STATISTIEK 2 Hoofdstuk 7 Variantieanalyse hoofdstuk 7 type

STATISTIEK 2 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse hoofdstuk 7

type AV? aantal OV? type OV? niet in dit boek hoeveel populaties? parametrisch non-parametrisch one sample t-test / z-test chi-square goodness of fit onafh. independent t-test / z-test Rank-sum afh. dependent t-test Signed-ranks onafh. one way ANOVA Kruskal-Wallis afh. repeated measures ANOVA Friedman’s ANOVA Pearson correlation Spearman correlation 1 nominaal 1 2 > 2 interval/ ordinaal nominaal > 1 nominaal categorieën afhankelijk? 1 onafh. n-way ANOVA afh. repeated measures ANOVA gemengd mixed design ANOVA interval multiple regression gemengd multiple regression nominaal/ ordinaal 1 onafh. chi-square goodness of fit ≥ 2 onafh. Pearson chi-square • Hoofdstuk 7: Variantieanalyse • 2

VANDAAG Variantieanalyse: one way ANOVA & Kruskal-Wallis

VARIANTIEANALYSE Tot nu toe bij hypothesetoetsing: t-toets en z-toets voor verschil tussen 2 gemiddelden - hebben mensen die therapie A gevolgd hebben minder angst dan mensen die therapie B gevolgd hebben? - besteden jongens en meisjes evenveel tijd aan huiswerk? -> telkens 1 OV (vb. therapie, geslacht) met telkens 2 waarden -> telkens 1 AV (vb. angst, tijd) 4 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE Ook mogelijk: toetsen voor verschillen tussen meer dan 2 gemiddelden - is er een verschil in het welbevinden van kinderen met ouders die autoritair, autoritatief of permissief opvoeden? -> telkens 1 OV (vb. opvoedingsstijl) met telkens meer dan 2 waarden (vb. 3) -> telkens 1 AV (vb. welbevinden) eenwegs (‘one way’) variantie-analyse (‘ANOVA’) Bij twee OV: tweewegs (‘two way’) variantie analyse (zie volgende les) Bij meer dan één AV: MANOVA (niet in Statistiek II) 5 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE 1. Toetsingssituatie Is er een verschil in gemiddelde tussen groep a, b, c, … op variabele Y? of Is er een effect van variabele X (met niveau’s a, b, c, . . ) op variabele Y? en: Indien er een effect is, tussen welke groepen is er een verschil? (= post hoc toetsing) 6 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE 2. Voorwaarden • AV is gemeten op intervalniveau • OV wordt als nominaal beschouwd (ook al is OV soms ordinaal) • scores van AV zijn in elke populatie normaal verdeeld of aantal deelnemers is in elke populatie groter dan 30 • varianties in populaties zijn gelijk (homogeniteit) • onafhankelijke steekproeven Assumptie van normaliteit en homogeniteit minder strikt bij gelijke steekproeven 7 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE 3. Hypothesen H 0: alle populatiegemiddelden zijn aan elkaar gelijk: µa = µb = µc = … = µj als er J populaties zijn H 1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar µj ≠ µj’ voor minstens één paar van j en j’ Dus H 1 is NIET µa ≠ µb ≠ µc ≠… ≠ µj H 0 wordt getoetst door gebruik te maken varianties: De tussen-groeps-variantie of between-groups variance mean square between (MSb) De binnen-groeps-variantie of within-groups variance mean square within (MSw) 8 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE Within groups 9 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE Between groups Within groups 10 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE Between groups Within groups Wanneer de verschillen tussen groepsgemiddelden groter worden en de verschillen binnen elke groep ongeveer hetzelfde blijven wordt de betweengroups variantie groter ten opzichte van de within-groups varianties. Dus: de verhouding between-groups variantie/within-groups variantie zegt iets over het verschil tussen groepsgemiddelden. 11 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE MSw = verschillen te wijten aan verschillen tussen personen binnen dezelfde groep = inter-individuele verschillen die niet te wijten zijn aan het effect van de OV = foutenvariantie (varfout) MSb = variantie van groepsgemiddelden + variantie van scores rondom groepsgemiddelden = variantie van de effecten van OV (vareffect) + foutenvariantie (varfout) MSw = varfout MSb = vareffect + varfout 12 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE MSb = vareffect + varfout MSw = varfout -> ALS H 0 waar is, dwz. vareffect zeer klein is of gelijk is aan 0 DAN: MSb = MSw of MSb / MSw = 1 -> ALS H 0 niet waar is, dwz. vareffect verschilt van 0 DAN: MSb > MSw of MSb / MSw > 1 13 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE 4. Toetsingsgrootheid Df b = J – 1 (J =aantal groepen) Df w = N – J (N = totaal aantal waarnemingen; J = aantal groepen) Kansverdeling: F-verdeling (zie bijlage) Vb. Met df b = 3 – 1 = 2 14 en df w = 27 – 3 = 24 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE 5. Beslissingsregels a. Overschrijdingskansen (niet in tabel) Is P r (F) ≤ α ? ja, verwerp H 0 neen, verwerp H 0 niet Vb. P r (F = 7. 13) = 0. 0037 voor df b = 2 , df w= 24 P r (= 0. 0037) < 0. 05 dus H 0 verwerpen 15 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE b. kritieke waarden Is F ≥ kritieke F waarde bij df teller = df b = J – 1 df noemer = df w = N - J ja, verwerp H 0 neen, verwerp H 0 niet kritieke F waarde df b = 2 , df w= 24 bij alpha = 0. 05 = 3. 4 (zie tabel) F (7. 13) > Fkritiek (3. 4) dus H 0 verwerpen 16 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE 17 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE Wanneer H 0 verworpen is weten we dat minstens 2 groepen verschillen mbt. hun gemiddelde -> welke groepen? = post-hoc toetsing We zouden via t-toetsen elk paar van groepen met elkaar kunnen vergelijken (vb. groep 1 -2, 2 -3, 1 -3). Bij elke t-toets gebruiken we een α = 0. 05. Probleem: door herhaaldelijk t-toetsen uit te voeren neemt de fout van de 1 e soort toe. Oplossing: bij posthoc toetsing corrigeren voor deze hogere kans op fouten van de 1 e soort. >> Bonferroni correctie: wanneer we drie groepen vergelijken, alleen besluiten dat er een significant verschil is als P ≤ 0. 05/3 (ipv. 0. 05) (andere mogelijke correcties: Tukey, Scheffé, . . . ) 18 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE Post-hoc toetsing in SPSS: SPSS output houdt al rekening met deze correctie; dus de P waarden zijn al gecorrigeerd. Als P ≤ 0. 05 dan is er een significant verschil tussen beide groepen vb. enkel significant verschil ts. Groep 1 -3 19 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE Voorbeeld ANOVA in SPSS: stressreductie door chocolade bij dansers 20 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VARIANTIEANALYSE ANOVA • stress Sum of df Mean Square F Sig. Squares Between Groups 21 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse 714, 490 2 357, 245 Within Groups 11277, 471 99 113, 914 Total 11991, 961 101 3, 136 , 048

type AV? aantal OV? type OV? niet in dit boek hoeveel populaties? parametrisch non-parametrisch one sample t-test / z-test chi-square goodness of fit onafh. independent t-test / z-test Rank-sum afh. dependent t-test Signed-ranks onafh. one way ANOVA Kruskal-Wallis afh. repeated measures ANOVA Friedman’s ANOVA Pearson correlation Spearman correlation 1 nominaal 1 2 > 2 interval/ ordinaal nominaal > 1 nominaal categorieën afhankelijk? 1 onafh. n-way ANOVA afh. repeated measures ANOVA gemengd mixed design ANOVA interval multiple regression gemengd multiple regression nominaal/ ordinaal 1 onafh. chi-square goodness of fit ≥ 2 onafh. Pearson chi-square

Variantieanalyse: two way ANOVA

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE Eénwegs-variantie analyse -> 1 OV met meer dan twee waarden -> 1 AV is er een verschil in het welbevinden van kinderen met ouders die autoritair, autoritatief, of permissief opvoeden? Tweewegs-variantie analyse (of: tweefactor-variantie analyse) -> 2 OV -> 1 AV wat is het effect van drie verschillende lesmethoden en het geslacht van de leerling op de studieresultaten van leerlingen? = 3 X 2 ANOVA = k x r factorieel design met k = aantal niveaus OV 1, r = aantal niveaus OV 2 24 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE Twee vragen: 1. vraag over hoofdeffect van elke OV op AV 2. vraag over interactie-effect tussen OV 1 en OV 2 op AV hoe hebben de twee OV’s samen in combinatie een effect op AV? is het effect van de ene OV op AV anders naargelang het niveau van de andere OV? - is het effect van ses op toekomstbeeld anders voor jongens dan voor meisjes? - is het effect van chocolade op stressreductie anders voor beginners dan voor gevorderden? 25 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 1. Toetsingssituatie a. Is er een effect van variabele A (met niveaus a 1, a 2, …) op variabele Y? b. Is er een effect van variabele B (met niveaus b 1, b 2, …) op variabele Y? = 2 hoofdeffecten c. Is het effect van variabele A anders naargelang het niveau van variabele B (of omgekeerd)? Wat is het effect van de combinatie van A en B op Y? = interactie-effect tussen A en B d. Indien er een hoofdeffect is van A, tussen welke groepen van A is er een verschil? e. Indien er een hoofdeffect is van B, tussen welke groepen van B is er een verschil? = post hoc toetsing 26 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 2. Voorwaarden • AV is gemeten op intervalniveau • OV’s worden als nominaal beschouwd (ook al is OV soms ordinaal) • scores van AV zijn in alle populaties normaal verdeeld • varianties in populaties zijn gelijk (F-toets of Levene’s toets) • onafhankelijke steekproeven 27 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 3. Hypothesen Wat is het effect van ses en geslacht op de toekomstverwachting van jongeren? OV 1 (A) = ses (laag, midden, hoog) OV 2 (B) = geslacht (jongens, meisje) AV = toekomstbeeld score ts. -10 en +10 -> 3 x 2 design (dus 6 populaties - zie les 2: waarden van OV bepalen aantal populaties) a. Is er een hoofdeffect van variabele A (met i niveaus)? Of in termen varianties 28 H 0: σ²A = σ²W of H 1: σ²A > σ²W of Hoofdstuk 7: Variantieanalyse σ²A / σ²W = 1 σ²A / σ²W > 1 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 • 0 • Toekomstbeeld H 0: alle populatiegemiddelden van A zijn aan elkaar gelijk µ 1 = µ 2 = µ 3 = … = µi als er I groepen zijn van A H 1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar µi ≠ µi’ voor minstens één paar van i en i’ • laag • midden • hoog • SES

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE b. Is er een hoofdeffect van variabele B (met j niveaus)? H 0: alle populatiegemiddelden van B zijn aan elkaar gelijk µ 1 = µ 2 = µ 3 = … = µj als er J groepen zijn van B H 1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar µj ≠ µj’ voor minstens één paar van j en j’ Of in termen varianties H 0: σ²B = σ²W of σ²B / σ²W = 1 H 1: σ²B > σ²W of σ²B / σ²W > 1 • Toekomstbeeld • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 • 0 29 • jongens • meisjes • geslacht Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE c. Is er een interactie-effect van variabele Ax. B ? H 0: alle populatiegemiddelden van combinatie Ax. B zijn aan elkaar gelijk: µ 11 = µ 12 = … = µij als er I x J groepen zijn H 1: minstens twee populatiegemiddelden zijn niet gelijk aan elkaar µij ≠ µi’j’ voor minstens één paar van ij en i’j’ Of in termen varianties • Toekomstbeeld • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 • 0 30 H 0: σ²Ax. B = σ²W of H 1: σ²AXB > σ²W of • jongens • meisjes • laag • midden • hoog • SES Hoofdstuk 7: Variantieanalyse σ²AXB / σ²W = 1 σ²AXB / σ²W > 1

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 4. Toetsingsgrootheid 4. 1 F toets voor hoofdeffect van A met df. A = I – 1 (I = aantal niveaus van A) met df. W = N – (I x J) (N = totaal aantal ) vb. FA = 10/2. 02 = 4. 95 met df. A = 2 df. W = 24 4. 2 F toets voor hoofdeffect van B met df. B = J – 1 (J = aantal niveaus van B) met df. W = N – (I x J) (N = totaal aantal ) vb. FB = 0. 53/2. 02 = 0. 26 met df. B = 1 df. W = 24 4. 3 F toets voor interactie-effect van Ax. B met df. Ax. B = (I - 1). (J – 1) met df. W = N – (I x J) (N = totaal aantal) vb. FAx. B = 30. 54/2. 02 = 15. 12 met df. Ax. B = 2 df. W = 24 31 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 5. Beslissingsregels a. Overschrijdingskansen Is P r (F) ≤ α? ja, verwerp H 0 neen, verwerp H 0 niet >> overschrijdingskans per mogelijk effect (hoofd / interactie) in ANOVA-tabel SPSS b. Kritieke waarden Ook mogelijk via tabel met F-waarden. 32 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE significant hoofdeffect ses: jongens en meisjes samengenomen is er een effect van ses geen significant hoofdeffect geslacht: 3 ses niveaus samengenomen is er geen significant verschil tussen j en m een interactie-effect: het verschil ts. j en m is niet hetzelfde voor alle niveaus van ses >> post-hoc toetsing nodig om te weten tussen welke groepen er een verschil is. (SPSS) 33 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE • hoofdeffect SES ses • laag • midden • hoog • SES laag midden hoog jongens 5, 6 4, 2 5, 13 meisjes 2, 4 4, 4 7, 8 4, 87 4 5 6 • Toekomstbeeld • geen hoofdeffect geslacht • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 • 0 34 • jongens • meisjes • geslacht Hoofdstuk 7: Variantieanalyse • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 • 0 • Toekomstbeeld • 7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 • 0 • interactie effect • jongens • meisjes • laag • midden • SES • hoog interactie-effect: het verschil ts. jongens en meisjes is niet hetzelfde voor alle niveaus van ses (lijnen lopen niet parallel)

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE Post hoc analyse bij two-way ANOVA: Zie post-hoc bij one-way ANOVA: niveaus binnen 1 OV vergelijken. ses laag midden hoog jongens 5, 6 4, 2 5, 13 meisjes 2, 4 4, 4 7, 8 4, 87 4 5 6 (overbodig als er maar 2 niveaus zijn – bv. geslacht. Kijk dan naar gemiddeldentabel) Om alle cellen paarsgewijs te vergelijken: simple effects – enkel met SPSS syntax (zie boek p. 163) ses laag midden hoog 35 jongens 5, 6 4, 2 5, 13 meisjes 2, 4 4, 4 7, 8 4, 87 4 5 6 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE Interpretatie resultaten ANOVA: via plots van gemiddelden per groep - 4 alternatieve hypothetische situaties (hier geïdealiseerd): 1. Eén hoofdeffect en geen interactie-effect groepen 36 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse - geen hoofdeffect ses: geen verschil ts. laag-midden-hoog groep wanneer j en m samennemen - wel hoofdeffect geslacht: j scoren hoger dan m wanneer 3 ses samennemen - geen interactie-effect: het verschil ts. j en m is hetzelfde voor alle niveaus van ses (lijnen lopen parallel)

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 2. Twee hoofdeffecten en geen interactie-effect - een hoofdeffect ses - een hoofdeffect geslacht - geen interactie-effect: het verschil ts. j en m is hetzelfde voor alle niveaus van ses (lijnen lopen parallel) 37 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 3. Twee hoofdeffecten en een interactie-effect - een hoofdeffect ses: jongens en meisjes samengenomen is er een effect van ses - een hoofdeffect geslacht - een interactie-effect: het verschil ts. j en m is niet hetzelfde voor alle niveaus van ses (lijnen lopen niet parallel) 38 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 4. Geen hoofdeffecten maar wel een interactie-effect - geen hoofdeffect ses: jongens en meisjes samengenomen is er geen effect van ses - geen hoofdeffect geslacht: 3 ses niveaus samengenomen is er geen effect van geslacht - een interactie-effect: het verschil ts. j en m is niet hetzelfde voor alle niveaus van ses (lijnen lopen niet parallel) 39 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 6. Effectgrootte Partial Eta squared: interpreteerbaar zoals r te berekenen met SPSS Via ANOVA-dialoogbox > options > estimates of effect size aanvinken 40 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE Demo two-way ANOVA: effect van chocolade én dansniveau op stress? 41 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

TWEEWEGS-VARIANTIEANALYSE 7. Rapportering Eerst de potentiële hoofdeffecten bespreken (zie one-way ANOVA, inclusief eventuele post-hoc) gegevens: gemiddelden, SD, F-waarde, p-waarde, r Daarna potentieel interactie-effect, zelfde gegevens. Hoofdeffecten zijn niet meer relevant als er een interactie-effect is, maar moeten wel gerapporteerd worden. Interpretatie van de resultaten gaat enkel over interactie-effect. 42 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

type AV? aantal OV? type OV? niet in dit boek hoeveel populaties? parametrisch non-parametrisch one sample t-test / z-test chi-square goodness of fit onafh. independent t-test / z-test Rank-sum afh. dependent t-test Signed-ranks onafh. one way ANOVA Kruskal-Wallis afh. repeated measures ANOVA Friedman’s ANOVA Pearson correlation Spearman correlation 1 nominaal 1 2 > 2 interval/ ordinaal nominaal > 1 nominaal categorieën afhankelijk? 1 onafh. n-way ANOVA afh. repeated measures ANOVA gemengd mixed design ANOVA interval multiple regression gemengd multiple regression nominaal/ ordinaal 1 onafh. chi-square goodness of fit ≥ 2 onafh. Pearson chi-square • Hoofdstuk 7: Variantieanalyse • 43

KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES 1. Toetsingssituatie Is er een verschil in gemiddelde tussen groep a, b, c, … op variabele Y? >> zelfde situatie als eenwegs-variantieanalyse. 2. Voorwaarden AV is niet normaal verdeeld en/of AV is van ordinaal meetniveau Chocolade als afrodisiacum? Gemeten met: Seks is absoluut het allerlaatste waar ik nu aan kan denken. 44 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse Ik ervaar niet meer of minder zin in seks dan op een doordeweekse dag. Ik voel een onwaarschijnlijke lust tot paren – annuleer de voorstelling!

KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES 3. Hypothesen H 0: θ 1 = θ 2 = … = θk H 1= “niet H 0” bij k niveaus van de OV 4. Toetsingsgrootheid Gebaseerd op rangordening zoals bij Mann-Whitney, grootheid = H >> analyze > non-parametric > legacy dialogs > k independent samples (zie boek 7. 3. 4) 45 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES 5. Beslissingsregel Is de gerapporteerde overschrijdingskans in SPSS kleiner dan α ? ja > verwerp H 0 nee > verwerp H 0 niet Is er een effect? post-hoc toetsen met meerdere Mann-Whitney/Wilcoxon Rank-Sum. Gebruik zo weinig mogelijk tests en hanteer Bonferroni-correctie: α / aantal tests. 46 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES Demo Kruskal-Wallis: chocolade als afrodisiacum? OV : 3 niveaus chocolade – geen, één reep, twee repen AV: ordinale schaal met 3 niveaus 47 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES 6. Effectgrootte • Geen effectgrootte voor K-W test algemeen • Wel effectgrootte van bijhorenden Mann-Whitney tests – zie H 5 Test Statisticsa lust Mann-Whitney U 359, 500 Wilcoxon W 954, 500 Z Asymp. Sig. (2 -tailed) -2, 976 , 003 a. Grouping Variable: chocolade 48 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

KRUSKAL-WALLIS TOETS VOOR VERSCHIL TUSSEN K POPULATIES 7. Rapportering Een Kruskal-Wallis toets werd uitgevoerd om het effect van het eten van chocolade op de lustgevoelens van dansers na te gaan. Dit effect bleek inderdaad significant, H = 8. 71, p =. 013. Bijkomend werden de condities zonder chocolade (mean rank = 41), met één reep chocolade (mean rank = 59. 91) en twee repen chocolade (mean rank = 53. 59) onderling vergeleken door middel van een Wilcoxon rank-sum toets, waarbij een gecorrigeerd significantieniveau van α =. 017 werd gehanteerd. Hieruit bleek dat er enkel een significant verschil was tussen de conditie zonder chocolade en de conditie met één reep chocolade (Ws = 954. 5, z = -2. 976, p =. 003, r = -. 36). Het verschil tussen de conditie zonder chocolade en de conditie met twee repen chocolade (Ws = 1034. 5, z = -1. 861, p =. 06, r = -. 23) noch het verschil tussen de conditie met één reep chocolade en de conditie met twee repen chocolade (Ws = 1105. 5, z = -. 917, p =. 36, r = -. 11) waren significant. 49 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse

VOORBEELD ANALYSE MET K POPULATIES Fetisjisme bij kwartels? (zie Field, 2009) Çetinkaya, Hakan & Domjan, Michael (2006). Sexual fetishism in a quail (Coturnix japonica) model system: Test of reproductive success. Journal of Comparative Psychology, Vol 120(4), Nov 2006, 427 -432. 50 Hoofdstuk 7: Variantieanalyse