Seales Exponenciales y Senoidales Seales continuas exponencial compleja

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Señales Exponenciales y Senoidales Señales continuas exponencial compleja y senoidal Señales discretas exponencial compleja

Señales Exponenciales y Senoidales Señales continuas exponencial compleja y senoidal Señales discretas exponencial compleja y senoidal Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas

Señales Exponenciales y Senoidales Existen varias señales básicas continuas y discretas (señales fundamentales) que

Señales Exponenciales y Senoidales Existen varias señales básicas continuas y discretas (señales fundamentales) que no sólo ocurren con frecuencia, sino que también sirven como bloques fundamentales a partir de los cuales podemos construir muchas otras señales. Señales continuas exponencial compleja y senoidal La señal continua exponencial compleja es de la forma donde C y a son, en el caso general, números complejos. Dependiendo de los valores de estos parámetros, la exponencial compleja puede adoptar varias características diferentes.

Señales Exponenciales y Senoidales • Señales exponenciales reales Como se ilustra en la figura

Señales Exponenciales y Senoidales • Señales exponenciales reales Como se ilustra en la figura 1. 19, si C y a son reales (en cuyo caso x(t) se llama exponencial real), básicamente hay dos tipos de comportamiento: • Si a es positiva, entonces conforme t se incrementa x(t) es una exponencial creciente, una forma que se usa para describir muchos procesos físicos diferentes, incluyendo reacciones en cadena en explosiones atómicas y reacciones químicas complejas. • Si a es negativa, entonces x(t) es una exponencial decreciente, una señal que también se utiliza para describir una amplia variedad de fenómenos, entre los que se incluyen los procesos de desintegración radiactiva y las respuestas de circuitos RC y de sistemas mecánicos amortiguados.

Señales Exponenciales y Senoidales • Señales periódicas exponencial compleja y senoidal Una segunda clase

Señales Exponenciales y Senoidales • Señales periódicas exponencial compleja y senoidal Una segunda clase de exponenciales complejas de importancia se obtiene considerando el campo puramente imaginario. Específicamente, considere que Una propiedad importante de esta señal consiste en que es periódica. Para verificar lo anterior, recordamos de la ecuación (1. 11) que x(t) será periódica con periodo T si O, puesto que se desprende que, para que sea periódica, debemos tener

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Señales Exponenciales y Senoidales Las señales senoidal y exponencial compleja también se usan para

Señales Exponenciales y Senoidales Las señales senoidal y exponencial compleja también se usan para describer las características de muchos procesos físicos --en particular los sistemas físicos en los cuales se conserva la energía--. Por ejemplo, la respuesta natural de un circuito LC es senoidal, como lo es el movimiento armónico simple de un sistema mecánico que consiste en una masa conectada mediante un resorte a un soporte estacionario. Las variaciones de presión acústica que corresponden a una sola nota musical son también senoidales.

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Señales Exponenciales y Senoidales En donde, si c es un número complejo, Re{c} denota

Señales Exponenciales y Senoidales En donde, si c es un número complejo, Re{c} denota su parte real. También se usa la notación Im{c} para la parte imaginaria de c, de manera que, por ejemplo, De la ecuación (1. 24) vemos que el periodo fundamental To de una señal senoidal continua o una exponencial compleja periódica es inversamente proporcional a lωol, a la cual nos referiremos como la frecuencia fundamental. En la figura 1. 21 vemos gráficamente lo que esto significa. Si disminuimos la magnitud de ωo, se reduce la velocidad de oscilación y por tanto se incrementa el periodo. Exactamente los efectos contrarios ocurren si incrementamos la magnitud de ωo. Considere ahora ωo = 0. En este caso, como mencionamos anteriormente, x(t) es constante y por tanto es periódica con periodo T para cualquier valor positivo de T. Entonces, el periodo fundamental de una señal constante es indefinido. Por otra parte, no hay ambigüedad al determinar que la frecuencia fundamental de una señal constante sea cero. Esto es, una señal constante tiene una velocidad de oscilación igual a cero.

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Señales Exponenciales y Senoidales Las señales periódicas --y, en particular, la señal periódica exponencial

Señales Exponenciales y Senoidales Las señales periódicas --y, en particular, la señal periódica exponencial compleja de la ecuación (1. 21) y la señal senoidal de la ecuación (1. 25)-- proporcionan ejemplos importantes de señales con energía total infinita pero potencia promedio finita. Por ejemplo, considere la señal periódica exponencial de la ecuación (1. 21) y suponga que calculamos la energía total y la potencia promedio en esta señal en un periodo: Ya que hay un número infinito de periodos conforme t varía de -∞ a ∞, la energía total integrada en lodo tiempo es infinita. Sin embargo, cada periodo de la señal parece exactamente el mismo. Puesto que la potencia promedio de la señal es igual a 1 en cada periodo, al hacer el promedio en los múltiples periodos siempre conduce a una potencia promedio de 1. Es decir. la señal periódica exponencial compleja tiene una potencia promedio finita igual a

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Señales Exponenciales y Senoidales Ejemplo: Algunas veces resulta conveniente expresar la suma de dos

Señales Exponenciales y Senoidales Ejemplo: Algunas veces resulta conveniente expresar la suma de dos exponenciales complejas como el producto de una sola exponencial compleja y una sola senoide: Para lograrlo, primero factorizamos una exponencial compleja a partir del miembro derecho de la ecuación (1. 38), donde la frecuencia de este factor exponencial es el promedio de las frecuencias de las dos exponenciales en la suma. Haciendo esto, obtenemos lo cual, mediante la relación de Euler, podemos rescribir como A partir de esta ecuación se puede obtener directamente una expresión para la magnitud de x(t):

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Señales Exponenciales y Senoidales Señales discretas exponencial compleja y senoidal Al igual que en

Señales Exponenciales y Senoidales Señales discretas exponencial compleja y senoidal Al igual que en tiempo continuo, una señal muy importante en tiempo discreto es la señal o secuencia exponencial compleja, definida por donde C y α son, en el caso general, números complejos. Esto puede expresarse de forma alterna como donde Aunque la forma de la secuencia exponencial compleja discreta mostrada en la ecuación (1. 45) es más análoga a la forma continua de la exponencial, con frecuencia conviene más expresar la secuencia exponencial compleja discreta en la forma de la ecuación (1. 44).

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Señales Exponenciales y Senoidales • Señales exponenciales complejas generales La exponencial compleja general discreta

Señales Exponenciales y Senoidales • Señales exponenciales complejas generales La exponencial compleja general discreta se puede escribir e interpretar en términos de señales exponenciales reales y senoidales. Específicamente, si escribimos C y α en forma polar, a saber, Entonces Por tanto, para |α| = 1, las partes real e imaginaria de una secuencia exponencial compleja son senoidales. Para |α| < 1 ellas corresponden a secuencias senoidales multiplicadas por una exponencial decreciente, y para |α| > 1 corresponden a secuencias senoidales multiplicadas por una exponencial creciente. Ejemplos de estas señales se muestran en la figura 1. 26.

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Señales Exponenciales y Senoidales Usando los cálculos realizados, se puede determinar también el periodo

Señales Exponenciales y Senoidales Usando los cálculos realizados, se puede determinar también el periodo y la frecuencia fundamentales de las exponenciales complejas discretas, donde definimos la frecuencia fundamental

Señales Exponenciales y Senoidales Para obtener un conocimiento adicional sobre estas propiedades. , consideremos

Señales Exponenciales y Senoidales Para obtener un conocimiento adicional sobre estas propiedades. , consideremos de nuevo las señales ilustradas en la figura 1. 25. Primero. considere la secuencia x[n] = cos(2πn/12), mostrada en la figura 1. 25(a), la cual puede tomarse como un conjunto de muestras de la senoidal x(t) = cos(2πt/12) en puntos enteros de tiempo. En este caso, x(t) es periódica con periodo fundamental 12 y x[n] también es periódica con periodo fundamental 12. Es decir, los valores de x(n] se repiten cada 12 puntos, exactamente en múltiplos con el periodo fundamental de x(t). En contraste con lo anterior, considere la señal x[n] = cos(8πn/31), mostrada en la figura 1. 25(b), la cual se ve como el conjunto de muestras de x(t) = cos(8πt/31) en puntos enteros de tiempo. En este caso, x(t) es periódica con periodo fundamental 31/4. Por otro lado x[n] es periódica con periodo fundamental de 31. La razón de esta diferencia es que la señal discreta está definida sólo para valores enteros de la variable independiente. Entonces, no hay muestras en el tiempo t = 31/4, cuando x(t) completa un periodo (empezando en t = 0). De manera similar, no hay muestra en t = 2 (31/4) o en t = 3 (31/4), cuando x(t) ha completado dos o tres periodos, pero hay una muestra en t = 4 (31/4), cuando x(t) ha completado cuatro periodos. Esto se puede observar en la figura 1. 25(b), donde el patrón de valores de x[n] no se repite con cada ciclo individual de valores positivos o negativos. Por el contrario, el patrón se repite después de cuatro ciclos, es decir, cada 31 puntos. De manera semejante, la señal x[n] = cos(n/6), puede verse como el conjunto de muestras de la señal x(t) = cos(t/6) en puntos enteros de tiempo. En este caso, los valores de x(t) en puntos enteros de muestras nunca se repiten, ya que estos puntos muestra nunca corresponden a un intervalo que sea exactamente un múltiplo del periodo, 12π, de x(t). Entonces, x[n] nunca es periódica, aunque al ojo, al interpolar visualmente entre los puntos muestra, sugiera una envolvente de x(t), la cual es periódica.

Señales Exponenciales y Senoidales Ejemplo:

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