U D 3 3 ESO E AC PROPORCIONALIDAD

U. D. 3 * 3º ESO E. AC. PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U. D. 3. 4 * 3º ESO E. AC. REPARTOS PROPORCIONALES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

Propiedad de proporcionalidad • • PROPIEDAD Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple siempre que la suma o resta de cantidades siguen siendo directamente proporcionales. • • • a b --- = k a’ b’ • • • a --- = k a = a’. k a’ • • • a+b a’. k + b’. k k. ( a’ + b’ ) a’ + b’ -------- = ------------ = k a’+ b’ a’ + b’ @ Angel Prieto Benito a+ b ------- = k a’+b’ ; b ----- = k b = b’. k b’ Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

Aplicación de la Propiedad • Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. • • Magnitud “Ganancias” Magnitud “Horas trabajo” • • • 8+12 20 ------ = 4 2+3 5 • • • 12+16 28 ----- = 4 3+4 7 • • • 8+12+16 36 ------- = 4 , como vemos es un valor constante 2+3+ 4 9 @ Angel Prieto Benito 8 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12 3 16 4 4

Repartos Directamente Proporcionales • • Hemos visto que se cumple en las magnitudes D. P. : a b c a+ b+c --- = ------- = k a’ b’ c’ a’+b’+c’ • • Como: a a+ b+c a+b+c --- = ------ a = a’. ------ = a’. k a’ a’+b’+c’ a‘+b’+c’ • En problemas de reparto nos suelen dar la cantidad total a repartir (S=a+b+c) y las cantidades directamente proporcionales (a’, b’, c’), quedando: S S S a = a’. ------ , , b = b’. ------ , , c = c’. ------a’+b’+c’ • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Repartos Directamente Proporcionales • EJEMPLO_1 • Una madre reparte 60 € entre sus tres hijos, en razón directamente proporcional al número de semanas que la han ayudado en las tareas caseras, que han sido de 3, 4 y 5 respectivamente. ¿Cuánto les ha correspondido a cada uno? . • Aplicando la propiedad indicada arriba, tenemos: • • • a b c a + b + c 60 --- = ------- = k 3 4 5 3 + 4 + 5 12 • • Como k =60/12 = 5 a = 3. k = 15 b= 4. k = 20 c= 5. k = 25 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Repartos Directamente Proporcionales • EJEMPLO_2 • Un profesor de matemáticas reparte puntos extras entre cuatro alumnos que han buscado y solucionado problemas originales, en cantidad de 2, 4, 5 y 7 problemas respectivamente. Si al alumno que resolvió 4 problemas le correspondieron 0, 75 puntos, ¿cuánto les ha correspondido a cada uno y cuántos puntos repartió en total? . • • • Aplicando la propiedad, tenemos: a 0, 75 c d S --- = ------- = k 2 4 5 7 18 Como k =0, 75/4 = 0, 1875 a = 2. k = 2. 0, 1875 = 0, 375 c= 5. k = 5. 0, 1875 = 0, 9375 d= 7. k = 7. 0, 1875 = 1, 3125 S = 18. k = 18. 0, 1875 = 3, 375 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Repartos Inversamente Proporcionales • Como en dos magnitudes inversamente proporcionales se cumple siempre que: • a. a’ = k • • Podemos poner que • • 1 • Luego a y --- • a’ 1 a : ---- = k a’ son directamente proporcionales. • Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a los números 10, 5 y 2 es equivalente a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a 1 / 10 = 0, 1 / 5 = 0, 2 y 1 / 2 = 0, 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

Repartos Inversamente Proporcionales • EJEMPLO 1 • Se venden tres máquinas por 1700 €, en razón inversamente proporcional a la antigüedad de cada una, que es de 10, 20 y 50 años respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una? . • • Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. Por tanto, tenemos: • • • a b c 1700 ------- = ------------ = k 1/10 1/20 1/50 1/10+1/20+1/50 • • Como k =1700 /(0, 1+0, 05+0, 02) = 1700 / 0, 17 = 10000 a = k. 0, 1 = 10000. 0, 1 = 1. 000 b= k. 0, 05 = 10000. 0, 05 = 500 c= k. 0, 02 = 10000. 0, 02 = 200 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

Repartos Inversamente Proporcionales • EJEMPLO 2 • Un padre reparte 100 € entre sus tres hijos, en razón inversamente proporcional a los días que han llegado tarde a casa, que son 2, 5 y 8 días respectivamente. ¿Cuánto les corresponde a cada uno? . • • Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. Por tanto, tenemos: • • • a b c 100 ------- = ------------ = k 1/2 1/5 1/8 1/2+1/5+1/8 • • Como k =100 / (0, 5+0, 2+0, 125) = 100 / 0, 825 = 121, 21 a = k. 0, 5 = 121, 21. 0, 500 = 60, 60 € b= k. 0, 2 = 121, 21. 0, 200 = 24, 24 € c= k. 0, 125 = 121, 21. 0, 125 = 15, 15 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

Relojes (I) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

Relojes (II) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

Relojes (y III) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13