Proposte didattiche di Gianfranco Arrigo Dipartimento dellistruzione e

Proposte didattiche di Gianfranco Arrigo Dipartimento dell’istruzione e della cultura, Bellinzona

Laboratorio di matematica FIGURE Scuola media marzo 2001

Indice Modo d’uso del file Prima situazione Seconda situazione Terza situazione Quarta situazione Quinta situazione Sesta situazione Settima situazione

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Prima situazione Calcolare i perimetri di poligoni rettangoli

Problema 1: poligoni rettangoli Vogliamo calcolare il perimetro dell’ottagono rettangolo disegnato a destra. Attenzione: vi è un modo molto semplice e veloce! (misure in centimetri)

Problema 1: poligoni rettangoli Il perimetro dell’ottagono è uguale a quello del rettangolo circoscritto… Perimetro = (600+360)x 2 = 1920 [cm]

Problema 1: poligoni rettangoli Perimetro ? Anche qui si può trovare un’interessante scorciatoia per il calcolo.

Problema 1: poligoni rettangoli (misure in centimetri) Perimetro P =? P = (450 + 500) · 2 + 45 · 2 + 13 · 2 = (450 + 500 + 45 + 13) · 2 = = 2016 [cm]

Problema 1 a: poligoni a scala Perimetro P =? Attenzione: anche qui esiste una “superscorciatoia”! (misure in centimetri)

Problema 1 a: poligoni a scala P = (35 · 6 + 65 · 6) · 2 = (210 + 390) · 2 = 600 · 2 = 1200 [cm]

Problema 1 b: la scala pazza P = (600 + 400) · 2 = 2000 [cm]

Seconda situazione Calcolare l’area di triangoli inscritti in altre figure

Problema 2: triangolo inscritto in… Il triangolo è inscritto nel rettangolo. Quale x corrisponde al triangolo di area massima?

Problema 2: soluzione Tutti i triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza del rettangolo: hanno quindi tutti la stessa area, metà di quella dello stesso rettangolo.

Problema 2 a: vale solo per il rettangolo? Parallelogrammo qualunque Tutti i triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza del parallelogrammo: hanno quindi tutti la stessa area, metà di quella dello stesso parallelogrammo.

Problema 2 b: vale anche per il trapezio? Trapezio Il rapporto fra le aree è: (Per il triangolo: a 1=a 2, ritroviamo il rapporto 1/2)

Problema 2 c: per qualunque trapezio? Sì!

Problema 2 d: triangolo in semicerchio Quale triangolo ha area massima?

Problema 2 d: triangolo in semicerchio Area del triangolo: L’unica grandezza variabile è h(x), che assume il valore massimo nella posizione centrale, corrispondente a x=0. Nota didattica: questo problema si può anche trovare su manuali di analisi! Non è proprio il caso di scomodare le derivate…

Terza situazione Strane superfici aventi la stessa area di un quadrato di partenza

Problema 3: stessa area di un quadrato… … circoscritto a un cerchio. Si possono trovare interessanti figure di stessa area.

Problema 3: stessa area di un quadrato…

Problema 3: stessa area di un quadrato…

Problema 3: stessa area di un quadrato… ? Chi trova la prossima? La più bella? La più originale?

Quarta situazione Strane superfici a partire da un quadrato e da un cerchio

Problema 4: a partire da un quadrato…

Problema 4: a partire da un quadrato… Anche questa figura ha la stessa area del quadrato di partenza.

Problema 5: a partire da un cerchio e da un quadrato inscritto… Siano: Q l’area del quadrato C l’area del cerchio…

Problema 5: a partire da un cerchio e da un quadrato inscritto… La girandola

Problema 5: a partire da un cerchio e da un quadrato inscritto… Calcoliamo l’area della girandola:

Problema 5: a partire da un cerchio e da un quadrato inscritto… Calcoliamo l’area colorata di rosso:

Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi È possibile calcolare l’area di ogni figura delimitata dalle linee tracciate, che sono archi di circonferenze di raggio r. Basta sfruttare il fatto che la figura ha un centro di simmetria, che è il centro del quadrato: è sufficiente allora calcolare le aree delle superfici incluse nel quadratino colorato.

Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi Nella figura riconosciamo tre regioni basilari di area diversa. Le loro aree le indichiamo con A 1, A 2, A 3.

Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi Calcoliamo l’area dello spicchio colorato:

Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi Calcoliamo l’area della superficie colorata:

Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi

Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi Soluzione del sistema: Infine rimane da determinare A 1.

Problema 6: apoteosi di quadrato e cerchi Sostituendo A 2 col valore appena trovato si ottiene: e con ciò il problema è completamente risolto.

Quinta situazione Trisecare un quadrato in parti aventi stessa area

Problema 7: trisecare un quadrato Il rettangolino colorato ha l’area uguale a un terzo di quella del quadrato. Esistono altri modi per trisecare un quadrato secondo l’area. Chi trova le soluzioni più originali?

Problema 7: soluzioni con reticolo 3 x 3 Area del quadrilatero: Area di una delle due parti triangolari: La trisezione è corretta.

Problema 7: soluzioni con reticolo 3 x 3 Area di ciascuna delle due superfici colorate: Controllo: area del resto La trisezione è corretta.

Problema 7: soluzioni con reticolo 3 x 3 Area di ciascuno dei due triangoli: Controllo: area del parallelogrammo La trisezione è corretta.

Problema 7: soluzioni libere Lato del quadrato centrale: c Lato del quadrato rosa:

Problema 7: soluzioni libere Dobbiamo determinare u, v in modo che l’area di ciascun rettangolo sia uguale a quella dell’ottagono bianco: u v Si ottiene:

Problema 7: soluzione analitica Sia m il coefficiente angolare delle rette r, s (parallele). Condizione: 0 < m < 1 Sia inoltre y = m x + q l'equazione della retta r. Dev'essere: cioè:

Problema 7: soluzione “di Archimede” Equazione della parabola: Area della superficie rosa:

Sesta situazione Quadrilateri inscritti in un cerchio

Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio I triangoli isosceli hanno gli angoli alla base uguali. g b g e 180° e b Condizione di inscrivibilità: la somma di due angoli opposti è un angolo piatto.

Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio Quali particolari quadrilateri sono inscrivibili in un cerchio? Quali trapezi? I trapezi isosceli.

Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio Quali particolari quadrilateri sono inscrivibili in un cerchio? Quali parallelogrammi? I rettangoli.

Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio Gli unici parallelogrammi inscrivibili in un cerchio sono i rettangoli.

Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio Allora, l’unico rombo inscrivibile in un cerchio è… … il quadrato.

Problema 8: quadrilateri inscritti in un cerchio Vi sono aquiloni inscrivibili in un cerchio? … quelli rettangoli.

Settima situazione Quadrilateri circoscritti a un cerchio

Problema 9: quadrilateri circoscritti a un cerchio P S Condizione di circoscrivibilità: Q R Cioè: Teorema. Un quadrilatero è circoscrivibile a un cerchio se e solo se la somma delle lunghezze dei lati opposti è costante.

Problema 9: quadrilateri circoscritti a un cerchio I trapezi isosceli sono tutti circoscrivibili a un cerchio? Condizione di circoscrivibilità: Cioè: Teorema. Un trapezio isoscele è circoscrivibile a un cerchio se e solo se il lato obliquo è la media aritmetica delle due basi.

Problema 9: quadrilateri circoscritti a un cerchio Quali parallelogrammi sono circoscrivibili a un cerchio? Condizione di circoscrivibilità: Cioè: Teorema. Se un parallelogrammo è circoscrivibile a un cerchio, allora è un rombo.

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