Proporcionalidad Presentado por Yuli Domnguez Portal Educa Panam

Proporcionalidad Presentado por: Yuli Domínguez Portal Educa Panamá Grupo Océano.

Proporcionalidad � Se denomina razón al cociente entre dos cantidades: la razón de 8 a 3, por ejemplo, es el cociente de 8 entre 3. las razones se suelen escribir en forma de fracciones; en estos casos el numerador se denomina también antecedente, y el denominador, consecuente. � Antecedente 8 3 Consecuente Sean dos razones, por ejemplo: 6 y 3 4 2

Si al efectuar la divisiones correspondientes se obtiene el mismo resultado para ambas razones, se puede establecer una igualdad entre una y otra: 6 = 3 4 2

Esta igualdad se denomina proporción. En general, dados cuatro números, a, b, c, y d, si a =m y c=m b d Se tiene la proporción: 6 = 3 4 2

es c o � com b a s e el a d , la r < o o i s < r ee n el ca o ante s a l e S e E ic r 6. é > < a d> plo num lee: < e ejem orción s a 2>>. prop o 3 es m 4 co

� La Constante o factor de proporcionalidad es el resultado de dividir el antecedente por el consecuente de una razón. En el ejemplo anterior, la contante de proporcionalidades 1, 5.

Se dice que una proporción es continua cuando sus medios son iguales, por ejemplo , en la siguiente Proporción: 4=6 6 9 Las proporciones que no son continuas se denominan ordinarias.

Propiedades de las Proporciones En toda proporción, el productos de los extremos es igual al producto de los medios: � a = c a. d=b. c b d Por ejemplo, en la proporción � 6 = 3 4 2 �

� � � Se cumple que 6. 2 = 12 y 4. 3 =12, se comprueba que la igualdad es cierta y la proporción es correcta. La suma antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente: a=c a+b = c +d b d a c

u s a s � l e e y n s ó e z t a n r e d ra l e e e c e d m la Con a nt a pri e a m d. e u l : e e s d t e n n a a n d l e e e i m e u t o u t u c c n e m s e e e s o s s a , u c n n L c o l o e t c p c s n l n e u ejem e o s u y c c a e e l t s s e n d e co ced azón ción e r r t o n a d p a d o + n r u c p g a = e s m b s i d + a m la b c = a � d b

� � La diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente. Si se sigue con el ejemplo tomado: a=c a-b = c - d b d a c

� La diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente. � a=c b d a-b = c - d b d

La suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su diferencia como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su diferencia: a=c b d a +b = c + d a-b c -d

La diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su suma como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su suma: a=c b d a-b =c-d a+b c +d

Una proporción también se puede transformar en otra de las siguientes maneras: � Intercambiar los extremos entre sí: a=c d= c b d b a � Intercambiar los medios entre sí: a=c a= b b d c d � Cambiar de orden las razones: a=c c= a b d d b

� � Invertir las razones: a=c b= d b d a c Invertir las razones y permutar los extremos: a=c c= d b d a b � Invertir las razones y permutar los medios: a=c b= a b d d c � Invertir las razones y permutarlas: a=c d= b b d c a Propiedades de las proporciones

Series de Razones Iguales � Se denomina serie de razones iguales a un conjunto de varias razones con la misma constante de proporcionalidad, unidas por signo de igualdad. Su forma general es: a = c = …= y b d z

de e i r e s a En tod , la s e l a u g i razones os el suma d tes es la en anteced os el suma d tes como en consecu ente ced un ante a su s e a r e i cualqu te: n e u c e s con a+ b + …+ y = a = c = y b +d+ …+ z b d z

Así, en la serie 2=4 = 8 3 6 12 Se verifica, por ejemplo: 2+ 4 + 8 = 8 3+6+12 12 12 14 = 8 21

Cálculo de los valores de una Proporción � Si se desconoce uno de los valore de una proporción, por ejemplo, el de x en 8 = 24 5 x

Resulta sencillo deducir su valor, mediante la aplicación de la primera propiedad de las proporciones, según la cual el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Por tanto: 8. X = 5. 24 Al despejar la incógnita, se obtiene: X= 5. 24 = 120 = 15 8 8

Cálculos de Porcentajes y sus Aplicaciones en la Vida Cotidiana � � En la vida cotidiana aparecen con frecuencia porcentajes, como, por ejemplo, en todo tipo de comercios, en los cuales los productos se rebajan un 10%(lo que se lee << diez por ciento>> ), un 25% o cualquier otro porcentaje. De forma general, hallar el valor del a% de una cantidad de b, significa encontrar el valor x tal que se cumpla la proporción: x= a b 100

Tras despejar la incógnita x, se obtiene: Como se sabe que, en una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios, de la proporción anterior se deduce que: X. 100 = a. b. x = a. b 100

� Así, para calcular el tanto por ciento de un número, como puede ser el 15 % de 60, se multiplica la cantidad de la que se busca el porcentaje (60) por dicho porcentaje (15), y se divide por 100: X= 15. 60 = 900 = 9 100

Por, tanto que el 15% de 60 es igual a 9. se observa que esta operación se puede describir también como la multiplicación de la cantidad de la que se busca en el porcentaje a% por la razón: a 100

El proceso inverso es el calcular qué porcentaje x% representa una cantidad a conocida respecto de otra cantidad b, también conocida. En tal caso, se trata de completar la proporción x = a 100 b

la incógnita x, que en este caso es el porcentaje, se calcula a partir de la misma propiedad: el producto de los extremos es igual al producto de los medios, y por tanto: x. b = 100. a Una vez se despeja la incógnita x. x= 100. a b

De esta manera, para calcular qué tanto por ciento de aprobados de una clase representa el número de aprobados respecto del total de alumnos, se divide el número de aprobados entre el total de alumnos y el resultado se multiplica por 100: si hay 25, y aprueban 18, se divide 18 entre 25, y el resultado se multiplica por 100: X= 18. 100 = 1 800 = 72 25 25 Así pues, en este caso, el porcentaje de alumnos que ha aprobado es del 72 %.

Proporcionalidad Directa y Proporcionalidad Inversa Dos magnitudes se dicen directamente proporcionales cuando al aumento o disminución de una de ellas le corresponde, respectivamente, un aumento o una disminución proporcional de la otra. Si, por ejemplo, al duplicar el número de piedras que había en una bolsa se duplica también su peso, esto significa que el peso y el número de piedras son magnitudes directamente proporcionales.

Dos magnitudes se dicen inversamente proporcionales cuando el aumento de una le corresponde una disminución proporcional de la otra, y a la disminución de la primera, un aumento proporcional de la segunda. Si al triplicar el número de trabajadores dedicados a una tarea, el tiempo para la realización de ésta pasa a ser un tercio del que antes era necesario, entonces se puede afirmar que la duración de una tarea y el número de personas que se dedican a hacerla son magnitudes inversamente proporcionales. Se llegaría a la misma conclusión si se estableciese que al emplear un tercio de los trabajadores habituales dedicados a una tarea, el tiempo requerido para su realización se triplica.

Gracias…