NMEROS COMPLEJOS U D 2 1 BCT Angel

NÚMEROS COMPLEJOS U. D. 2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

RADICALES EN LOS Nºs COMPLEJOS U. D. 2. 8 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

POTENCIAS EN FORMA POLAR • POTENCIAS DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR • La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento, n veces el argumento del complejo dado. • Ejemplos: @ Angel Prieto Benito Soluciones: Apuntes 1º Bachillerato CT 3

FÓRMULA DE MOIVRE • Fórmula de Moivre • Si expresamos la fórmula • que para r = 1, resulta: • EJEMPLO: Comprobar la fórmula de Moivre para n = 2. • Desarrollando • Resultados que ya hemos visto en trigonometría. @ Angel Prieto Benito en forma trigonométrica: llegamos a: Apuntes 1º Bachillerato CT 4

RAÍCES EN FORMA POLAR • RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR • Las raíces n-ésimas de un número complejo • • complejos, que tienen de módulo la raíz n-ésima del módulo y por argumento • dando valores a la k (0, 1, 2, 3, … , n – 1) se obtienen todas las soluciones. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT son n números 5

RAÍCES EN FORMA POLAR • Ejemplo 1 • • • 3 |z|=√ 8 = 2 α=90º α 1=(90º+2. 0. 180º)/3 = 30º α 2=(90º+2. 1. 180º)/3 = 150º α 3=(90º+2. 2. 180º)/3 = 270º z 2=2150º r=2 z 1=230º z 3=2270º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

RAÍCES EN FORMA POLAR • Ejemplo 2 • • • 3 6 |z|=√√(4+4) = √ 8 = √ 2 α=arctg 2/2 = 45º α 1=(45º+2. 0. 180º)/3 = 15º α 2=(45º+2. 1. 180º)/3 = 135º α 3=(45º+2. 2. 180º)/3 = 255º z 2= √ 2135º z 1= √ 215º r=√ 2 z 3= √ 2255º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7

RAÍCES EN FORMA POLAR • • • Ejemplo 3 4 √ -81 i • • 4 |z|=√ 81 = 3 α=270º α 1=(270º+2. 0. 180º)/4 = 67, 5º α 2=(270º+2. 1. 180º)/4 = 157, 5º α 3=(270º+2. 2. 180º)/4 = 247, 5º α 4=(270º+2. 3. 180º)/4 = 337, 5º • • z 1= 367, 5º z 2= 3157, 5º z 3= 3247, 5º z 4= 3337, 5º @ Angel Prieto Benito z 1= 367, 5º z 2= 3157, 5º r=√ 2 z 4= 3337, 5º z 3= 3247, 5º Apuntes 1º Bachillerato CT 8

TEOREMA FUNDAMENTAL • Teorema fundamental del álgebra • Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos, tiene n raíces ó soluciones. • Ejemplos Soluciones a) z 3 – 2. z 2 + 4. z – 8 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

Haciendo ecuaciones • Encuentra una ecuación que tenga por raíces: • 1º. - z 1 = 2, z 2 = – 4 i, z 3 = + 4 i • • (z – 2). (z + 4 i). (z – 4 i) = 0 (z – 2). (z 2 – 16 i 2) = 0 (z – 2). (z 2 + 16) = 0 z 3 – 2. z 2 + 16. z – 32 = 0 • 2º. - z 1 = 1, z 2 = – 1, z 3 = i y z 4 = – i • • (z – 1). (z + 1). (z – i). (z + i) = 0 (z 2 – 1). (z 2 – i 2) = 0 (z 2 – 1). (z 2 + 1) = 0 z 4 – 1 = 0 • 3º. - z 1 = 2, z 2 = 1 – 4 i, z 3 = – 3 y z 4 = 1 + 4 i • • (z – 2). (z – (1 – 4 i)). (z +3). (z – (1 + 4 i)) = 0 (z 2 + z – 6). (z – 1 + 4 i). (z – 1 – 4 i) = 0 (z 2 + z – 6). (z 2 – 2 z + 16) = 0 z 4 – z 3 + 9. z 2 + 29. z – 102 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

• Encuentra una ecuación que tenga por raíces: • 4º. - z 1 = 2 i, z 2 = – i, y z 3 = – 3 i • (z – 2 i). (z + 3 i) = 0 (z 2 – zi + 2). (z + 3 i) = 0 • z 3 + (3 i – i). z 2 + (2 – 3 i 2). z + 6 i = 0 • z 3 + 2 i. z 2 + 5. z + 6 i = 0 • 5º. - z 1 = i, z 2 = – i, z 3 = 3 i , z 4 = – 3 i , z 5 = 2 • • • (z – i). (z + 3 i). (z – 2) = 0 (z 2 – i 2). (z 2 – (3 i)2). (z – 2) = 0 (z 2 + 1). (z 2 + 9). (z – 2) = 0 (z 4 + 10. z 2 + 9). (z – 2) = 0 z 5 + 10. z 3 + 9. z – 2. z 4 – 20. z 2 – 18 = 0 z 5 – 2. z 4 + 10. z 3 – 20. z 2 + 9. x – 18 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11

FORMA EXPONENCIAL • • Forma Exponencial o de Euler. Un número complejo en forma trigonométrica se expresa como: z = r(cos α + i. sen α). Si sustituimos el contenido del paréntesis por la igualdad de Euler: eiα = cos α + i. sen α Nos queda: • z = r·eiα • Ejemplos • • z =230º z =345º z =160º z =√ 2180º @ Angel Prieto Benito z = 2. ei 30º z = 3. ei 45º z = ei 60º z = √ 2. ei 180º Apuntes 1º Bachillerato CT 12