Produk Cartesius Relasi Khusus RELASI Jika A dan

Produk Cartesius Relasi Khusus RELASI

Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x, y) dengan dan , ditulis Produk Cartesius

Misalkan maka:

Pengertian Relasi Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu. Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 } Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa : 2 adalah faktor dari 4 2 adalah faktor dari 10 2 adalah faktor dari 14 5 adalah faktor dari 10 Sedangkan 3 A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.

Diagram panah B A • 1 • 2 • 4 • 3 • 7 • 5 • 10 • 14

Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka : R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) } Jelaslah bahwa R A x B

Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ). Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R Ax. B A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),

Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri. R refleksif pada A bhb. ( x A). (x, x) R R non-refleksif pada A bhb. ( x A). ( x, x) R R irrefleksif pada A bhb. ( x A). ( x, x) R RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x. R simetris pada A bhb ( x, y A). (x, y) R (y, x) R R non- simetris pada A bhb ( x, y A). (x, y) R (y, x) R R asimetris pada A bhb ( x, y A). (x, y) R (y, x) R R antisimetris pada A bhb ( x, y A). (x, y) R (y, x) R x=y RELASI KHUSUS

relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x, y dan z A, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. R transitif pada A bhb. ( x, y, z A). (x, y) R ( y, z ) R (x, z) R R non-transitif pada A bhb : ( x, y, z A). (x, y) R ( y, z ) R (x, z) R R intransitif pada A bhb : ( x, y, z A). (x, y) R ( y, z ) R (x, z) R RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif, simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A. RELASI KHUSUS

Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu himpunan A disebut P a r t i s i dari A bhb. 1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu adalah himpunan A sendiri. 2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama merupakan dua himpunan yang saling lepas. Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari himpunan A, misalnya {A 1 , A 2 , A 3 , …. . An }, adalah partisi dari A apabila 1. A 1 A 2 A 3 …. . An = A 2. ( Ai , Aj ). Ai Aj =

FUNGSI Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut Fungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. f : A B bhb. ( x A). ( !y B). y = f (x)

Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu relasi yang mempunyai dua sifat khusus, yaitu: 1. Setiap anggota himpunan A (daerah asal) dikawankan dengan anggota himpunan B. (Seringkali dikatakan bahwa “ daerah asal dihabiskan “) 2. Kawan dari anggota-anggota himpunan A (daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapat dinyatakan secara simbolis: ( xi, xj A). x 1 = x 2 f (x 1) = f (x 2) FUNGSI

Diagram panah B A • 1 • 2 • 3 • 5 • 4 • 7 • 10 • 14 FUNGSI

Contoh: Misalkan A : {1, 2, 3, 4} B : {a, b, c} Terdapat relasi f : A B a. f : {(1, a), (2, b), (3, c)} b. f : {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b), (4, c)} c. f : {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)} FUNGSI

Contoh: Misalkan A : {1, 2, 3, 4} B : {a, b, c} Terdapat relasi f : A B a. f : {(1, a), (2, b), (3, c)} bukan fungsi hanya relasi biasa b. f : {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b), (4, c)} bukan fungsi hanya relasi biasa c. f : {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)} fungsi FUNGSI

FUNGSI Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi, yaitu: 1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara menyatakan aturan yang menentukan relasi antara angggota – anggota daerah asal dengan anggota – anggota daerah kawannya. Contoh : f: R R dimana f(x) = x R = himpunan semua bilangan nyata.

2. Cara himpunan : Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B dapat dipandang sebagai himpunan bagian (khusus) dari A x B. Maka fungsi f : R R dimana f ( x ) = x dapat juga disajikan sebagai suatu himpunan, yaitu himpunan bagian dari Rx. R: F = { (x, y) x R, y = x } FUNGSI

Kesamaan dua buah fungsi. Dua buah fungsi f : A B dan g : A B dikatakan sama bila kedua fungsi itu mengkaitkan anggota-anggota dari daerah asalnya dengan anggota-anggota yang sama didaerah kawannya. f=g bhb ( x A). f(x) = g(x) Contoh : f : R R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2) g : R R dimana g(x) = 2 x 2 -2 x-4 Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2) = 2(x 2 -x-2) = 2 x 2 -2 x-4 = g(x) Maka f = g FUNGSI

1. 2. 3. 4. 5. FUNGSI SURJEKTIF/ONTO FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU FUNGSI BIJEKTIF/KORESPONDENSI SATU-SATU FUNGSI KONSTAN FUNGSI IDENTITAS FUNGSI-FUNGSI KHUSUS

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A. Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ). f : A B adalah fungsi surjektif bhb ( y B) ( x A). y = f (x) bhb Rf = B bhb ( y B) f-1 (y) = FUNGSI SURJEKTIF/ONTO

Contoh Diagram panah B A • 2 • 3 • 7 • 10 • 5 FUNGSI SURJEKTIF

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. f : A B adalah fungsi injektif bhb ( x 1, x 2 A ). x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) bhb ( x 1, x 2 A ). f(x 1) = f(x 2) x 1 = x 2 FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU

contoh Diagram panah B A • 1 • 2 • 3 • 5 • 4 • 7 • 10 • 14 FUNGSI INJEKTIF

Suatu fungsi f : A B merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif. Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu. FUNGSI BIJEKTIF

Contoh Diagram panah B A • 2 • 3 • 7 • 10 • 5 • 14 FUNGSI BIJEKTIF

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B. f : A B adalah fungsi konstan bhb. ( !c B)( x A). f(x) = c Contoh: 2. Diagram panah B A 1. f(x) = 2 • 3 FUNGSI KONSTAN • 5 • 7 • 10 • 14

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri. Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama. f : A A adalah fungsi indentitas bhb. ( x A). f(x) = x FUNGSI IDENTITAS

CONTOH A Diagram panah A • 2 • 3 • 5 FUNGSI IDENTITAS

Misalkan A : {a, b, c} B : {1, 2, 3} C: {x, y, z, w} D: {4, 5, 6} f: A B g: B C h: C D i: B D Tentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif atau bijektif? a. f: {(a, 2), (b, 1), (c, 2)} b. g: {(1, y), (2, x), (3, w)} c. h: {(x, 4), (y, 6), (z, 4), (w, 5)} d. i: {(1, 4), (2, 6), (3, 5)} LATIHAN

Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapat disusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baru yang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi). Misalnya kita mempunyai dua buah fungsi f : A B dan g : C D di mana Rg A, C A B g f fog maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadi fungsi baru, yang disajikan dengan lambang fog: C B Dengan aturan (fog)(x)=f[g(x)] ( lambang “ f o g “ dibaca “ f bundaran g “ ) FUNGSI TERSUSUN

CONTOH: Modul halaman 81 Latihan: 1. Misalkan A : {a, b, c} B : {1, 2} C: {1, 2, 3} D: {x, y, z, w} f: A B, f: {(a, 2), (b, 1), (c, 2) g: C D, g: {(1, y), (2, x), (3, w)} Tentukan g o f! 2. Perhatikan fungsi f(x) = x 2 + 3 x + 1 dan g(x) = 2 x -3. Tentukan g o f (x)! FUNGSI TERSUSUN

gof A f C g D. x a. . 1 b. . 2 c. . 3 . y. z. w

CONTOH: Modul halaman 81 Latihan: 1. Misalkan A : {a, b, c} B : {1, 2} C: {1, 2, 3} D: {x, y, z, w} f: A B, f: {(a, 2), (b, 1), (c, 2) g: C D, g: {(1, y), (2, x), (3, w)} Tentukan g o f : A D g o f (a) = g(f(a)) = g(2) = x g o f (b) = g (f(b)) = g (1) = y g o f ( c ) = g(f (c ) = g(2) = x FUNGSI TERSUSUN

Perhatikan fungsi f(x) = x 2 + 3 x + 1 dan g(x) = 2 x -3. Tentukan g o f (x)! g o f (x) = g (f(x)) = g (x 2 + 3 x + 1) = 2 (x 2 + 3 x + 1) – 3 = 2 x 2 + 6 x + 2 – 3 = 2 x 2 + 6 x – 1

Sifat-sifat Komposisi Fungsi. 1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap tiga buah fungsi f, g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h) 2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap x anggota domainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f. 3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka fof=f of =i dimana i adalah fungsi identitas. FUNGSI TERSUSUN

Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan – bilangan nyata. Fungsi Nyata dan Grafik Fungsi