Potky kvantov mechaniky Cel fyzika je hotova veker

Počátky kvantové mechaniky Celá fyzika je hotova – veškerá naše práce nyní bude spočívat v upřesňování konstant. Již jen dva mráčky zastiňují čisté fyzikální nebe – Michelsonův experiment a záření absolutně černého tělesa. STR OTR William Thomson lord Kelvin 1824 - 1907 Kvantová mechanika V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda. gymjs. net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir. pospisil@fjfi. cvut. cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www. gnu. org).

Absolutně černé těleso Co je absolutně černé těleso a jak něco, co je absolutně černé, může zářit? Těleso pohltí všechno záření na něj dopadající – nic neodráží. Všechno záření, které z něj vychází, má původ v jeho vlastních zdrojích. Záření nezávisí na druhu materiálu – souvisí pouze s teplotou tělesa. Pojem zavedl roku 1860 G. Kirchhoff Gustav Robert Kirchhoff 1824 - 1887

Absolutně černé těleso Kovová kulička v temné chladné místnosti, zahřátá na vysokou teplotu. Slunce.

Absolutně černé těleso Pohlcení Dutina Světlo vcházející dovnitř Úzký otvor Mnohonásobné odrazy V laboratoři lze těleso realizovat pomocí dutiny, do které vede maličký otvor. Je-li dutina zahřátá, vyzařování otvoru se záření absolutně černého tělesa velmi blíží.

Absolutně černé těleso Stojaté vlny uvnitř dutiny Záření vycházející otvorem ven

Spektrum elektromagnetického záření • Elektromagnetické spektrum se skládá ze všech různých vlnových délek záření, včetně světla, radiových vln, paprsků X a dalších. • Jediné oblasti, kterou můžeme vnímat přímo, je viditelné světlo (oči) a infračervené záření (teplo). • Spektrum, přesněji zastoupení jednotlivých složek záření ve spektru, lze vyjádřit pomocí histogramu či grafu.

Intenzita záření Spektrum záření A. Č. T. - experiment Poloha vrcholu závisí na teplotě Maximum ve viditelné oblasti je pro těleso s teplotou kolem 5000 K – například Slunce Vlnová délka [nm]

Intenzita záření Spektrum záření A. Č. T. - experiment Pro nižší teploty je vyzařovací maximum v infračervené oblasti. Vlnová délka [nm]

Intenzita záření Spektrum A. Č. T. – předpověď klasické fyziky Ultrafialová katastrofa – množství vyzařované energie v UV oblasti a kratších vlnových délkách je nekonečné. Spektrum předpovídané klasickou elektrodynamikou. Vlnová délka [nm]

Planckova kvantová hypotéza • Rovnici, která dobře popisuje záření, odvodil roku 1900 německý fyzik Max Planck • Předpokládal, že energii nelze vyzařovat spojitě, nýbrž po určitých „porcích“, zvaných kvanta • Pomocí tohoto předpokladu popsal spektrum záření absolutně černého tělesa velmi přesně Max Planck 1858 - 1947 • On sám za tímto svým činem neviděl žádný převratný objev; kvantovou hypotézu bral jen jako šikovný matematický trik. E = h. f Planckova konstanta „Porce“ energie v kvantu Frekvence záření Konstanta (velmi malá), dnes známá jako Planckova

Planckova kvantová hypotéza Planckův vztah pro záření AČT ve variantě s frekvencí a vlnovou délkou vypadá následovně : kde f je frekvence záření, λ vlnová délka záření, c rychlost světla a k = 1. 38 x 10 -23 JK-1 Boltzmannova konstanta.

Fotoelektrického jev Toto chování neumí klasická elektrodynamika vysvětlit – předpokládá, že energie elektronů poroste s intenzitou světla (výkonem zdroje). l 3 er iá at m m at er iá l 1 er iá at energie elektronů kov m e- l 2 Ozáříme-li povrch kovového materiálu světlem určité vlnové délky (a tedy energie) začnou z něj vyletovat elektrony. Počet elektronů je úměrný intenzitě světla (tj. výkonu zdroje), jejich kinetická energie ale nikoliv. Ta závisí výhradně na materiálu (druh kovu) a na vlnové délce (frekvenci) světla! frekvence světla

Kvantové vysvětlení fotoelektrického jevu • Fotoelektrický jev vysvětlil Einstein pomocí Planckovy kvantové hypotézy • Fotoelektrický jev : Světlo vyráží z povrchu kovů elektrony. Jedno kvantum světla může vyrazit právě jeden elektron. Část energie kvanta se spotřebuje na překonání přitažlivé síly, jež váže elektron v materiálu (a ta je závislá na daném kovu), zbytek elektron dostane ve formě kinetické energie Albert Einstein 1879 - 1955 • Jak Planck, tak Einstein za tyto objevy obdrželi Nobelovu cenu. Ee = hf -W Záření AČT i vysvětlení fotoelektrického jevu zavání částicovou teorií světla (kterou poprvé nadhodil Newton a která byla opuštěna).

Comptonův jev Elektrony vyletují z místa srážky. Světlo dopadá na volné elektrony. α Arthur Holly Compton (1892 – 1962) Jev, který silně otřásl vírou v to, že světlo je vlnění, pozoroval roku 1923 američan A. Compton. Stejně jako Planck a Einstein dostal za svou práci Nobelovu cenu (1927) Světlo pokračuje v šíření pod jiným úhlem a větší vlnovou délkou. Dle klasické teorie se vlna sice může ohýbat na překážkách a předávat svou energii hmotným objektům (za snížení amplitudy), ale nemůže při tom změnit svou vlnovou délku!

Comptonův jev Popíšeme kvantum dopadajícího záření pomocí částice – fotonu. Částice je charakterizována kinetickou energií a hybností. e- α β e- E = h. f

Comptonův jev Zákon zachování hybnosti α Zákon zachování energie β

Vlnové vlastnosti světla – Youngův pokus Ve vysvětlení Comptonova jevu byly použity výpočty typické pro srážku částic. Ale světlo je vlna, to víme. Thomas Young (1773 - 1829 ) Zdroj světla (koherentního) Dvojštěrbina Stínítko

Počátky kvantové mechaniky Co je tedy světlo? Vlna, nebo částice? Obojí najednou!

Počátky kvantové mechaniky Trhlé, že? Ale to byl jen a jen začátek … Youngův pokus zobrazuje typickou vlnovou vlastnost světla. Jaký bude výsledek, budemeli jej provádět s částicemi?

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony Co od pokusu očekává zdravý selský rozum? To samé, co od ocelových kuliček : Ocelová kulička Proletí právě jednou štěrbinou. Dopadne na jedno místo na stínítku. Kulička může při průchodu štěrbinou změnit směr. Značme si, kam kuličky dopadly.

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony Svazek dopadajících elektronů

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony Elektrony vysílané po jednom Proč se elektrony nechovají stejně jako ocelové kuličky?

Počátky kvantové mechaniky Z čeho se skládá hmota? Z částic, nebo vlnění? Vévoda Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892 -1987) Ve vesmíru jsou k nalezení mnohé symetrie. Dá se říct, že ze symetrií vycházejí základní zákony přírody. Vlnu lze popsat jako částici Částici lze popsat jako vlnu

Částicově-vlnový dualizmus Dle de Broglieho hypotézy lze částicím připsat vlnové vlastnosti a přiřadit vlnovou délku. Vévoda Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892 -1987) Rovinné vlny odpovídající dopadajícím elektronům. I jediná částice se chová jako rovinná vlna.

Schrödingerova rovnice Částici lze popsat jako vlnu. Co se zde ale „vlní“? Jaké médium vlny přenáší? Každé částici je přiřazena tzv. Vlnová funkce. Obvykle se značí písmenem Ψ. Jedná se o funkci souřadnic a času, jejíž obor hodnot jsou komplexní čísla. Tato funkce vyhovuje vlnové rovnici, kterou navrhl E. Schrödinger. Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger 1887 - 1961

Odvození Schrödingerovy rovnice Toto je řešení standardní vlnové rovnice. k je vlnový vektor, pro který platí ? ? ? Dle de. Broglieho hypotézy lze libovolnou částici popsat jako vlnu, pro níž platí Po dosazení do vztahu pro rovinnou vlnu, která podle de. Broglieho popisuje pohyb volné částice, získáme Popis částice hybností a energií jsme tak převedli na popis rovinnou vlnou. Pro tuto vlnu musíme sestavit vlnovou rovnici. Zkusme trochu derivovat:

Odvození Schrödingerovy rovnice Z toho plyne Víme ale, že a můžeme dosadit Vidíme, že na pravé straně je energie v první mocnině. Jsme schopni tento výraz dostat ještě jiným způsobem z vlnové funkce ? Určitě ano, první derivací podle času : Obě strany se liší jen v konstantách a jistě je půjde opravit tak, aby se rovnaly pro libovolnou vlnovou funkci.

Odvození Schrödingerovy rovnice Funkce se vykrátí a zbudou konstanty. Jak zvolit číslo α, aby rovnost platila? A nyní stačí jen rovnici upravit : kde jsme označili

Schrödingerova rovnice Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger 1887 - 1961 Schrödingerovu rovnici rovinná de. Broglieho vlna splňuje. Ale nejen ona. Rovnici splňuje mnoho různých funkcí, například tzv. vlnový balík, který letící částici popisuje mnohem lépe : Simulace průchod částice dvojštěrbinou viz http: //www. bugman 123. com Obecně lze říct, že vlnová funkce každé částice musí v každém okamžiku splňovat Schrödingerovu rovnici. Pokud ji nesplňuje, neexistuje.

Hustota pravděpodobnosti Jaký je fyzikální význam vlnové funkce, která je obecně komplexní? Tato otázka dlouho nebyla zodpovězena. Jedno z relativně vyhovujících řešení navrhl Max Born a dopracovali jej N. Bohr a W. Heisenberg v Kodani (odtud se toto pojetí jmenuje Kodaňská interpretace). Toto pojetí tvrdí, že kvadrát vlnové funkce (tj. reálné číslo) je úměrný hustotě pravděpodobnosti výskytu částice. ψ nám tedy udává, s jakou pravděpodobností zaznamenáme částici, budeme-li její výskyt měřit v bodě (x, y, z) a čase t. Druhá mocnina vlnové funkce (tj. reálné číslo) je úměrná hustotě pravděpodobnosti výskytu částice. Max Born 1882 - 1970

Hustota pravděpodobnosti Kvantová hradba Počítačový obraz pořízený r. 1993 ve výzkumném středisku IBM. Každý ze 48 píků v kruhu představuje atom železa na speciálně upraveném měděném povrchu. Tato hradba byla vytvořena rastrovým mikroskopem. Vnitřek kruhu tvoří stojaté de Broglieho vlny elektronů (resp. kvadrát Ψ – hustota pravděpodobnosti).

Pravděpodobnostní charakter dějů Kodaňská interpretace tvrdí, že všechny jevy v mikrosvětě mají pravděpodobnostní charakter. To, zda se něco stane či ne je známo pouze s nějakou pravděpodobností, a navíc, dokud nezačneme jev pozorovat, nelze o výsledku říct vůbec nic! Elektron, který se nachází na cestě mezi dvojštěrbinou a stínítkem, nemá pevně určenou polohu ani hybnost! Dokud jej nezačneme pozorovat, nachází se v neurčitém stavu, popsaném vlnovou funkcí, splňující Schrödingerovu rovnici. Teprve až v okamžiku, kdy jej začneme pozorovat (projde interakcí s jinými částicemi ve stínítku), bude jeho poloha pevně určena. Až do té doby žádnou polohu ve smyslu, jakým tento pojem chápeme v makrosvětě, nemá! Pojmy poloha, rychlost, hybnost a další, které jsou známy z mechaniky a lze je deterministicky určit, mají v kvantové mechanice jiný, menší význam. Podstatný je tzv. kvantový stav – zde udaný vlnovou funkcí.

Pravděpodobnostní charakter dějů Uvedený princip demonstruje (poněkud drsný) myšlenkový experiment, dnes známý jako Schrödingerova kočka. Otázkou zůstává, co se stane s vlnovou funkcí kočky, pokud k ní do bedny zavřeme dalšího fyzika (pozorovatele) … Kočka, která je zavřená v bedně se zařízením, které může, ale nemusí způsobit její smrt, není ani živá, ani mrtvá – je v kvantovém stavu, který zahrnuje obě možnosti. Teprve až bednu otevřeme, určíme jeden z těchto stavů s pravděpodobností 50 %.

Relace neurčitosti V mikrosvětě nelze s libovolnou přesností měřit všechny veličiny. Přesné měření jedné může vyloučit měření druhé. Tento princip souvisí s pravděpodobnostním charakterem dějů a je znám jako relace neurčitosti. Jak pozorujeme makroskopické objekty?

Relace neurčitosti Hybnosti objektu jsou známy Δt Δt Δt Polohy objektu jsou známy Jak pozorujeme makroskopické objekty?

Relace neurčitosti e- Při interakci vysokoenergetického fotonu s elektronem předá foton elektronu část své hybnosti. Zatímco hmotnost fotonu a makroskopického objektu se liší o mnoho řádů a Pohybnosti interakcimezi elektron přenos nimizcela nepředvídatelně je tedy zanedbatelný, změní velikost a směr své hybnosti. vysokoenergetický foton má hmotnost srovnatelnou s hmotností elektronu. Přenos hybnosti při srážce tedy nelze zanedbat. Jak pozorujeme mikroskopické objekty?

Relace neurčitosti Viditelné světlo : Paprsky X : Pokud se pokusíme k určení hybnosti elektronu použít nízkoenergetický foton, narazíme na další problém : chyba v určení polohy bude rovna nejméně velikosti vlnové délky fotonu. e- Chyba při určení polohy je rovna minimálně vlnové délce fotonu. Po interakci je známa hybnost elektronu, ne však jeho poloha

Relace neurčitosti Předchozí princip lze zobecnit, což udělal německý teoretický fyzik Werner Heisneberg roku 1927. Heisenbergovy relace neurčitosti jsou jedním ze základních kamenů kvantové fyziky. Hybnost a polohu částice (kvanta) nelze současně určit s libovolnou přesností. Určíme-li přesně polohu, neznáme hybnost částice vůbec – a naopak. Nepřesnosti v určení hybnosti a polohy jsou spolu svázány následujícími vztahy: Werner K. Heisenberg 1901 - 1976

Matematický rámec kvantové mechaniky Matematický přístup ke kvantové mechanice je poněkud odlišný od klasické mechaniky. Důvod tkví v tom, že již od počátku jsou základní rovnice kvantové mechaniky parciální diferenciální (zatímco klasické normální diferenciální) a děje mají pravděpodobnostní charakter a částice nelze popsat jejich polohami. z y x Klasická mechanika popisuje objekty pomocí dvou vektorů – polohy a hybnosti. Základní množinou všech možností jsou tedy dva vektorové prostory R 3 (resp. jeden rpostor R 6) o konečné dimenzi. Každému stavu částice pak odpovídá právě jeden polohový a jeden hybnostní vektor. Kvantová mechanika popisuje objekty pomocí vlnové funkce. Základní množinou všech možností je tedy nekonečněrozměrný vektorový prostor funkcí, označovaný jako L(R 3, dx 3). Každému stavu částice pak odpovídá právě jedna vlnová funkce.

Matematický rámec kvantové mechaniky z y x Klasická mechanika přiřazuje stavům (r, p) další veličiny pomocí funkcí. Například kinetická energie je zobrazení E : R 3 -> R jako Obdobně jsou definovány všechny vektorové i skalární veličiny. Kdybychom v kvantové mechanice veličiny přiřadili stejně, tedy jako zobrazení f : L(R 3, dx 3) -> R, došli bychom zpět k vývodům klasické mechaniky – kvantování by se ztratilo. Bylo třeba vymyslet jiný přístup.

Matematický rámec kvantové mechaniky Spásné řešení nakonec přinesly operátory na L. Každé pozorovatelné (poloha, hybnost, energie) je přiřazen nějaký operátor, tedy zobrazení a je postulováno, že měřitelné hodnoty dané veličiny se nachází ve spektru tohoto operátoru – tedy v množině vlastních čísel. Formálně je přiřazeno operátor polohy operátor hybnosti Operátory jsou zvoleny tak, aby jejich vlastní čísla byla shodná s polohou a hybností de. Broglieho rovinné vlny (spočítejte) :

Matematický rámec kvantové mechaniky Všechny ostatní pozorovatelné jsou konstruovány podle principu korespondence - tj. vztahy vypadají formálně stejně, jako v klasické mechanice, ale polohy a hybnosti jsou nahrazeny operátory polohy a hybnosti. Například operátor kinetické energie je tedy Co nám připomíná výraz ? Operátor celkové energie je zaveden jako Správně, pravou stranu Schrödingerovy rovnice. Hamiltonián

Matematický rámec kvantové mechaniky Schrödingerova rovnice pro částici v nějakém potenciálu tedy vypadá takto Řešíme-li nějaký ustálený stav, je levá strana nulová. To je případ elektronů vázaných k atomovému jádru. Zvolíme-li za potenciál Řekne nám spektrum Hamiltoniánu (množina vlastních čísel) vše o striktuře elektronového obalu. Zjistíme, že energetické hladiny jsou diskrétní – při jiné energii než ze spektra H je vlnová funkce nulová – a pokud započítáme některé další efekty, zjistíme že vlnové funkce samy mají velmi specifický tvar a struktura elektronového obalu je velmi bohatá.

Shrnutí • Záření absolutně černého tělesa • Planckova kvantová hypotéza • Fotoefekt • Comptonův rozptyl • Vlnově-částicový dualizmus • Schrödingerova rovnice • Bornova pravděpodobnostní interpretace • Relace neurčitosti • Matematický rámec kvantové mechaniky