PROPORCIONALIDAD U D 3 Angel Prieto Benito 4

PROPORCIONALIDAD U. D. 3 @ Angel Prieto Benito * 4º ESO E. AP. Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

PROPORCIONALIDAD DIRECTA U. D. 3. 1 @ Angel Prieto Benito * 4º ESO E. AP. Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

RAZÓN • • • Una razón es la división entre dos cantidades comparables. Se escribe: a --- y se lee “a es a b” b Al número a se le llama antecedente. Al número b se le llama consecuente. • Ejemplo: • Una persona lee un libro de 250 páginas en 8 horas. Hallar la razón entre el número de páginas que lee y el tiempo que tarda. 250 ------ = 31, 25 8 El resultado, 31, 25, es la velocidad de lectura de dicha persona. Lee a razón de 31, 25 páginas por hora. • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

PROPORCIÓN • • Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se escribe: a c --- = ---- y se lee “a es a b como c es a d” b d • PROPIEDAD FUNDAMENTAL • En una proporción siempre se cumple: • • O sea que el producto de medios (b y c) es igual al producto de extremos (a y d). • Ejemplo • • • 2, 5 2 ----- = ---- 2, 5. 4 = 5. 2 10 = 10 , luego vemos que se cumple. 5 4 @ Angel Prieto Benito a. d = b. c Matemáticas 4º ESO E. AP. 4

Proporcionalidad DIRECTA. • Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando se cumplen dos condiciones: • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. – La razón, k, entre esas dos magnitudes se llama constante de proporcionalidad. • • Magnitud M Magnitud N • • • a b c --- = k a’ b’ c’ @ Angel Prieto Benito a a’ b b’ Matemáticas 4º ESO E. AP. c c’ 5

Proporcionalidad DIRECTA. • EJEMPLO 1 • Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. • • Magnitud “Ganancias” Magnitud “Horas trabajo” • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 2 < 3 < 4 8 < 12 < 16 • SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 8 12 16 --- = 4 , como vemos es un valor constante: k = 4 2 3 4 Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. • • @ Angel Prieto Benito 8 2 Matemáticas 4º ESO E. AP. 12 3 16 4 6

Proporcionalidad DIRECTA. • EJEMPLO 2 • Nos cobran 80 € si compramos 4 libros, 120 € si compramos 6, 200 € si compramos 10, etc. • • Magnitud “Coste” Magnitud “Nº cuadernos” • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 4 < 6 < 10 80 < 120 < 200 • SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 80 120 200 ----- = 20 , como vemos es un valor constante: k = 20 4 6 10 Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. • • @ Angel Prieto Benito 80 4 Matemáticas 4º ESO E. AP. 120 6 200 10 7

Proporcionalidad DIRECTA. • EJEMPLO 3 • En una piscina donde tenemos una bomba de agua desalojándola observamos que hay 800 litros a los 4 minutos, 600 litros a los 6 minutos y 400 litros a los 8 minutos. • • Magnitud “Cantidad en litros” Magnitud “Tiempo en minutos” • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 4 < 6 < 8 800 > 600 > 400 Al aumentar el tiempo disminuye la cantidad. Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. Pero: Magnitud “Cantidad desalojada en litros” 800 – 600 – 400 Magnitud “Tiempo transcurrido en minutos” 6– 4 8– 6 Vemos que la razón es la misma: 200 / 2 = 100 • Las magnitudes “Cantidad de agua desalojada” y “Tiempo empleado” son directamente proporcionales. La constante r = 100 indica que el agua se desaloja a razón de 100 litros por minuto. • @ Angel Prieto Benito 800 4 Matemáticas 4º ESO E. AP. 600 6 400 10 8

Contraejemplo • CONTRAEJEMPLO • Una persona gana 12 € si trabaja 2 horas, 15 € si trabaja 3 horas, 20 € si trabaja 4 horas, etc. • • Magnitud “Ganancias” Magnitud “Horas trabajo” • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser la misma. • • 12 15 20 --- = 6 , , ---- = 5 , , ----- = 5 , como vemos NO es un valor constante 2 3 4 Las dos magnitudes dadas NO son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito 12 2 Matemáticas 4º ESO E. AP. 15 3 20 4 9

Regla de tres simple directa • Si dos magnitudes son directamente proporcionales, podemos aplicar para la resolución del ejercicio la llamada REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. • • EJEMPLO 1: Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas. ¿Cuánto ganará si trabaja 15 horas? . Suponemos que el sueldo de cada hora es fijo, constante: Son D. P. 2 h 8€ 15 h x€ Se multiplican en cruz y se igualan: 2. x = 15. 8 2. x = 120 / 2 = 60 € • • La razón de proporcionalidad sería, en este caso: 8 60 --- = ---- = r , de donde r = 4 , que es lo que vale la hora trabajada. 2 15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 10

Regla de tres simple directa • • Ejemplo 2 Si cuatro cuadernos han costado 8 €, ¿cuánto nos costarán 7 cuadernos? . • Suponemos que el precio de cada cuaderno es fijo, constante, por lo que las magnitudes son D. P. • • 4 c 7 c • • • Se multiplican en cruz y se igualan: 4. x = 7. 8 4. x = 56 / 4 = 14 € La razón de proporcionalidad sería, en este caso: 8 14 --- = ---- = r , de donde r = 2 , que es lo que vale cada cuaderno. 4 7 @ Angel Prieto Benito 8€ x€ Matemáticas 4º ESO E. AP. 11

Regla de tres simple directa • • Ejemplo 3 Si tres pintores tardan 4 días en pintar una casa, ¿cuántos días tardarán en pintar la misma casa seis pintores? . • • • Suponemos que las magnitudes son D. P. 3 p 4 d 6 p xd • • Se multiplican en cruz y se igualan: 3. x = 6. 4 3. x = 24 • Vemos que algo está mal. El doble de pintores no pueden tardar el doble de tiempo, sino la mitad del tiempo. • No se puede aplicar la regla de tres simple directa, porque las magnitudes (nº de pintores y tiempo en días) no son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito x = 24 / 3 = 8 días Matemáticas 4º ESO E. AP. 12