico (ASFND) ha: • un insieme finito di stati; • un insieme finito di simboli in input • una funzione di transizione t In questo caso t non ritorna sempre e solo uno stato, ma un insieme di zero, uno o più stati, cioè l’automa può essere nello stesso tempo in stati diversi. 10/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi • Esempio Un ASFND che accetta tutte e sole le stringhe di 0 e 1 che finiscono per 01. Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Sebbene abbia più alternative ad ogni passo, un ASFND non usa nessun meccanismo probabilistico (potrebbe portare al non riconoscimento della parola) bensì utilizza tutte le possibili transizioni. Se almeno una di esse lo porta in uno stato finale, la parola è riconosciuta. 11/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing • Esempio Rappresentazione tramite albero delle alternative Vediamo cosa succede quando il nostro automa riceve come input la sequenza 00101 Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto 12/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione • Definizione Automi Si chiama automa a stati finiti non deterministico (ASFND) un sistema M definito come segue Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto M = (Q, A, t, q 0, F) dove Q, A, q 0, F sono definiti come per gli ASFD t: Qx. A->2 Q è una funzione che associa ad ogni coppia (stato, carattere) uno stato appartenente all’insieme 2 Q, dove 2 Q è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di Q. Es. t(q 0, a) = {q 1, q 2 , q 3} indica che la macchina nello stato q 0, se legge a può transitare in uno dei tre possibili stati 13/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Un altro modo per visualizzare il funzionamento di un ASFND è quello di immaginare che esistano più copie dello stesso automa. Si inizia ad esaminare la parola in ingresso con un automa solo. Quando sono possibili più di una transizione si creano tanti automi quante sono le alternative. Ad ogni passo esiste un insieme di automi tutti in stati diversi. Se non è possibile una transizione l’automa viene soppresso. La parola sarà riconosciuta se alla fine almeno una delle 14/61 macchine è in uno stato finale.

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Equivalenza tra ASFD e ASFND Teorema Per ogni ASFND, N, ne esiste uno equivalente deterministico, D, cioè tale che L(N) = L(D) Dato N = (QN, A, t. N, q 0, FN) definiamo D come segue: 1. Gli stati QD rappresentano tutti i possibili sottoinsiemi di QN (se QN ha n stati QD ne avrà 2 n) [ q 0, q 1 , … , qk] = stato corrispondente all’insieme { q 0 , q 1 , … , qk } 2. Gli stati finali FD sono tutti i sottoinsiemi S di QN tali che S FN 15/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto 3. Lo stato iniziale è quello che corrisponde all’insieme {q 0} con q 0 stato iniziale di N 4. La funzione di transizione è data da: 5. 6. t. D([q 0, … , qi], a) = [t. N(q 0, a) t. N(q 1, a) … t. N(qi, a) con a generico simbolo dell’alfabeto A 5. L’alfabeto di D è identico a quello di N 6. Resta così definito D = (QD, A, t. D, q 0, FD) 16/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Automi a stati finiti e grammatiche regolari Abbiamo appena visto come ASFD e ASFND accettano la stessa classe di linguaggi. Vogliamo mostrare che questa classe coincide con le espressioni regolari, cioè che: 1. ogni linguaggio definito da uno dei tipi di automi è anche definito da una espressione regolare. 2. ogni linguaggio definito da un’espressione regolare è definito da uno di questi automi. 17/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione • Automi a stati finiti e grammatiche regolari Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto 2. 1. - NFA = automa a stati finiti non deterministico con transizione su cioè sulla stringa vuota. , 18/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Automi a stati finiti e grammatiche regolari Teorema Dato un automa a stati finiti M, esiste una grammatica regolare G t. c. L(G) = L(M) Assegnato un ASFD M = (Q, A, t, q 0, F) si costruisce la grammatica regolare con la seguente procedura: 1. l’insieme dei simboli terminali VT coincide con A; 2. l’insieme dei simboli non terminali VN coincide o è in corrispondenza biunivoca con Q; 3. il simbolo iniziale S di G è il simbolo non terminale che corrisponde a q 0; 19/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione • Automi a stati finiti e grammatiche regolari Automi 4. L’insieme delle produzioni P è dato da: Macchine di Turing 5. Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto 6. ad ogni transizione dallo stato qi allo stato qj per effetto del carattere ah si associa una produzione Ni-> ah Nj, con Ni e Nj simboli non terminali corrispondenti a qi e qj Se qj F si aggiunge la produzione Ni-> ah Allo stesso modo si dimostra che … 20/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing • Automi a stati finiti e grammatiche regolari Teorema Ogni linguaggio definito da un’espressione regolare è anche definito da un automa a stati finito (non deterministico con transizione ). Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto 21/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Esempio Supponiamo di avere il linguaggio L = { anbn con n>1} Vogliamo vedere se questo è riconoscibile da un automa a stati finiti. Gli automi a stati finiti posseggono una memoria finita e quindi non sono in grado di riconoscere linguaggi che, per la loro struttura, richiedono di ricordare una quantità di “informazioni” non limitate. 22/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T • Automi a pila Un automa a pila è costituito da: • un controllo a stati finiti • un nastro di ingresso • una memoria ausiliaria a pila di lunghezza infinita a b c a a nastro di ingresso b Problema dell’arresto controllo finito p 1 p 2 … memoria a pila 23/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing • Automi a pila In ogni situazione l’automa a pila può compiere due tipi di mosse: Funzioni calcolabili con Md. T leggere il contenuto di una cella del nastro ed il simbolo in cima alla pila, passare in un nuovo stato e sostituire il simbolo letto dalla pila con una stringa (la testina avanza); Problema dell’arresto come prima, ma senza leggere alcun simbolo dal nastro e senza avanzamento della testina; Questa seconda mossa permette all’automa di manipolare il contenuto della pila. 24/61

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione • Definizione Automi Un automa a pila M è un sistema (Q, A, R, t, q 0, Z 0, F) dove Macchine di Turing Q è un insieme finito di stati Funzioni calcolabili con Md. T R è un alfabeto finito, detto alfabeto della pila Problema dell’arresto A è un alfabeto finito, detto alfabeto del nastro q 0 Q è lo stato iniziale Z 0 R è il simbolo iniziale, cioè l’unico simbolo che appare all’inizio della pila F Q è l’insieme degli stati finali t: Q x A x R -> Q x R è la funzione di transizione

Automi e macchine di Turing Automi Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Esempio Supponiamo di avere il linguaggio L = { 0 n 1 n 2 n con n>1} Vogliamo vedere se questo è riconoscibile da un automa a pila. Così come abbiamo visto nel caso degli automi a stati finiti, anche in questo caso la “memoria” del nostro automa non basta a riconoscere questo linguaggio. Dobbiamo potenziare ancora il nostro automa. 26/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T • Descrizione modellistica della Macchina di Turing Una Md. T può essere vista come un organo di controllo a a stati finiti con associato un nastro di lunghezza infinita nel quale vengono immagazzinate le sequenze di simboli su cui si opera. programma CONTROLLO comandi della testina e del nastro Problema dell’arresto … A 0 1 3 … 27/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T • Descrizione modellistica della Macchina di Turing Il comportamento della Md. T può essere descritto mediante una tabella detta matrice funzionale in cui le righe rappresentano gli stati del controllo e le colonne rappresentano i simboli in ingresso. Es. la macchina si trova nello stato qi e legge il simbolo sj sj Problema dell’arresto qi scrive un altro simbolo sk si porta nello stato qr s k qr x t si sposta sul nastro di una casella a sx o a dx a seconda che sia xt=D o xt=S

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Descrizione modellistica della Macchina di Turing La specifica delle condizioni, ad ogni passo, della configurazione del nastro, della posizione della testina e dello stato del controllo, prende il nome di descrizione istantanea (DI). Per computazione di una Md. T intendiamo la sequenza finita di DI, di cui la prima è iniziale e l’ultima è finale, e ognuna è ottenuta dalla precedente in un passo. 29/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Descrizione matematica della Macchina di Turing S = {s 0, … , sn} alfabeto finito di simboli Q = {q 1, … , qm} alfabeto finito di stati M = {D, S} insieme dei simboli degli spostamenti s 0 rappresenta la casella bianca sul nastro La configurazione di una Md. T ad ogni istante può essere rappresentata come una stringa infinita di simboli … s 0 s 0 si 1 si 2 si 3 … sik-1 qr sik+1 … sif s 0 s 0 … di cui solo un numero finito è diverso da s 0 30/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Descrizione matematica della Macchina di Turing Questa stringa infinita si può rappresentare schematicamente con dove q Q, s S, S* dove S* rappresenta l’insieme di tutte le sequenze finite di simboli di S. Quindi una stringa del tipo della Md. T. sarà una DI Il modo di funzionare della macchina è descritto da quintuple del tipo qisjsijqijxij con si, sj S xij M qi, qij Q

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione • Definizione Automi Una macchina di Turing Z è una terna (Q, S, P) dove Macchine di Turing Q è un insieme finito di stati Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto S è un insieme finito di simboli (con s 0 bianco) P è un sottoinsieme di Q x S x Q x {S, D}, cioè l’insieme delle quintuple di Z, con la proprietà che non ci sono due quintuple con i primi due membri uguali 32/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Definizione Introduciamo ora la relazione |- tra descrizioni istantanee DI. Diremo che due DI sono in relazione |- tra loro se la seconda DI rappresenta la configurazione ottenuta in un passo da quella rappresentata dalla prima DI. Definizione Sia Z = (Q, S, P) una Md. T. La relazione |- è definita come segue: se qss’q’D P se qss’q’S P 33/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi • Definizione Una computazione della Md. T Z è una sequenza finita Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto z 0 , z 1 , z 2 , … , zm di descrizioni istantanee DI di Z tali che zm è una DI terminale, cioè se zm= allora nessuna quintupla in P inizia con qs, ed inoltre zj|- zj+1 per . 34/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Esempio Calcolo del successivo di un numero Costruire la Md. T che, dato un numero scritto in base 10, ne calcola il successivo. La matrice funzionale è: q 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b 1 q 1 D 2 q 1 D 3 q 1 D 4 q 1 D 5 q 1 D 6 q 1 D 7 q 1 D 8 q 1 D 9 q 1 D 0 q 0 S 1 q 1 D q 1 q 0 1 deve ancora essere sommato q 1 1 è già stato sommato 35/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Macchine di Turing generalizzate Teorema di equivalenza tra Md. T ordinarie e generalizzate Data una Md. T Z con n nastri, il j-esimo dei quali è di dimensione kj ed è esaminato da hj testine, questa può essere simulata da una Md. T Z’ con nastro monodimensionale esaminato da una sola testina. 36/61

Automi e macchine di Turing Macchine di Turing Introduzione • Macchine di Turing generalizzate Automi Teorema (Shannon, 1956) Macchine di Turing Una qualsiasi Mdt con n simboli ed m stati può essere simulata da una Md. T a due stati, aumentando opportunamente il numero di simboli del suo alfabeto. Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Teorema (Shannon, 1956) Una qualsiasi Mdt può essere simulata da una Md. T con un alfabeto di due simboli, aumentando opportunamente il numero dei suoi stati. 37/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Sia S un linguaggio in cui descrivere i nostri algoritmi. Macchine di Turing Un algoritmo che termini sempre definisce una funzione f. A. Funzioni calcolabili con Md. T Se i dati iniziali e i risultati finali si considerano la codifica dei numeri naturali, ad ogni algoritmo A che termina viene associata una funzione Problema dell’arresto f. A: N -> N funzione calcolata dall’algoritmo Nel caso la funzione non sia definita per alcuni valori verrà detta parziale. 38/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Si noti che mentre ad ogni algoritmo A di S è associata una sola funzione f. A, la stessa funzione f può essere associata a più di un algoritmo f=f. A’’. Sia AS l’insieme di tutti i possibili algoritmi in S. L’insieme FS={f. A|A A S} è l’insieme delle funzioni calcolabili in S e la sua ampiezza è la più chiara misura della potenza del linguaggio S. Ci chiediamo se esiste un formalismo S t. c. il suo insieme FS comprenda tutte le funzioni. 39/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Sia S un insieme finito di N elementi, allora la sua cardinalità sarà uguale a N (#S=N) Un sottoinsieme di S è perfettamente individuato da un numero binario di N cifre: la i-esima cifra dice se nel sottoinsieme è presente o no l’i-esimo elemento si di S. Es. Se S={s 1, s 2, s 3} allora il numero binario 011 indica il sottoinsieme {s 2, s 3}. Il numero dei possibili sottoinsiemi di S è pari al numero di numeri binari di N cifre, cioè 2 N. 40/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Automi Quindi la cardinalità dell’insieme dei sottoinsiemi di S (2 S) sarà 2 N. Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Ragionando in modo analogo si vede come un sottoinsieme dell’insieme N sia individuato da un numero binario di infinite cifre. Es. 1010101… corrisponde biunivocamente al sottoinsieme dei numeri pari Quindi se esistesse una corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali e sottoinsiemi di numeri naturali, allora esisterebbe anche una corrisp. biunivoca tra naturali e numeri binari di infinite cifre 41/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Automi Ragioniamo per assurdo e ammettiamo che tale corrispondenza esista. Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Sia Bi= bio, bi 1, … il numero binario corrispondente al naturale i e sia bij la sua j-esima cifra. 0 1 … j … 0 b 01 … b 0 j … 1 b 10 b 11 … b 1 j … … … … i bi 0 bi 1 … bij … … … … 42/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Automi Consideriamo il numero B = b 00, b 11, … , bii, … ottenuto prendendo gli elementi sulla diagonale. Macchine di Turing Calcoliamo il suo complementare B’. Funzioni calcolabili con Md. T B’ non è contenuto nella tabella perché se così fosse apparirebbe in una certa riga, ad esempio la k-esima e risulterebbe B’=Bk ASSURDO Problema dell’arresto perché la k-esima cifra di B’ starebbe sulla diagonale e quindi sarebbe bkk anziché il suo complementare. Questo ci dice che la corrispondenza cercata nn esiste e che quindi #N < #2 N 43/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Automi Se Fb = {f|f: N ->{0, 1} } Macchine di Turing abbiamo che #2 N = Fb Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto insieme delle funzioni binarie definite su N Infine ponendo F = {f|f: N -> N} , poiché Fb F si ottiene #Fb <= #F Quindi #N < #2 N = #Fb <= #F da cui #N < #F cioè le funzioni dai naturali non sono numerabili. 44/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Automi Torniamo al nostro generico linguaggio S. Macchine di Turing Supponiamo di aver ordinato tutti i simboli di S (finiti) in un modo qualsiasi. Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Supponiamo poi di considerare tutti gli algoritmi scritti in S (infiniti) e di ordinarli in base al numero di simboli da cui sono composti, poi seguendo le precedenze tra simboli. Appena fatto l’ordinamento abbiamo ottenuto anche una corrispondenza biunivoca tra gli algoritmi di S e alcuni (o tutti) i numeri naturali. 45/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Automi Quindi, ricordando che AS denota l’insieme degli algoritmi di S, abbiamo Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto #AS <= #N, ma abbiamo appena dimostrato che #N < # F, pertanto #AS < #F. Dalla definizione di FS abbiamo #FS <= #AS (poiché FS può essere messo in corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme di AS ottenuto togliendo da AS tutti gli algoritmi che calcolano la stessa funzione, tranne quello di indice minimo). 46/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione • Nonesistenza di algoritmi per tutte le funzioni Automi Ricapitolando, abbiamo che Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto #FS <= #AS < # F da cui #FS < # F e, essendo FS F, abbiamo finalmente FS F che era quanto volevamo dimostrare, cioè che l’insieme delle funzioni calcolabili in S è solo un sottoinsieme dell’insieme di tutte le funzioni dai naturali. 47/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Vogliamo ora associare alla generica macchina di Turing Z una funzione dai naturali, così come abbiamo fatto per il generico algoritmo A. Bisogna definire innanzitutto una codifica dei numeri naturali in termini delle DI iniziali delle Md. T ci: N -> DI Anche se non tutte le DI iniziali sono codifica di qualche naturale, ciò non importa. Invece, ad ogni naturale deve corrispondere una diversa DI iniziale. 48/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Bisogna poi definire una seconda (de)codifica tra le DI finali e i naturali cf: Df -> N In questo caso ogni naturale deve essere la decodifica di qualche DI finale, ma non necessariamente una sola. Infine, ricordando che una Md. T Z definisce una funzione parziale gz : DI -> DF allora la composizione delle tre funzioni ci, gz e cf definisce una funzione parziale fz : N -> N che è detta funzione calcolata dalla Md. T Z. 49/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Come codifica ci scegliamo: ad ogni numero naturale corrisponde una DI iniziale in cui tutto il nastro è bianco, eccetto una sequenza di n simboli s 1 consecutivi, lo stato interno è q 0 e la testina è posizionata col simbolo s 1 più a sinistra. Es. Al numero 3 corrisponde la DI iniziale … s 0 q 0 s 1 s 1 s 0 s 0 … 50/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Come codifica cf scegliamo: il numero di s 1 consecutivi alla destra della testina, compreso il simbolo puntato dalla testina stessa Es. … s 0 s 0 s 1 s 0 s 1 qi s 1 s 0 … s 0 s 1 qi s 0 s 1 s 0 … corrisponde a 2 vale 0 Con queste convenzioni resta univocamente individuata la funzione cioè la funzione calcolata dall’i- esima macchina di Turing. 51/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Consideriamo ora l’insieme di funzioni Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto FT = { | i = 1, 2, …} Ci chiediamo: • quanto è ampia la classe FT ? • esiste una funzione f(x) non in FT ma calcolabile in altri formalismi? A queste domande risponde la Tesi di Church o Tesi di Turing. 52/61

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Tesi di Church La tesi di Church ci permette: a) di fare riferimento all’insieme delle funzioni calcolabili FC senza specificare “con macchine di Turing”; b) di assumere l’esistenza di una Md. T equivalente per ogni algoritmo che sia intuitivamente tale. Esamina in dettaglio ogni ragionevole passo elementare di ogni ragionevole definizione di algoritmo e fa vedere come tale passo possa essere realizzato con una Md. T. Sono solo intuitive, non costituiscono dimostrazione.

Automi e macchine di Turing Funzioni calcolabili con Macchine di Turing Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Esistenza della macchina di Turing Universale Un esempio molto importante di applicazione della tesi di Church è costituito dalla Md. T universale. Essa accetta come dati: a) la descrizione di una certa Md. T Zy; b) il dato iniziale x. 1. Una Md. T universale è quindi una particolare Md. T capace di simulare, o di interpretare, ogni altra Md. T. 2. Essa è la formalizzazione più corretta di un ordinario calcolatore, infatti introduce la possibilità di avere il programma memorizzato. 54/61

Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto L’aver dimostrato l’esistenza della Md. T universale, ci mette di fronte ad un altro problema: Esiste una Md. T in gradi di decidere, per una qualsiasi coppia (M, d) costituita da una Md. T M e da una stringa di dati d, se quando si fornisce d a M, questa si evolve fino ad arrestarsi (o meno)? Turing ha dimostrato che la Md. T universale non è in grado di decidere in ogni caso il problema dell’arresto, quindi nessuna Md. T può farlo. 55/61

Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Introduzione • Esempio Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto Proviamo a modificare questo semplice programma. 56/61

Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Introduzione • Esempio Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto 57/61

Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto L’ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono quattro interi x, y, z e n con n>2 tali che x n + y n = zn Supponiamo di prendere ora il nostro programma P. Vogliamo trovare un programma che, preso in input il programma P e l’input I, dica se P (con l’input I) scrive “hello, world”. 58/61

Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Introduzione Macchine di Turing Se un problema ha un algoritmo come H, che dice sempre correttamente se un’istanza del problema ha risposta “si” o “no” allora il problema si dice decidibile, altrimenti si dice indecidibile. Funzioni calcolabili con Md. T Si prova che tale H non esiste per il nostro problema e cioè che il problema “hello, world” è indecidibile. Problema dell’arresto Questo risultato negativo costruisce un limite per tutti i meccanismi computazionali. Automi 59/61

Automi e macchine di Turing Problema dell’arresto Introduzione Automi Macchine di Turing Funzioni calcolabili con Md. T Problema dell’arresto • Teorema di incompletezza di Gödel (primo) L’indecidibilità del problema dell’arresto si dimostra equivalente al teorema di incompletezza di Gödel: “In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere l’aritmetica, esiste una formula tale che, se T è coerente, allora né né la sua negazione sono dimostrabili in T” Questo teorema dimostra che qualsiasi sistema che permette di definire i numeri naturali è necessariamente incompleto: esso contiene affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità. 60/61

Automi e macchine di Turing Fonti principali: • AIELLO, ALBANO, ATTARDI, MONTANARI “Teoria della computabilità, logica, teoria dei linguaggi formali” • HOPCROFT, MOTWANI, ULLMAN “Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation” • http: //it. wikipedia. org • http: //www. turing. org. uk 61/61