Series de Fourier Complejas en Cuadratura y Polares

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Series de Fourier Complejas, en Cuadratura y Polares Espectros de Línea y Densidad Espectral

Series de Fourier Complejas, en Cuadratura y Polares Espectros de Línea y Densidad Espectral de Potencia de Ondas Periódicas

Series de Fourier La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales

Series de Fourier La serie de Fourier es un tipo particular de series ortogonales de gran utilidad en la solución de problemas de ingeniería, especialmente de comunicación. Las funciones ortogonales utilizadas son senoidales o, en forma equivalente, funciones exponenciales complejas. Series Complejas de Fourier La serie compleja de Fourier utiliza las funciones exponenciales ortogonales Donde n varía sobre el rango de todos los valores enteros posibles, negativos, positivos y cero; ω0 = 2π/T 0 , donde T 0 = (b - a) es la longitud del intervalo sobre el cual la serie, ecuación (2 -83), es válida; y, del ejemplo 2 -11, Kn = T 0. El teorema de la serie de Fourier sigue de la ecuación (2 -83). Teorema: Una forma de onda física (es decir, de energía finita) puede representarse sobre el intervalo a < t < a + T 0 mediante la serie exponencial compleja de Fourier donde los coeficientes complejos (fasores) de Fourier son y donde ω0 = 2πf 0 = 2π/T 0

Series de Fourier Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo

Series de Fourier Si la forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T 0 , esta representación por series de Fourier es válida durante todo el tiempo (es decir, sobre el intervalo -∞ < t < ∞), debido a que w(t) y ϕ(t) son periódicas con el mismo periodo fundamental de T 0. Para este caso de formas de onda periódicas, la opción de un valor para el parámetro a es arbitraria y a menudo se consideran los valores de a = 0 o a = -T 0/2 como conveniencia matemática. La frecuencia f 0 = 1/ T 0 se llama frecuencia fundamental y la nf 0 n-ésima frecuencia armónica cuando n > 1. El coeficiente de Fourier c 0 es equivalente al valor de DC de la forma de onda w(t) debido a que, cuando n = 0, la ecuación (2 -89) es idéntica a la ecuación (2 -4). cn es, en general, un número complejo. También es un fasor porque es el coeficiente de una función del tipo ejωt. Por consecuencia, la ecuación (2 -88) es una serie compleja o de fasor de Fourier. Algunas propiedades de la serie compleja de Fourier son las siguientes:

Series de Fourier Ver demostración

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Series de Fourier en Cuadratura La forma en cuadratura de la serie de Fourier

Series de Fourier en Cuadratura La forma en cuadratura de la serie de Fourier que representa a cualquier forma de onda física w(t) sobre el intervalo a < t < a + T 0 es donde las funciones ortogonales son cos nω0 t y sen nω0 t. Utilizando la ecuación (2 -84) se encuentra que estos coeficientes de Fourier están dados por De nuevo, debido a que estas funciones ortogonales senoidales son periódicas, la serie es también periódica con el periodo fundamental T 0, y si w(t) es periódica con un periodo de T 0, la serie representará a w(t) sobre la línea real entera (es decir, -∞ < t < ∞).

Series de Fourier La serie compleja de Fourier [ecuación (2 -88)] y la serie

Series de Fourier La serie compleja de Fourier [ecuación (2 -88)] y la serie de Fourier en cuadratura [ecuación (2 -95)] son representaciones equivalentes. Esto puede demostrarse expresando el número complejo cn en términos de sus partes conjugadas, xn y yn. Esto es, utilizando la ecuación (2 -89), obtenemos para todos lo valores de n. Por lo tanto, Utilizando las ecuaciones (2 -96) y (2 -97) obtenemos las identidades

Series de Fourier Series Polares de Fourier La serie de Fourier en cuadratura, en

Series de Fourier Series Polares de Fourier La serie de Fourier en cuadratura, en la ecuación (2 -95), puede arreglarse y escribirse en una forma polar (amplitud-fase). La forma polar es donde w(t) es real y Las últimas dos ecuaciones pueden invertirse, y se obtiene que donde el operador de ángulo está definido por

Series de Fourier Nota: La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier

Series de Fourier Nota: La equivalencia entre los coeficientes de la serie de Fourier se demuestra geométricamente en la figura 2 -11. Se observa que, en general, cuando una forma de onda física (real) w(t) se representa mediante una serie de Fourier, el término cn es un número complejo con una parte real xn y una imaginaria yn (las cuales son ambas números reales) y, por consecuencia, an, bn, Dn y ϕn son números reales. Además, Dn es un número no negativo para n ≥ 1. Más aún, todos estos coeficientes describen la cantidad de componentes de frecuencia contenidos en la señal a la frecuencia de nf 0 Hz.

Series de Fourier En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas

Series de Fourier En la práctica, la serie de Fourier (FS, por sus siglas en inglés) es a menudo truncada a un número finito de términos. Por ejemplo, cinco o diez harmónicas podrían utilizarse para aproximar la serie FS para una onda cuadrada. Por tanto, surge una importante cuestión: para la serie finita, ¿son iguales los valores óptimos para los coeficientes de la serie que los de los términos correspondientes en la serie infinita, o acaso deberán ajustarse los coeficientes para la serie infinita a algunos otros nuevos valores para suministrar la mejor aproximación de serie finita? La respuesta es que los valores óptimos para los coeficientes de la FS son los mismos que los de los términos correspondientes en la FS no truncada. Como se ha visto, las formas compleja, en cuadratura y polar de la serie de Fourier son todas equivalentes, pero la pregunta es: ¿cuál es la que debe utilizarse? La respuesta depende del problema en particular a solucionar. Si éste se resolverá analíticamente, los coeficientes complejos son generalmente más fáciles de evaluar. Por otra parte, si se están llevando a cabo mediciones de una forma de onda en un laboratorio, entonces la forma polar es a menudo más conveniente, ya que los instrumentos de medición, como los voltímetros, osciloscopios, voltímetros vectoriales y analizadores de onda suministran lecturas de magnitud y de fase. Utilizando los resultados de laboratorio, los ingenieros pueden realizar gráficas espectrales de un solo lado en donde se dibujan líneas correspondientes a cada valor de Dn a f = f 0, donde n ≥ 0 (es decir, sólo frecuencias positivas). Por supuesto que esta gráfica espectral puede convertirse en un espectro bilateral dado por la gráfica de cn utilizando la ecuación (2 -94). Se entiende que un espectro bilateral está definido como la transformada de Fourier de w(t). Esto se demuestra en la figura 2 -4, donde la ecuación (2 -109), del siguiente teorema, puede utilizarse.

Series de Fourier Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier Ecuaciones y problemas usados anteriormente o de utilidad

Series de Fourier

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