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PROPORCIONALIDAD 2º ESO 1. -Razón de dos números Hasta ahora, el cociente indicado de dos números, por ejemplo 8 y 7, era una división, 8 : 7 y también una fracción, Vamos a añadir un nuevo significado a ese cociente. Es el de razón de dos números. Diremos que la razón de dos números es su cociente indicado. La expresaremos en forma de fracción y la leeremos “ 8 es a 7”. Ejemplo: La razón de 5 y 8 es “ 5 es a 8” En la práctica, podemos considerar a razón y fracción como cosas similares. Por ello podremos decir que la razón entre 15 y 20 es o , que es la fracción equivalente irreducible Cuando aplicamos la razón de dos números a cantidades estamos expresando la relación que hay entre ellas. Es decir, si la razón de dos cantidades es significa que por cada 5 unidades de la primera hay 8 de la segunda. Las escalas de planos y mapas son, en realidad, razones entre las medidas del papel y del terreno.

PROPORCIONALIDAD 2º ESO 2. - Proporción es la igualdad de dos razones. Es decir, si dos razones son iguales, puedo escribir esa igualdad y a la expresión que resulta la llamamos proporción. Las razones y son iguales. Puedo escribir por tanto . Es una proporción y la leeremos: “ 1 es a 2 como 3 es a 6” Y como en las fracciones equivalentes, también en una proporción al multiplicar en cruz se obtiene el mismo resultado. Compruébalo en el ejemplo anterior. En el caso de las proporciones se dice que “el producto de medios es igual al producto de extremos”. Al igual que en las fracciones equivalentes, también en una proporción puede haber algún término desconocido. Lo calcularemos de la misma forma. Fíjate en los ejemplos:

PROPORCIONALIDAD 2º ESO 3. - Magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en el mismo sentido. Es decir: A doble en la primera magnitud, doble en la segunda. Número de personas que van en el autobús y recaudación del autobús. Tiempo que está encendida una bombilla y consumo de energía. Número de vacas que posee un granjero y pienso que gasta a la semana Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al variar una de ellas en un sentido, la otra varía en sentido contrario. Es decir: A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda. Número de obreros y tiempo en hacer un trabajo. Velocidad de un coche y tiempo en recorrer un trayecto. Número de vacas y tiempo que durará el pienso

PROPORCIONALIDAD 2º ESO 4. - Tablas en la proporcionalidad directa A doble en la primera magnitud, doble en la segunda Naranjas (kg) 2 3 4 5 Precio (€) 4 6 8 10 2 (es lo que corresponde a 1) En una tabla de proporcionalidad directa, el cociente de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad directa y para completar tablas incompletas. El cociente se llama “razón de proporcionalidad”. A 2 3 4 5 B 12 18 24 30 A 4 B 20 5 10 50 Es una tabla de proporcionalidad directa (los cocientes son iguales) A 4 2 5 10 B 20 10 25 50

PROPORCIONALIDAD 2º ESO 5. - Tablas en la proporcionalidad inversa A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda Operarios 2 3 4 8 Tiempo (h) 12 8 6 3 2. 12 = 3. 8 = 4. 6 = 8. 3 = 24 (es lo que corresponde a 1) En una tabla de proporcionalidad inversa, el producto de cada pareja de valores correspondientes es constante. Ello nos sirve para comprobar si una tabla es de proporcionalidad inversa y para completar tablas incompletas. El valor del producto es “la constante de proporcionalidad”. A 2 3 4 10 B 12 8 6 2, 4 A 4 B 9 6 12 18 Es una tabla de proporcionalidad inversa (los productos son iguales) A 4 3 6 2 B 9 12 6 18

PROPORCIONALIDAD 2º ESO 6. - Tablas de proporcionalidad y proporciones Propocionalidad directa Proprocionalidad inversa Naranjas (kg) Precio (€) Operarios Tiempo (h) 2 4 2 12 3 6 3 8 4 6 5 10 6 4 En la proporcionalidad directa, la razón de dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón de las cantidades correspondientes en la otra magnitud. En la proporcionalidad inversa, la razón de dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón inversa de las cantidades correspondientes en la otra magnitud.

PROPORCIONALIDAD 2º ESO 7. - Problemas de proporcionalidad directa En una fábrica, 8 máquinas producen 120 piezas. ¿Cuántas piezas producirán 25 máquinas? POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD Máquinas Pieza 8 25 120 ? 120 : 8 = 15 25. 15 = 375 POR REGLA DE TRES Máquinas Piezas 8 ---- 120 25 ---- x D D = 375 Solución: 375 piezas

PROPORCIONALIDAD 2º ESO 8. - Problemas de proporcionalidad inversa Doce operarios hacen un trabajo en 6 días. ¿ En cuánto lo harán 8 operarios ? ¿ Y 3 operarios ? POR REDUCCIÓN A LA UNIDAD Oper 12 8 3 Días 6 ? ? I 12. 6 = 72 72 : 8 = 9 72 : 3 = 24 Solución: 9 días 24 días POR REGLA DE TRES Operarios Días 12 ---- 6 8 ---- x 3 ---- y I Solución: 9 días 24 días

PROPORCIONALIDAD 2º ESO 9. - Resolución de problemas de proporcionalidad por regla de tres Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos: 1º. - Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa 2º. - Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de cada magnitud en la misma unidad. 3º. - Escribir la proporción correspondiente 4º. - Hallar x Fíjate en los siguientes ejemplos. Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros mitad de tiempo) Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas? ( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero) Camisetas Dinero(€) 12 ------- 96 57 ---- x Nº obreros Tiempo (h) 10 ----- 8 16 ----- x D I Solución 5 horas Solución 456 €

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 10. - Concepto de porcentaje La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100. Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos por el tanto por ciento. Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente: 420 : 100 = 4, 2. 35 = 147 En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final de las cantidades. Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes: 4% de 600 = 4. 6 = 24 20% de 60 = 2. 6 = 12 30% de 50 = 3. 5 = 15 8% de 2000 = 8. 20 = 160 40% de 500 = 40. 5 = 200 4% de 50 = 4. 0, 5 = 2 (*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final, 2.

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 11. - Cálculo de porcentajes : porcentaje como fracción Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100 también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir, 40% = Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular procederemos así: 35 % de 60 = de 600. En la práctica 21 A esta forma de calcular porcentajes se le suele llamar porcentaje como fracción. 28% de 420 = 117, 6 150% de 36 = 54

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 12. - Cálculo de porcentajes : porcentaje como decimal Si 40% es eso equivale a decir que 40% es lo mismo que 0, 40 ya que = 0, 40 Por ello, para hallar el 40% de 600 podremos hacer lo siguiente: 600 · 0, 40 = 240 Así, para hallar un tanto por ciento de una cantidad, multiplicaremos la cantidad por el decimal que equivale al tanto por ciento. Ejemplos: 35% de 450 = 450 · 0, 35 = 157, 5 116 % de 1289 = 1289 · 1, 16 = 1495, 24

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 13. - Cálculo de porcentajes : porcentaje como regla de tres Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres. Ejemplo: Calcular 40% de 650 Total Parte 100 ------ 40 650 ------ x Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos problemas.

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 14. - Cálculo de porcentajes : con calculadora Calcular 35% de 60 CALCULADORA NO CIENTÍFICA Deberás teclear: CALCULADORA CIENTÍFICA La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora. Para la Casio es: 60 x 35 % 60 x 35 SHIFT = y aparecerá el resultado en la pantalla SHIFT 21 Tecla = activa la segunda función de las teclas contiene % como segunda función SHIFT + = % SHIFT = %

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 15. - Cálculo rápido de algunos porcentajes: 10% = décima parte (: 10) 50% = la mitad (: 2) 10% de 42 = 42 : 10 = 4, 2 50% de 36 = 36 : 2 = 18 25% = la cuarta parte (: 4) 25% de 40 = 40 : 4 = 10 20% = la quinta parte (: 5) 20% de 35 = 35 : 5 = 7 75% = las tres cuartas partes (: 4) y (x 3) 75% de 16 = 16 : 4. 3 = 12

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 16. - Cálculo de porcentajes : resumen 50 % de 300 150 a) Porcentaje como fracción: 50% de 300 = Total b) Como regla de tres: 50% de 300 Parte 100 ------ 50 x= 300 ------ x c) Como decimal => 50% de 300 = 300 · 0, 5 = 150 d) Con calculadora: 50% de 300 => 50 x 300 % = 150 e) Mentalmente (con números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50. 3 = 150 f) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 17. -Problemas de porcentajes 1 Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento: 30% de 40 = 12 porcentaje parte total A- CÁLCULO DE LA PARTE En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas? (El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos) total : 30 40% de 30 = 12 chicas: 40% Solución: 12 chicas (Si lo hacemos utilizando porcentaje como decimal) 30 · 0, 4 = 12

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 18. - Problemas de porcentajes 2 B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas? (Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100) Total Chicas Solución: 30 --- 12 40% 100 --- x Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres Alumnos % Solución: 30 ------- 100 12 ------- 40% x Otra forma de resolverlo utilizando decimales Total: 30 Chicas: 12 Solución: 12 : 30 = 0, 4 = 40%

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 19. - Problemas de porcentajes 3 C- CÁLCULO DEL TOTAL En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total? (Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100) Total Chicas Solución: 100 --- 40 x 30 alumnos/as --- 12 Otra forma de resolverlo utilizando regla de tres % Alumnos/as 40 ----- 12 100 ----- x Solución: 30 alumnos/as Otra forma de resolverlo utilizando decimales Chicas: 12 Chicas: 40% Solución: 12 : 0, 4 = 30 30 alumnos/as (si para calcular la parte multiplicamos por el decimal, para hacer lo contrario, es decir, para calcular el total, dividiremos por el decimal)

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 20. - Problemas de porcentajes 4 D- AUMENTO PORCENTUAL Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor y llega a un valor final. Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará después de la subida? Sueldo: 1200 € Aumento: 12% Otra forma de resolverlo Sueldo: 1200 € 12% de 1200 = 144 Solución: 1200 + 144 = 1344 € (Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convierten en 112) 112% de 1200 = 1344 Aumento: 12% Solución: 1344 € Otra forma de resolverlo utilizando decimales Sueldo: 1200 € Aumento: 12% Solución: 1200 · 1, 12 = 1344 €

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 21. - Problemas de porcentajes 5 E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un valor final. La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará entonces? Precio: 30€ Descuento: 25% Otra forma de resolverlo Precio: 30€ 25% de 30 = 7, 5 30 – 7, 5 = 22, 5 Solución: 22, 5 € (Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor) 75% de 30 = 22, 5 Descuento: 25% Solución: 22, 5 € Otra forma de resolverlo utilizando decimales Precio: 30€ Descuento: 25% 30 · 0, 75 = 22, 5 Solución: 22, 5 €

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 22. - Otros problemas de aumento y disminución porcentual (1) Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de aumento o disminución. Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba antes? Por regla de tres Antes Después 100 --- 112 x --- 1344 Solución: 1200 € Otra forma de resolverlo Sueldo antes: x Aumento: 12% 100% + 12% = 112% 112 % de x = 1344 Solución: 1200 € Sueldo después: 1344€ 1200 Otra forma de resolverlo utilizando decimales Sueldo después: 1344€ Aumento: 12% Solución: 1344 : 1, 12 = 1200 €

PROPORCIONALIDAD 2º ESO PORCENTAJES 23. - Otros problemas de aumento y disminución porcentual (2) He pagado 22, 50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes de la rebaja? Por regla de tres Antes Después 100 --- 75 x --- 22, 50 30 Solución: 30€ Otra forma de resolverlo Precio antes: x Descuento: 25% Precio después: 22, 50€ 100% - 25% = 75% 75 % de x = 22, 50 Solución: 30€ 30 Otra forma de resolverlo utilizando decimales Precio después: 22, 50€ Descuento: 25% Solución: 22, 50 : 0, 75 = 30 30€