UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MEC NICA Equações Diferenciais e Aplicações na Engenharia: Vibrações de Vigas, Barras e Cabos Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS 2007

Um resultado obtido no projeto: Equações Diferenciais e Engenharia de Segurança no Trabalho – Algumas Aplicações Básicas Fapergs – Processo: 05510790

Dados de Identificação • Aluno Bolsista: Fábio Henrique de Souza • Curso: Engenharia Mecânica • Professor Orientador: Elisabeta D’ Elia Gallicchio • Período de Vigência: outubro de 2006 a julho de 2007 • Instituição: Universidade Federal do Rio Grande do Sul • Unidade: Instituto de Matemática • Órgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada

Objetivos • Resolver problemas pertinentes à construção civil. • Estudar as equações utilizadas na modelagem dos problemas e os métodos adequados a sua resolução. • Em cada caso, resolver o sistema e simular a resposta através de animação com o software Maple.

Problemas Resolvidos • Deflexão de vigas • Vibração de barras • Vibração de cabos • Vibração de uma membrana circular

Deflexão de Vigas • Deformação elástica das vigas Deflexão vertical: • Modelagem: equação diferencial ordinária de quarta ordem

Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada • A partir da relação entre o momento fletor e a carga por unidade de comprimento • Chega-se a EDO que modela a deflexão da viga • Para um caso particular em que L=10 m, E=8 x 10 N/m² e Iz=3 x 10 m

Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada • Com a carga representada pela Delta de Dirac • E as condições de contorno • A resposta do sistema com o método da Transformada de Laplace é

Deflexão de Vigas – Viga Engastada-apoiada • Simulação da deflexão: • Flecha:

Vibração de Vigas Vibração transversal de vigas • Modelagem: equação de Euler-Bernoulli

Vibração de uma Viga Bi-apoiada • Equação de Euler-Bernoulli • Condições de contorno Condições iniciais

Vibração de uma Viga Bi-apoiada

Vibração de uma Viga Bi-apoiada • Simulação

Vibração de Barras Vibração longitudinal: • Modelagem - através da equação da onda unidimensional

Vibração de Barras – Barra em Balanço Modelagem: • Equação diferencial Condições de contorno Condições iniciais

Vibração de Barras – Barra em Balanço • Resposta do sistema • Barra com posição inicial u(x, 0)=f(x)=0. 01 m, L=10 m, E=21*10 N/m² e ρ =7*10³ kg/m³

Vibração de Barras em Balanço

Vibração de Barra em Balanço • Simulação

Vibração de Barra em Balanço • Simulação

Vibração de Cabos • Inúmeras aplicações na construção civil • Em particular, são usados nos mecanismos de segurança. • Exemplo: o mecanismo linha de vida, usado para impedir a queda de trabalhadores em obras realizadas a grandes alturas

Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância • A equação da corda vibrante, sobre atuação de uma força proporcional à distância • Condições de contorno Condições iniciais

Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância • Do método de separação de variáveis e as condições de contorno, obtém-se a resposta • Coeficientes Entrada do sistema

Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância • Com L=1 m, c=1/4 m/s, A=60 kgf, • Posição inicial do cabo

Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância • Posição do cabo para vários tempos

Vibração de Cabo Sujeito a uma Força Proporcional à distância • Simulação

Vibração de Cabos • Mecanismo da linha de vida

Vibração de uma Membrana Circular • Equação diferencial • O deslocamento independe do ângulo θ

Vibração de uma Membrana Circular Condições de contorno Condições iniciais

Vibração de uma Membrana Circular • Com o método de separação de variáveis • Coeficientes

Vibração de uma Membrana Circular

Vibração de uma Membrana Circular • Simulação

Agradecimentos • À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS, pelo apoio. • À MR Engenharia Empreendimentos e Consultorias Ltda, em especial à Eng. ª de Segurança no Trabalho Maria Regina Pereira Buss, pelo acesso ao canteiro de obras. • À Professora Elisabeta D’ Elia Gallicchio, pela orientação. • Aos professores Ignácio Iturrioz e Jun Sérgio Ono Fonseca do Curso de Engenharia Mecânica que esclareceram dúvidas.

Referências • ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V. ACADEMIC PRESS, New York, US, 1998. • ASMAR, N. Partial Differential Equations and Boundary Value Problems. Prentice-Hall, Inc. , New Jersey, US, 2000. • AYRES, Frank Jr. , Equações Diferenciais, Coleção Schaum, 1ª ed, Rio de Janeiro, ed. Livro Técnico S. A. , 1966. • CLAEYSSEN, J. , GALLICCHIO, E. , TAMAGNA, A. , Sistemas Vibratórios Amortecidos, Porto Alegre, Editora da UFRGS, 2004. • HIBBELER, R. C. , Estática: Mecânica para Engenharia, São Paulo, Editora Pearson, 2005. • INMAN, Daniel J. , Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc. , New Jersey, US, 1996. • LECKAR, H. , SAMPAIO, R. , CATALDO, E. , Revista Tema – Tendências em Mat. Aplicada Computacional, SBMAC, 2006.

Referências • MADALOZZO, D. , GALLICCHIO, E. , Transporte Vertical de Materiais, Suspensão de Cargas e Deslocamentos Horizontais: Uma Abordagem Matemática na Análise de Situações em um Canteiro Obras, XVIII Salão de Iniciação Científica UFRGS/2006. • SAMPAIO, R. , ALMEIDA, P. , RITTO, T. , Vibrações Mecânicas – Dinâmica de Estruturas Flexíveis, PUC, Rio de Janeiro, 2007. • SPIEGEL, Murray, Equaciones Diferenciales aplicadas, Prentice-Hall Inc. , Máxico, 1983. • THOMSON, Willian T. , Teoria da Vibração com Aplicações, Editora Interciência, Rio de Janeiro, 1978. • WHITE, Richard N. , GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G. , Estructural Engineering – Introdution to Design Concepts and Analysis, V. 1, Canada, John Willey & sons Inc, 1972.

Equações Diferenciais e Aplicações na Engenharia: Vibrações de Vigas, Barras e Cabos Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul – FAPERGS 2007