Tema 5 Distribuciones continuas Recordamos que una variable

Tema 5: Distribuciones continuas

Recordamos que una variable aleatoria continua es una variable cuyo valor no puede predecirse con exactitud (aunque sí en términos “probabilísticos”, es decir, con determinado grado de incertidumbre) y que toma valores en un intervalo. ¿Qué es la función de densidad, en este caso?

Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de pájaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos, y calculamos los porcentajes. % 150 -155 3 155 -160 8 160 -165 20 165 -170 40 170 -175 23 175 -180 5 180 -185 2 100 40 20 155 160 165 170 175 180 185 Peso

% 150 -155 3 155 -160 8 160 -165 20 165 -170 40 170 -175 23 175 -180 5 180 -185 2 100 Prob. =%=Area 40 20 1 150 155 160 165 170 175 180 185 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Peso

% 150 -155 3 155 -160 8 160 -165 20 165 -170 40 170 -175 23 175 -180 5 180 -185 2 100 Prob. =%=Area 40 20 155 160 165 170 175 180 185 ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Peso

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? % Prob. (muestra) 40 POBLACION 20 Muestra 150 155 160 165 170 175 180 185 Peso Conocida (DATOS) Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces?

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Función de densidad % y = f(x) 170 Peso Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con un peso superior a 170.

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Función de densidad % y = f(x) 170 Peso Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como

DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de densidad, si: 1. - f(x)≥ 0 para todo valor de x 2. - Se cumple:

En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de que la variable X esté entre los valores a y b), se calcula como: f(x) a b

IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO: Por lo tanto,

DEFINICION (Función de distribución): Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), la función de distribución F(x) es la función que para cada valor de x nos da la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x.

La función de distribución cumple: 1. La derivada de la función de distribución, es la función de densidad. 2. Se verifica:

MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA MEDIA: Variable discreta: Variable continua:

MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA VARIANZA: Variable discreta: Variable continua:

MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA: Ejemplos/Ejercicios

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS: A. Distribución normal: N(µ, σ) (Pizarra) B. Distribución exponencial: Exp(λ) Función de densidad:

B. Distribución exponencial: Exp(λ) µ=1/λ σ=1/λ - Se utiliza con frecuencia para modelizar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco nómicas, etc. ) o el tamaño (duración de llamadas, tamaño de yaci mientos, etc. )

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: donde y densidad es: son variables aleatorias independientes para i = 1, 2, …, n. La gráfica de su función de

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: Media: n Varianza: 2 n Es importante en inferencia estadística

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: Está tabulada

D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Normal Chi-cuadrado de n grados de libertad

D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Es SIMETRICA respecto al eje Y Media: 0 Varianza: n/(n-2) (para n>2) Es importante en inferencia estadística