Proporcionalidad Numrica 2 E S O Proporciones Magnitudes

Proporcionalidad Numérica 2º E. S. O

Proporciones Magnitudes Razones Proporcionalidad Cuarta proporcional Propor. directa Propor. inversa Propor compuesta Problemas Los tantos por ciento Problemas

Definición Proporción significa que hay una correspondencia entre las partes de una cosa y el todo o entre cosas que se hallan interrelacionadas. Un dibujo no está proporcionado cuando sus partes no guardan relación.

Razón Una razón entre dos números a y b, es el cociente Pueden ser números cualquiera

Proporción Una proporción es la igualdad entre dos igualdad razones. - La razón entre a y b es a / b - La razón entre c y d es c / d Siendo a y d los “extremos” de la proporción; b y c son los “medios “

Razón de proporción Llamamos constante o razón de proporcionalidad, de una proporción al cociente de cualquiera de sus razones. es la constante y puede ser cualquier número

Problemas de proporcionalidad Por reducción a la unidad: buscamos el valor que corresponde a una sola unidad. Regla de tres: Planteamos una proporción entre la razón de dos cantidades de una de las magnitudes y la de las dos cantidades correspondientes de la otra magnitud.

Ejemplos de resolución Reducción a la unidad Si ayer pagué 60 céntimos por 5 chicles. ¿Cuánto me hubieran costado 8 chicles? Se calcula el precio de un chicle 60/5=12 cent Se calcula el precio de los 8 chicles 8*12=96 cent SE BUSCA EL PRECIO DE UNA CANTIDAD

Ejemplos de resolución Regla de tres Si ayer pagué 60 céntimos por 5 chicles. ¿ Cuánto me hubieran costado 8 chicles? 5/8=60/n n=96 SE PLANTEA UNA PROPORCIÓN ENTRE LA RAZÓN

Relación de proporcianalidad Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden con esta tabla: Magnitud 1 a b c … Magnitud 2 d e f … Son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES si se verifica que: a/d=b/e=c/f=…=K, siendo k la RAZÓN DE PROPORCIONALIDAD

Relación de proporcionalidad Si dos magnitudes son tales que a doble, triple, mitad , etc , cantidad de la primera le mitad corresponde respectivamente doble, triple, mitad , etc , cantidad de la segunda, mitad entonces se dice que esas magnitudes son: DIRECTAMENTE PROPORCIONALES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Proporción Directa Ejemplo: Un ciclista recorre 150 kms. en 5 horas. ¿Cuántos recorrerá en 7 horas? Solución 150 km. ---------5 horas. x Km. ---------7 horas Ya que las horas y los kilómetros son magnitudes directamente proporcionales tenemos la proporción: 150/x = 5/7 o sea x=150. 7/5 x=210 Km

Proporción directa Observa la gráfica de una proporción directa. La altura del agua en la probeta es directamente proporcional al tiempo que permanece abierto el grifo.

CUIDADO!!!!!! En el enunciado de cualquier problema de proporción, los datos correspondientes a una misma unidad pueden estar expresados en cualquier medida, pero……todos tienen que estar expresados en la misma medida.

Magnitudes inversas Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden con esta tabla: Magnitud 1 a b c … Magnitud 2 d e f … Son INVERSAMENTE PROPORCIONALES si se verifica que: a. d=b. e=c. f=…=K, siendo k la RAZÓN DE PROPORCIONALIDAD

Relación de proporcionalidad Si dos magnitudes son tales que a doble, triple, mitad , etc , cantidad de la primera le corresponde respectivamente la mitad, la tercera parte, el doble , etc , cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

Magnitudes inversas Una brigada de 8 constructores, en la cual trabajan todos con las misma eficiencia, ejecuta una cierta obra trabajando durante 20 días. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la misma obra dos de los obreros de la brigada? Solución Disposición de los datos 20 días----- 8 obreros x días----- 2 obreros ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene: 20/X =2/8 X= 20. 8/2 o sea X=80 días.

Resumen Magnitudes directas: Al multiplicar una cantidad , se multiplica la otra. Ejemplo : cuanto más compramos más nos gastamos. Ejemplo: El salario de un obrero y la duración de su trabajo.

Resumen Magnitudes inversas: Al multiplicar una cantidad se divide la otra. Ejemplo: a más velocidad, menos tiempo invertido. Ejemplo: El número de obreros y el tiempo que emplean en ejecutar un trabajo.

Gráficas PROPORCIÓN DIRECTA 2. Dos magnitudes M y M´ directamente proporcionales dan lugar a una gráfica de este tipo: 1. Si la gráfica de dos variables es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, entonces una variable es directamente proporcional a la otra.

Gráficas PROPORCIÓN INVERSA Si dos magnitudes son inversamente proporcionales dan lugar a una gráfica del tipo: hipérbola

Porcentajes En la tele o la radio habrás oído que un Banco ha tenido un 7 por ciento de beneficios. Esto quiere decir que por cada 100 monedas ha conseguido 7 más y ahora tiene 107 monedas. El porcentaje de beneficio ha sido el 7 %. Porcentaje o tanto por ciento quiere decir lo mismo.

Otro ejemplo: La ley de IVA dice que todos los comerciantes pagan al Estado un impuesto del 8 por ciento (8 %) de todas las ventas. Si una tienda ha vendido 100 euros pagará al Estado 8 euros; si hubiese vendido 200 euros, tendría que pagar 16 euros.

Porcentajes Un TANTO POR CIENTO o un PORCENTAJE es una parte de un total de 100 unidades. Se expresa mediante el símbolo% Un procentaje es equivalente a una razón con denominador 100 y también al número decimal correspondiente.

Porcentajes

Variaciones porcentuales Disminuciones: En varias épocas del año vemos en los comercios el cartel de rebajas. Si el cartel dice 20 % esto quiere decir que por cada 100 monedas que valga el producto me rebajarán 20 monedas. Si compro un pañuelo que vale 100 monedas, me rebajarán 20 y tendré que pagar 80.

DISMINUCIONES Para hallar el tanto por ciento de una cantidad se multiplica ese tanto por la cantidad y se divide por 100. Así el 20 % de 2500 = (20 x 2500) : 100 = 500. También se puede hacer así: 2500 x 0, 20 = 500.

Variaciones porcentuales Para hallar la cantidad final de otra a la que le aplicamos un r % de disminución multiplicamos esa cantidad por(1 -r/100) es el ÍNDICE DE VARIACIÓN DE LA DISMINUCIÓN PORCENTUAL

Variaciones porcentuales Incrementos: Un trabajador ganaba 1580 € al mes en el año 2010. ¿Cuánto ganará al mes en 2011 si el sueldo ha tenido una subida del 2%? 1580 + 2% de 1580 = 1580 + 0. 02 · 1580 = (1+0. 02) · 1580 = 1. 02 · 1580 = 1611. 60 Ganará 1611. 60 € al mes Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad.

Variaciones porcentuales Para hallar la cantidad final de otra a la que le aplicamos un r% de aumento multiplicamos esa cantidad por(1+r/100) es el ÍNDICE DE VARIACIÓN DE LA INCREMENTO PORCENTUAL

EJEMPLOS AUMENTO El precio de una bicicleta era de 240 euros. A este precio hay que añadirle el 16% de I. V. A. ¿Cuál es el precio final? 1+0, 16 =1, 16 240· 1, 16 =278, 40 euros DISMINUCIÓN El precio de un ordenador era de 1200 euros, pero me han hecho un 15% de descuento. ¿Cuál es el precio final? 1 - 0, 15=0, 85 1200· 0, 85=1020 euros

Proporcionalidad compuesta Se estudia el tipo de proporcionalidad entre dos magnitudes cuando las otras permanecen fijas. Se iguala la razón que contiene la incógnita con el producto de las razones de las otras magnitudes. Si las magnitudes son inversamente proporcionales, se invierte la razón correspondiente.

Ejemplo de proporcionalidad compuesta Un peregrino, caminando 10 horas diarias durante 24 días, recorre 720 kilómetros. ¿Cuántos días necesitará para recorrer 432 kilómetros, caminando 8 horas diarias? INVERSA 24 días------10 horas------720 km x días------ 8 horas-------432 km DIRECTA