RISET OPERASIONAL RISET OPERASI POSO NUGROHO SE MM

BAB 5. LINIER PROGRAMMING : METODE PRIMAL SIMPLEKS TEKNIK M 2

Variabel Buatan • Bagian terdahulu hanya menyangkut tipe kendala yang secara otomatis menghasilkan solusi

Variabel Buatan • Variabel Buatan = variabel ekstraneous yang diperlukan jika tidak terdapat solusi

Variabel Buatan • Cara logis mendapatkan solusi optimum adalah dengan memberikan penalti pada variabel-variabel

Teknik M Contoh: • Fungsi Tujuan – Minimisasi z = 4 x 1 +

Teknik M Bentuk Baku LP • Fungsi Tujuan – minimisasi z = 4 x

Teknik M Bentuk Baku LP • Variabel Surplus dan Slack ditulis sebagai variabel biasa

Bentuk Baku LP Variabel Buatan (R 1 and R 2) • Fungsi Tujuan –

Bentuk Baku LP Penalti • Fungsi Tujuan – Memberikn penalti pada variabel buatan sebesar

Teknik M Model Lengkap • Fungsi Tujuan – Minimisasi z = 4 x 1

Teknik M Solusi Awal • Kendala – 3 x 1 + x 2 +

M Teknik Substitusi • Variabel Buatan – 3 x 1 + x 2 +

Entering Column Pivot Equation (PE) Dasar x 1 x 2 x 3 R 1

Elemen Kunci = 3 Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R

z Koefisien x 1 untuk z = -4 + 7 M NPE 1 1/3

Dasar x 1 x 2 z 0 (1+5 M)/3 -M x 1 1 1/3

R 2 Koefisien x 1 untuk R 2 = 4 NPE 1 1/3 0

x 4 Koefisien x 1 untuk x 4 = 1 NPE 1 1/3 0

Result of Iteration 1 Dasar x 1 x 2 z 0 (1+5 M)/3 x

Entering Column PE Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2

Elemen Kunci = 5/3 Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R

z Koefisien x 2 untuk z = (1+5 M)/3 NPE 0 1 -3/5 -4/5

x 1 Koefisien x 2 untuk x 1 = 1/3 NPE 0 1 -3/5

x 4 Koefisien x 2 untuk x 4 = 5/3 NPE 0 1 -3/5

Result of Iteration 2 Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R

Entering Column Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x

Pivot Element = 1 Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R

z Koefisien x 4 for z = 1/5 NPE 0 0 1 1 -1

x 1 Koefisien x 3 untuk x 1= 1/5 NPE 0 0 1 1

x 2 Koefisien x 3 untuk x 2= -3/5 NPE 0 0 1 1

Result of Iteration 3 = END Dasar x 1 x 2 x 3 R

Selesai • Ini Bagian akhir dari Bab 03_simpleks_M

Slides: 39

Download presentation

RISET OPERASIONAL RISET OPERASI POSO NUGROHO, SE. , MM 1

BAB 5. LINIER PROGRAMMING : METODE PRIMAL SIMPLEKS TEKNIK M 2

Variabel Buatan • Bagian terdahulu hanya menyangkut tipe kendala yang secara otomatis menghasilkan solusi awal • Sisi kanan persamaan kendali bernilai tidak-negatif • Untuk menjaga agar sisi kanan persamaan kendala tetap memiliki nilai non-negatif kadang-kadang harus digunakan kendala • Selain itu secara bersamaan berkaitan dengan variabel slack dan surplus

Variabel Buatan • Variabel Buatan = variabel ekstraneous yang diperlukan jika tidak terdapat solusi awal secara automatis • Variabel Buatan tidak mempunyai arti fisik dalam model asal • Variabel Buatan diperlukan untuk memulai iterasi dan akan dihapus begitu solusi optimum diidapat

Variabel Buatan • Cara logis mendapatkan solusi optimum adalah dengan memberikan penalti pada variabel-variabel buatan dalam fungsi tujuan • Dua metode berdasarkan pemberian penalti: – Teknik M (metode pemberian penalti) – Metode dua fase

Teknik M Contoh: • Fungsi Tujuan – Minimisasi z = 4 x 1 + x 2 • Terhadap Kendala – – 3 x 1 + x 2 = 3 4 x 1 + 3 x 2 6 x 1 + 2 x 2 4 x 1 , x 2 0

Teknik M Bentuk Baku LP • Fungsi Tujuan – minimisasi z = 4 x 1 + x 2 • Terhadap Kendala – 3 x 1 + x 2 = 3 – 4 x 1 + 3 x 2 6 – x 1 + 2 x 2 4 – x 1 , x 2 0 – Variabel Surplus = s 1 – Variabel Slack = s 2 3 x 1 + x 2 = 3 4 x 1 + 3 x 2 – s 1 = 6 x 1 + 2 x 2 + s 2 = 4 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 0

Teknik M Bentuk Baku LP • Variabel Surplus dan Slack ditulis sebagai variabel biasa • Kendala: – – – 3 x 1 + x 2 = 3 4 x 1 + 3 x 2 6 4 x 1 + 3 x 2 – x 3 = 6 x 1 + 2 x 2 4 x 1 + 2 x 2 + x 4 = 4 x 1 , x 2 0 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 0 Variabel Surplus = x 3 Variabel Slack = x 4

Bentuk Baku LP Variabel Buatan (R 1 and R 2) • Fungsi Tujuan – minimisasi z = 4 x 1 + x 2 • Terhadap Kendala – – – 3 x 1 + x 2 = 3 3 x 1 + x 2 + R 1 = 3 4 x 1 + 3 x 2 – x 3 = 6 4 x 1 + 3 x 2 – x 3 + R 2 = 6 x 1 + 2 x 2 4 x 1 + 2 x 2 + x 4 = 4 x 1 , x 2 0 x 1, x 2, x 3, x 4, R 1, R 2 0 Variabel Slack = x 4, R 1, R 2

Bentuk Baku LP Penalti • Fungsi Tujuan – Memberikn penalti pada variabel buatan sebesar M – M adalah koefisien yang nilainya positif dan sangat besar t • Fungsi Tujuan – minimisasi z = 4 x 1 + x 2 + MR 1 + MR 2

Teknik M Model Lengkap • Fungsi Tujuan – Minimisasi z = 4 x 1 + x 2 + MR 1 + MR 2 • Terhadap Kendala – – 3 x 1 + x 2 + R 1 = 3 4 x 1 + 3 x 2 – x 3 + R 2 = 6 x 1 + 2 x 2 + x 4 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, R 1, R 2 0

Teknik M Solusi Awal • Kendala – 3 x 1 + x 2 + R 1 = 3 – 4 x 1 + 3 x 2 – x 3 + R 2 = 6 – x 1 + 2 x 2 + x 4 = 4 – x 1, x 2, x 3, x 4, R 1, R 2 0 • Variabel Non-basic (x 1 = 0 , x 2 = 0, x 3 = 0) • Solusi awal (R 1 = 3, R 2 = 6, x 4 = 4) • Minimisasi: optimum jika semua variabel non-basic bernilai tidak-negatif

M Teknik Substitusi • Variabel Buatan – 3 x 1 + x 2 + R 1 = 3 – 3 x 1 – x 2 – 4 x 1 + 3 x 2 – x 3 + R 2 = 6 – 4 x 1 – 3 x 2 + x 3 • Fungsi Tujuan – Minimisasi z = 4 x 1 + x 2 + MR 1 + MR 2 – z = 4 x 1 + x 2 + M(3 – 3 x 1 – x 2) + M(6 – 4 x 1 – 3 x 2 + x 3) – z = (4 – 7 M)x 1 – (1 – 4 M)x 2 + Mx 3 + 9 M – z – (4 + 7 M)x 1 – (1 + 4 M)x 2 – Mx 3 = 9 M

Entering Column Pivot Equation (PE) Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi z -4 + 7 M -1+4 M -M 0 0 0 9 M R 1 3 1 0 0 3 1 R 2 4 3 -1 0 6 3/2 x 4 1 2 0 0 0 1 4 4 Leaving Variable Pivot Element = Elemen Kunci Intersep

Elemen Kunci = 3 Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi 1 1/3 0 0 1 z NPE x 1 R 2 x 4

z Koefisien x 1 untuk z = -4 + 7 M NPE 1 1/3 0 0 1 (-4 -7 M) NPE -4+7 M (-4+7 M)/3 0 0 -4+7 M z (OLD) 4 -7 M (4 -7 M) NPE -4+7 M (-4+7 M)/3 0 (-4+7 M)/3 z (NEW) 0 -1+4 M (1+5 M)/3 -M -M 0 (4 -7 M)/3 0 0 9 M 0 0 -4+7 M 0 0 4+2 M

Dasar x 1 x 2 z 0 (1+5 M)/3 -M x 1 1 1/3 0 R 2 x 4 x 3 R 1 (4 -7 M)/3 1/3 R 2 0 0 x 4 solusi 0 4+2 M 0 1

R 2 Koefisien x 1 untuk R 2 = 4 NPE 1 1/3 0 0 1 4 NPE 4 4/3 0 0 4 R 2 (OLD) 4 3 -1 0 6 4 NPE 4 4/3 0 0 4 R 2 (NEW) 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2

Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 x 4 solusi 0 0 4+2 M z 0 (1+5 M)/3 -M x 1 1 1/3 0 0 1 R 2 0 -1 -4/3 1 0 2 x 4 5/3 (4 -7 M)/3 R 2

x 4 Koefisien x 1 untuk x 4 = 1 NPE 1 1/3 0 0 1 1 NPE 1 1/3 0 0 1 x 4 (OLD) 1 2 0 0 0 1 4 1 NPE 1 1/3 0 0 1 x 4 (NEW) 0 5/3 0 -1/3 0 1 3

Result of Iteration 1 Dasar x 1 x 2 z 0 (1+5 M)/3 x 1 1 R 2 x 4 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi -M (4 -7 M)/3 0 0 4+2 M 1/3 0 0 1 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 0 5/3 0 -1/3 0 1 3

Entering Column PE Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi z 0 (1+5 M)/3 -M (4 -7 M)/3 0 0 4+2 M x 1 1 1/3 0 0 1 3 R 2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 6/5 x 4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3 9/5 Leaving Variable Elemen Kunci Intersep

Elemen Kunci = 5/3 Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 X 4 Solusi 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 z x 1 NPE x 2 x 4

z Koefisien x 2 untuk z = (1+5 M)/3 NPE 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 (1+5 M/3) NPE 0 (1+5 M)/3 -1/5 + M (-4+20 M)/15 1/5+M 0 2/5 +2 M z (OLD) 0 (1+5 M)/3 (1+5 M/3) NPE 0 (1+5 M)/3 -1/5 + M (-4+20 M)/15 1/5+M 0 2/5 +2 M z (NEW) 0 0 -M 1/5 (4 -7 M)/3 8/5 -M 0 0 -1/5 -M 0 4+2 M 18/5

Basic x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 soluti on z 0 0 1/5 8/5 -M -1/5 -M 0 18/5 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 x 1 x 2 x 4

x 1 Koefisien x 2 untuk x 1 = 1/3 NPE 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 1/3 NPE 0 1/3 -1/5 -4/15 1/5 0 2/5 x 1(OLD) 1 1/3 0 0 1 1/3 NPE 0 1/3 -1/5 -4/15 1/5 0 2/5 x 1(NEW) 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi z 0 0 1/5 8/5 -M -1/5 -M 0 18/5 x 1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 x 2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 x 4

x 4 Koefisien x 2 untuk x 4 = 5/3 NPE 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 5/3 NPE 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 0 5/3 0 -1/3 0 1 3 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 0 0 1 1 -1 1 1 x 4 (OLD) 5/3 NPE x 4 (NEW)

Result of Iteration 2 Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi z 0 0 1/5 8/5 -M -1/5 -M 0 18/5 x 1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 x 2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 x 4 0 0 1 1 -1 1 1

Entering Column Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi Intersep PE z 0 0 1/5 8/5 -M -1/5 -M 0 18/5 x 1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 3 x 2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 - x 4 0 0 1 1 -1 1 Leaving Variable Pivot Element

Pivot Element = 1 Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solution 0 0 1 1 -1 1 1 z x 1 x 2 NPE x 3

z Koefisien x 4 for z = 1/5 NPE 0 0 1 1 -1 1 1 1/5 NPE 0 0 1/5 -1/5 1/5 z (OLD) 0 0 1/5 8/5 -M -1/5 -M 0 18/5 1/5 NPE 0 0 1/5 -1/5 1/5 z 0 0 0 7/5 -M -M -1/5 17/5

Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi z 0 0 0 7/5 -M -M -1/5 17/5 0 0 1 1 -1 1 1 x 2 x 3

x 1 Koefisien x 3 untuk x 1= 1/5 NPE 0 0 1 1 -1 1 1 1/5 NPE 0 0 1/5 -1/5 1/5 x 1 (OLD) 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 1/5 NPE 0 0 1/5 -1/5 1/5 0 2/5 0 -1/5 2/5 x 1 (NEW) 1 0

Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi z 0 0 0 7/5 -M -M -1/5 17/5 x 1 1 0 0 2/5 0 -1/5 2/5 0 0 1 1 -1 1 1 x 2 x 3

x 2 Koefisien x 3 untuk x 2= -3/5 NPE 0 0 1 1 -1 1 1 -3/5 NPE 0 0 -3/5 3/5 -3/5 x 2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 -3/5 NPE 0 0 -3/5 3/5 -3/5 x 1 (NEW) 0 1 0 -1/5 0 3/5 9/5

Result of Iteration 3 = END Dasar x 1 x 2 x 3 R 1 R 2 x 4 solusi z 0 0 0 7/5 -M -M -1/5 17/5 x 1 1 0 0 2/5 0 -1/5 2/5 x 2 0 1 0 -1/5 0 3/5 9/5 x 3 0 0 1 1 -1 1 1

Selesai • Ini Bagian akhir dari Bab 03_simpleks_M