Problemas de Proporcionalidad Preparado por Yuli Domnguez Portal

Problemas de Proporcionalidad Preparado por: Yuli Domínguez Portal Educa Panamá Grupo Océano

Problemas de Proporcionalidad � Existen un gran número de problemas en los que intervienen las proporciones. La mayor parte de ellos se pueden clasificar por la en los que se resuelven por la llamada regla de tres, los que implican repartos proporcionales y aquellos en los que se aplican las reglas de sociedad o de compañía.

Regla de Tres Estos problemas son casos de proporcionalidad directa en los que el método para determinar la solución consiste en hallar un término de una proporción de la que se conocen los otros tres.

El siguiente ejercicio se resuelve mediante la regla de tres: si 5 libros de lectura al mismo precio cada uno costaron 210 u. m. , ¿cuál será el importe de una docena de libros iguales?

El dinero y los libros son magnitudes directamente proporcionales, puesto que cuanto mas libros se compren, mas dinero ( y en la misma proporción)costara el total. El planteamiento del problema es el siguiente: 5 libros 12 libros 210 u. m. x u. m.

La proporción resultante es: � 5 = 210 12 x Por la equivalencia entre el producto de los medios y el de los extremos, se tiene: X. 5 = 210. 12 La incógnita x del problema planteado se despeja de la siguiente manera: X= 210. 12 = 2 520 = 504 5 5 Por lo tanto, 12 libros costaran 504 u. m. �

Repartos Proporcionales Otro tipo de problema que se resuelve gracias a las propiedades de las proporciones es el de repartir una cierta cantidad de forma directa o inversamente proporcional entre varios receptores. Considérese el siguiente ejemplo: dos personas invirtieron 2 000 y 3 000 dólares, respectivamente, en un negocio en el que obtuvieron una ganancia neta de 1 000 dólares. ¿ Cómo se debe repartir la ganancia?

Se parte del principio de quien mas dinero colocó, mas ganancia debe obtener. El problema consiste, por tanto, en determinar cuanto gana cada uno. Para solucionarlo, se designa con x la parte que corresponde a la primera persona, y con y la parte que corresponde a la segunda. Por tanto, se sabe que, en el ejemplo: X + y = 1 000

Para repartir la ganancia proporcionalmente a la cantidad invertida por cada uno, se establece la siguiente proporción: X = 2 000 Y 3 000 A partir de ella, por la propiedad anteriormente descrita de las series de razones iguales, cabe establecer las siguientes proporciones:

Como x + y = 1 000, si se sustituye en la primera de las nuevas proporciones, se tiene:

� Al efectuar la suma en el primer denominador, se pasa a:

Por la igualdad entre los producto de medios y producto de extremos, y tras despejar la incógnita, el resultado es: � � El valor de x obtenido se sustituye ahora en la otra ecuación: El resultado es: Por lo tanto, si llega al resultado de que la primera persona debe percibir 400 dólares, y la segunda, 600

Reglas de sociedad o de compañía Cuando varias personas colocan dinero en un negocio en común, lo que se gana o se pierde en el mismo se debe repartir en forma proporcional a lo que cada una colocó y al tiempo que tuvo colocado dicho dinero. � De estas situaciones derivan una serie de problemas que se conocen con la denominación común de << problemas de sociedad o de compañía>>, y entre los cuales pueden presentarse varios tipos distintos. �

Reparto Directamente Proporcional � En primer lugar, puede suceder que los socios coloquen distintos capitales durante un mismo tiempo: en tal caso, las ganancias o perdidas de cada uno dependen sólo del capital colocado, y el problema se reduce entonces a un problema de reparto directamente proporcional al capital invertido. � También puede suceder que los socios coloquen iguales capitales pero durante distintos períodos de tiempo: en esta situación, la ganancia o la pérdida de cada socio dependerá del mayor o menor tiempo que haya tenido colocado su dinero, y los problemas de este tipo se resuelven como un reparto directamente proporcional a los tiempos que cada capital haya estado invertido.

Reparto Compuesto Por fin, puede darse la situación más compleja en la que los socios coloquen diferentes capitales durante distintos períodos de tiempo: cuando esto sucede, se trata del llamado reparto compuesto, ya que se debe repartir la ganancia o la pérdida de forma proporcional al dinero colocado y también al tiempo que dicho dinero estuvo colocado.

Un ejemplo de problema de reparto compuesto es el siguiente: dos personas invierten en un negocio, la primera con 4 000 u. m. durante 4 meses y la segunda con 3 000 u. m. durante 2 meses. Al cabo de los 4 meses, el negocio da una pérdida de 880 u. m. ¿Cuál es la pérdida de cada uno de los socios? El dinero que pierde el primero de los socios de representa mediante la letra x, y el dinero que pierde el segundo, con y. Como la suma de las pérdidas de cada uno ha de ser igual a la perdida total, se tiene: x + y = 880

La proporción entre las pérdidas, los capitales invertidos y las distintas duraciones de las inversiones se forma según la siguiente regla: la razón entre la pérdida de un socio y el producto de capital que ha invertido por la duración de la inversión de dicho socio ha de ser igual a la perdida del otro entre su inversión multiplicada por su duración:

Al aplicar esta regla al ejemplo, se obtiene Se realizan las multiplicaciones de los denominadores y se obtiene:

� De la expresión anterior se deduce las siguientes:

Se sustituye la primera x + y por 880, tal como se había establecido al valorar la suma de las pérdidas, y se consigue:

A continuación se procede a despejar la incógnita x en la expresión obtenida, es decir:

Una vez hallado el valor de x, se sustituye en la segunda expresión: Se aísla la incógnita y: