PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS SEGMENTO DE

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS SEGMENTO DE PUNTOS A y B = [A, B] LONGITUD DEL SEGMENTO [A, B] A B d(A, B) También se utiliza la siguiente notación: d(A, B) = AB ó d(A, B) = a PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS [A; B] y [C, D] son PROPORCIONALES a [E, F] Y [G, H], si se cumple Ejemplo:

Actividad 1 • La razón entre dos segmentos es 3/5. Si el segmento mayor mide 10 cm. , ¿Cuánto mide el segmento menor?

TEOREMA DE TALES Si r y r’ son dos rectas secantes en el punto O [0, B] [0, A] A 0 [0, A’] A’ [0, B’] B B’ Si trazamos dos nuevas rectas paralelas que cortan a r y r’ en los puntos A, B y A’, B’ respèctivamente Entonces, los segmentos [O, A] y [O, B] son PROPORCIONALES a los segmentos [O, A’] y [O, B’]

Actividad 2 • Halla la longitud x, e y de los segmentos desconocidos de la figura siguiente: 1 cm 2 cm 3 cm x cm 4 cm y cm

APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES A C N Dada una triángulo ABC M B Si trazamos una recta paralela a un lado (por ejemplo al lado BC) Entonces el nuevo triángulo AMN, tiene los lados proporcionales al triángulo ABC. Es decir: AB/AM = AC/AN = BC/MN.

Actividad 3 • Calcula las longitudes x, e y desconocidas de la figura siguiente: 3, 5 cm x cm 1 cm y cm 3 cm

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS Para dividir un segmento [O, A] en partes proporcionales a, b y c: Trazamos un segmento de longitud a + b + c, con origen en O. a b c 0 a` b` c` A Trazamos paralelas (utilizando T. Tales), y obtenemos dicha división

Actividad 4 • Dibuja en tu cuaderno un segmento de 11 cm. y divídelo en dos partes tales que una sea ¾ de la otra.

Cuarto, tercero y medio proporcional Dado 3 segmentos de longitudes a, b y c, decimos que el segmento de longitud desconocida x es el CUARTO PROPORCIONAL de a, b y x c, si se cumple: b a c Si b = c, decimos que el segmento de longitud desconocida x es el TERCERO PROPORCIONAL de a, b si se cumple: x b a b El segmento de longitud b es el MEDIO PROPORCIONAL

FIGURAS PLANAS SEMEJANTES Dos figuras planas son SEMEJANTES si están relacionadas de manera que una es una reducción o ampliación de la otra. POLÍGONOS SEMEJANTES Dos POLÍGONOS de n lados son SEMEJANTES si tiene los mismos ángulos y los lados son proporcionales. Razón de semejanza =

Construcción de polígonos semejantes Dado un polígono O Se traza un punto O cualquiera y se trazan semirrectas que parten de O, y pasan por los vértices Se toma la razón r, y se trazan paralelas a los lados

Actividad 5 • Dibuja en tu cuaderno un triángulo que tenga un lado de 2, 5 cm. y otro de 3, 5 cm. Y un ángulo de 80º comprendido entre ellos. ¿Sabrías trazar ahora otro triángulo semejante dos de cuyos lados midiesen 7, 5 cm. y 10, 5 cm. respectivamente? ¿Cuál es la razón de semejanzas entre ambas figuras?

1º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A A’ B C’’ C B = B’ C = C’ B’

2º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A A’ b’ c b c’ B C’’ C A = A’ b/b’ = c/c’ B’

3º CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si: A A’ b’ c b c’ B a C B’ a/a’ = b/b’ = c/c’ a’ C’’

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos ABC, A’B’C’ rectángulos en A y A’ son semejantes si: C’’ C A B A’ 1. - Tiene un mismo ángulo agudo B = B’ ó C = C’ 2. - Dos pares de lados homólogos son proporcionales B’

TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURA Dado un triángulo rectángulo ABC : b A c h C m a P B n Trazamos la perpendicular al segmento [B, C] que pasa por A. Denominamos P al punto de intersección, m = CP, n = PB y h = AP Por semejanzas de triángulos ABC y CPA, y también ABC y PBA, De donde se deducen los siguientes teoremas: Teorema del CATETO. - Cada cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre esta: Teorema de la ALTURA. - La altura de un triángulo rectángulo es la media proporcional de los dos segmentos que dividen la hipotenusa:

Actividad 6 • Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm. Y 8 cm. , respectivamente: a) ¿Cuánto miden sus proyecciones sobre la hipotenusa? b) ¿Cuánto vale la altura del triángulo sobre la hipotenusa?

RELACIÓN ENTRE FIGURAS SEMEJANTES Si P y P‘ son polígonos SEMEJANTES de lados a 1, a 2, …. , an y de lados homologos a’ 1, a’ 2, …, a’n. La razón de semejanza es: r = a 1/a’ 1 = a 2 /a’ 2 = …. = an / a’n = a b b’ a’ c P d e c’ P’ Ejemplo: d’ r = e’ PERIMETRO de P‘. a’+b’+c’+d’+e’ a+b+c+d+e = (1/2). (a+b+c+d+e) a+b+c+d+e = 1/2 Si F y F‘ son figuras planas semejantes: r 2 = ÁREA de F / ÁREA de F‘. Si C C‘ son cuerpos semejantes : r 3 = VOLUMEN de C / VOLUMEN de c‘.

Actividad 7 • La razón entre los radios de dos esferas es 5/7. Halla el volumen de la esfera grande, sabiendo que el de la pequeña es 250 cm. 3 .

ESCALAS DE MAPAS Y PLANOS Se llama ESCALA a la razón de semejanza que existe entre la representación gráfica de un objeto cualquiera y la dimensión real del mismo. Usamos ESCALAS de AMPLIACIÓN para representar objetos pequeños. Usamos ESCALAS de REDUCCIÓN para representar objetos grandes.

Actividad 8 • Dos ciudades distan entre sí 25 km. ¿A qué distancia se hallarán en un plano de escala 1: 25. 000? ¿Y en otro en el que se indica que 5 cm. Equivalen a 100 km. ?

Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http: //recursostic. educacion. es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva