UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 4 Rafael Salas noviembre de 2005

Esquema. . . Propiedades: Los axiomas imponen una serie de propiedades o restricciones: F. de demanda ordinaria F. indirecta de utilidad F. de gasto Ecuación de Slutsky F. de demanda compensada

Propiedades f. de demanda ordinaria l (1) Existen, contínuas y diferenciables (ya visto) l (2) Homogéneas de grado 0 en p e Y xid (p, Y) = xid (tp, t. Y) para todo t >0, p, Y l (3) Restricción presupuestaria pxid (p, Y) = Y (4) Las derivadas de xid con respecto a p e Y pueden tener cualquier signo, aunque existen unas restricciones: l

Homogeneidad de grado 0 en p e Y x 2 xd (tp, t. Y) = xd (p, Y) Consumo óptimo dado tp y dados t. Y l x*x* Consumo óptimo dado p, y dado Y l x 1

Restricciones: Diferenciando la propiedad (3) con respecto a pj se deduce la: (4. 1) Condición de agregación de Cournot o lo que es lo mismo: Donde es la elasticidad-precio cruzada ordinaria entre i y j, y Si es la proporción del gasto en el bien i sobre el gasto total.

Restricciones: Diferenciando la propiedad (3) con respecto a Y se deduce la: (4. 2) Condición de agregación de Engel o lo que es lo mismo: Donde es la elasticidad-renta del bien i

Restricciones: De la propiedad (2) se deduce por el teorema de Euler: (4. 3) Condición de homogeneidad: o lo que es lo mismo:

Restricciones: De la ecuación de Slutsky deduciremos más adelante otra serie de restricciones sobre los signos. Antes veamos algunas propiedades de la función indirecta de utilidad

La función indirecta de utilidad Si introducimos todas las xid (p, Y ) en la función de utilidad obtenemos la función indirecta de utilidad: V ( p , Y ) = U ( x d ( p , Y) ) Indica la máxima utiidad obtenible, dados los precios de los bienes y un nivel de renta del individuo

Propiedades f. indirecta de utilidad • (1) Homogéneas de grado 0 en p e Y V (p, Y) = V (tp, t. Y) para todo t >0, p, Y l (2) Creciente en Y y no creciente en p l (3) Identidad de Roy…

Homogeneidad de grado 0 en p e Y x 2 V(tp, t. Y) = V(p, Y) Máxima utilidad, dado tp y dados t. Y l x*x* Máxima utilidad dado p, y dado Y l x 1

Identidad de Roy: x id = – V (p, y) / pi ———— V (p, y) / y Desutilidad marginal del § Differentiate w. r. t. precio de i p§ i Use. Shephard’s Lemma Utilidad marginal de la renta Demostración: se basa en el teorema de la envolvente DETALLES Nos permite rescatar la función de demanda ordinaria a partir de la función indirecta de utilidad n Nos permite observar que =utilidad marginal de la renta (positiva) n

La función de gasto Si introducimoslos xic (p, U ) en la definición de gasto obtenemos la función de gasto: e (p, U) = pi xic (p, U) Indica el mínimo gasto obtenible, dados los precios de los bienes y un nivel de utilidad

Propiedades f. de gasto • (1) Homogéneas de grado 1 en p e (p, U) = t e (tp, U) para todo t >0, p, U l (2) Creciente en U y no decreciente en p l (3) Lema de Shepard…

Homogeneidad de grado 1 en p x 2 e(tp, u) = t Sipi xic = t e(p, u) Mínimo gasto dados tp, yu l x*x* Mínimo gasto dados p yu l x 1

Lema de Shepard: n xic(p, u) = e (p, u)/ pi Demostración: se basa en el teorema de la envolvente DETALLES Nos permite rescatar la función de demanda compensada partir de la función de gasto n Determina el signo de ciertas respuestas: función de gasto cóncava en p y simetría de efectos sustitución cruzados (más adelante) n

Lema de Shephard Pendiente = x 1 c e e(p, u) _______ c = xi pi pi

La f. de gasto es cóncava en precios e D B A Gasto en D > 1/2 [Gasto en A + Gasto en B] p 1

La f. de gasto es cóncava en precios e(p*, u) t e(p’’, u) + (1 -t) e(p’, u) x 2 l x’’ l x* l x’ x 1

Demostración Dados p’, p’’ y p* = tp’’ + (1 -t)p’ tenemos inicialmente que : p’’x* p’’x’’ y p’x* p’x’ Si multiplicamos por t y 1 -t las dos expresiones, donde 0 t 1, y las sumamos : tp’’x* + (1 -t)p’x* tp’’x’’+ (1 -t)p’x’ Pero como p* = tp’’ + (1 -t)p’ tenemos: p*x* tp’’x’’+ (1 -t)p’x’ Con lo cual: e(p*, u) t e(p’’, u) + (1 -t) e(p’, u)

Propiedades f. de demanda compensada l (1) Homogéneas de grado 0 en p xic(p, U)= xic( p, U) l (2) Los efectos con respecto a p son no positivos (negativos, si convexidad estricta)… l (3) Los efectos cruzados son simétricos… l (4) La matriz de efectos sustitución es semidefina negativa

Restricciones: De la propiedad (1) se deduce aplicando el teorema de Euler: (1 bis) Condición de agregación: o lo que es lo mismo:

Restricciones: (2) Negatividad del efecto sustitución propio Por la concavidad de la función de gasto, o lo que es lo mismo: Donde es las elasticidades cruzadas compensadas

Restricciones: (3) Simetría del efecto sutitución cruzado Implicación: los bienes son inequívocamente sustitutos o complementarios “netos”. Se rompe la ambigüedad existente en el concepto “bruto”

Relaciones. . . La ecuación de Slutsky va a relacionar las funciones de demanda ordinaria y compensada. Antes formulemos unas identidades propias de la dualidad : n xic(p, u) = xid(p, e(p, u )) n xid(p, Y) = xic(p, V(p, Y ))

Ecuación de Slutsky. . . La ecuación de Slutsky relaciona las funciones de demanda ordinaria y compensada :

Ecuación de Slutsky. . . La ecuación de Slutsky introduce restricciones en ciertos signos: ET= ES + ER -(vo), si bien normal ET, -(vo) +(vo), si bien inferior ET, ambiguo

Ecuación de Slutsky. . . La ecuación de Slutsky más general : En términos de elasticidades : Donde y son las elasticidades cruzadas ordinarias y compensadas es la elasticida renta de i y sj es la proporción de gasto de j

Restricciones: (2) Negatividad del efecto sustitución propio (de nuevo) Donde y son las elasticidades precio ordinarias y compensadas es la elasticida renta de i y si es la proporción de gasto de i sobre el total

Otras relaciones. . . Por último, vemos como se relacionan la función de gasto y la función indirecta de utilidad: n e(p, U*) = Y* e(p, V(p, Y)) = Y n V(p, Y*) =U* V(p, e(p, U)) =U La función de gasto es la inversa de la función indirecta de utilidad y viceversa

Esquema resumen P. Primal: P. Dual: C. P. O. + P. R. F. de demanda ordinaria F. D. U. C. P. O. + F. D. U. E. SLUTSKY I. ROY F. indirecta de utilidad F. de demanda compensada R. P. INVERSA L. SHEPARD F. de gasto

Otras restricciones Existen otro tipo de restricciones que se imponen a menudo en los modelos para introducir otras propiedades: Aditividad y separabilidad Condiciones de agregación de bienes Condiciones de agregación de consumidores

Práctica: § (1) Deriva las funciones de demanda que se generan de: §V= i/ i (pi/y) i donde , son parámetros positivos. Houthakker: indirect addilog model, Econometrica (1960) SOL .

Práctica: (2) Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. Razone brevemente las respuestas. (a) El efecto de sustitución con respecto al propio precio será negativo si y solo si las curvas de indiferencia son convexas al origen (b) El efecto sobre la demanda del bien j de un cambio infinitesimal del precio del bien i es idéntico al efecto sobre la demanda del bien i de un cambio infinitesimal del precio del bien j (c) La demanda ordinaria del bien i es decreciente en el precio del bien i (d) La demanda ordinaria del bien i es proporcional al efecto marginal sobre la utilidad de un incremento del precio del bien i (e) La demanda compensada del bien i es decreciente en el precio del bien i .

Práctica: (3) Un consumidor dispone de una función de utilidad indirecta: donde (p 1, . . . , pn) es el vector de precios y Y la renta monetaria y i, i son parámetros no negativos tales que Deduce la función de gasto del consumidor SOL .

Práctica: (4) ¿Qué restricciones hay que imponer al siguiente sistema de demanda para ser coherente con la teoría? (5) ¿Qué restricciones hay que imponer al siguiente sistema para ser coherente con la teoría? .

Práctica: (6) Demuestra que la homogeneidad de grado 0 de las funciones de demanda imponen que: o lo que es lo mismo (7) Demuestra que si se dan las condiciones de agregación y de simetría se cumple la condición de homogeneidad. .

Práctica: (8) Cómo dice la teoría que son los bienes: sustitutos o complementarios netos? Es decir, cómo es el signo de (9) Cómo dice la teoría que son los bienes: sustitutos o complementarios brutos? Es decir, cómo es el signo de .

Práctica: (10) Dada la siguiente matriz de efectos de sustitución de un consumidor sobre 3 bienes para los precio p 1=1, p 2=2 y p 3=6: Completa los valores que faltan. Verifica que la matriz resultante cumple las propiedades de una matriz de efectos sustitución. .

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