PME 3200 MEC NICA II INTRODUO MEC NICA

PME 3200 – MEC NICA II INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA – PARTE #01 APRESENTAÇÃO E USO PRELIMINAR DA EQUAÇÃO DE LAGRANGE. COORDENADAS GENERALIZADAS. VÍNCULOS. DESLOCAMENTOS POSSÍVEIS. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS. TRABALHO VIRTUAL. PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL. Celso Pupo Pesce Prof. Titular em Ciências Mecânicas Escola Politécnica © Maio, 2020 Prof. CP Pesce 1

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Sejam As Equações de Euler-Lagrange que governam o movimento do sistema são dadas por: Energia cinética Forças generalizadas Prof. CP Pesce Coordenadas generalizadas 2

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Equações de Euler-Lagrange de partícula P de massa m no espaço tridimensional (n=3): Energia cinética Forças generalizadas Prof. CP Pesce Coordenadas generalizadas 3

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Coordenadas cartesianas Forças generalizadas Prof. CP Pesce 4

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Coordenadas cartesianas Energia cinética Quantidade de movimento generalizada Prof. CP Pesce 5

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Coordenadas cartesianas Equações de Lagrange Prof. CP Pesce Equações de movimento 6

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Coordenadas cilíndricas P y x Prof. CP Pesce 7

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Forças generalizadas Prof. CP Pesce 8

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: P y Forças generalizadas x Prof. CP Pesce 9

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Quantidade de movimento generalizada Prof. CP Pesce 10

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Prof. CP Pesce 11

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar: Força centrípeta Equações de Lagrange Equações do movimento Prof. CP Pesce Momento da força de Coriolis 12

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. PRELIMINARES. Exemplo elementar de uma partícula vinculada por uma haste rígida: pêndulo simples Hipóteses: • Haste rígida • Movimento restrito a um plano vertical • Articulação ideal 1 grau de liberdade g q a P Prof. CP Pesce Equação do pêndulo simples 13

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. VÍNCULOS, COORDENADAS GENERALIZADAS. Seja o sistema de partículas: Vínculos ou restrições: Vínculos geométricos: Exemplos de vínculo geométrico dependente do tempo: Classificação de vínculos será tratada com detalhes mais tarde Vínculos geométricos não dependentes do tempo: Prof. CP Pesce Partícula restrita a se movimentar em superfície esférica de raio R(t), prescrito. 14

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. VÍNCULOS, COORDENADAS GENERALIZADAS. Coordenadas generalizadas: Conjunto de números que permitem descrever a configuração de um sistema de partículas no espaço. Exemplos: Cartesianas: Esféricas: Pode ser uma combinação mista delas, desde que não haja redundância. Prof. CP Pesce Número máximo de graus de liberdade n = 3 N. 15

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. VÍNCULOS, COORDENADAS GENERALIZADAS. Graus de liberdade - n : É a dimensão do conjunto mínimo de coordenadas generalizadas suficientes para descrever a configuração do sistema. Se p for o número de vínculos entre as partículas do sistema, n=3 N-p será o número de graus de liberdade (GL) de S. n será também o número mínimo de coordenadas generalizadas necessárias para descrever a configuração de S de forma unívoca. Prof. CP Pesce 16

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. VÍNCULOS, COORDENADAS GENERALIZADAS. Graus de liberdade - n: Exemplo: Duas partículas (N=2), restritas a se movimentar sobre uma mesma superfície esférica de raio R(t). Dois vínculos: Em coordenadas esféricas. Prof. CP Pesce 17

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. VÍNCULOS, COORDENADAS GENERALIZADAS. Exemplo: pêndulo duplo. 2 GLs (n=2). Representação com 4 coordenadas generalizadas e duas equações vinculares: g q 1 P 1 Representação com 2 coordenadas generalizadas e nenhuma equação vincular: q 2 Prof. CP Pesce 18

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. DESLOCAMENTOS DIFERENCIAIS POSSÍVEIS. Serão vistos É qualquer deslocamento infinitesimal do sistema que respeite os vínculos. adiante Considere um sistema S de N partículas, com p vínculos (holônomos), tal que n=3 N-p é o número de GLs. Seja: A transformação será biunívoca: Seja também: Se a Jacobiana: tiver posto 3 N. Prof. CP Pesce 19

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. DESLOCAMENTOS DIFERENCIAIS POSSÍVEIS. Qualquer deslocamento infinitesimal pode então ser escrito: Mas, para vínculos holônomos: Assim: Ou, explicitamente: Ou na forma: Os deslocamentos reais são produzidos pela ação das forças ativas, respeitados os vínculos. Prof. CP Pesce Deslocamentos diferenciais possíveis 20

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. DESLOCAMENTOS POSSÍVEIS. Exemplo: pêndulo duplo. 2 GLs (n=2). Representação com 4 coordenadas generalizadas e duas equações vinculares: g l 1 q 1 P 1 q 2 l 2 Prof. CP Pesce 21

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. DESLOCAMENTOS POSSÍVEIS. Exemplo: ponto sobre superfície esférica de raio R(t): z Representação com 3 coordenadas generalizadas e uma equação vincular: R(t) P r q y j x Prof. CP Pesce 22

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS. Deslocamento virtual é qualquer deslocamento possível do sistema, porém sem que se considere o transcurso do tempo : Utiliza-se o símbolo d Mas, para vínculos holônomos: Assim: Ou, explicitamente: Não estão associados a um movimento real do sistema Ou na forma: Os deslocamentos virtuais não estão associados à ação das forças ativas. Prof. CP Pesce Deslocamentos virtuais 23

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS. Exemplo: pêndulo duplo. 2 GLs (n=2). Representação com 4 coordenadas generalizadas e duas equações vinculares: g Nesse caso, as expressões dos deslocamentos virtuais são análogas às dos deslocamentos possíveis l 1 q 1 P 1 q 2 l 2 Prof. CP Pesce 24

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS. Exemplo: ponto sobre superfície esférica de raio R(t): z Representação com 3 coordenadas generalizadas e uma equação vincular: R(t) P r q j x y Não é possível escapar da superfície da esfera Prof. CP Pesce Os deslocamentos virtuais se dão sobre a superfície esférica no instante considerado (“congela-se” o tempo). 25

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. DESLOCAMENTOS VIRTUAIS. Exemplo: ponto livre para se movimentar em 3 D: z Representação com 3 coordenadas generalizadas: P r q Os deslocamentos virtuais se dão nas três direções. Não há restrições. y j x Prof. CP Pesce 26

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. TRABALHO VIRTUAL EM UMA PARTÍCULA. É o trabalho realizado pela força aplicada à partícula, associado ao seu deslocamento virtual: Utiliza-se o símbolo d Ou ainda: Ou, explicitamente: Trabalho virtual de Fi em Pi Prof. CP Pesce 27

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. TRABALHO VIRTUAL EM UM SISTEMA DE PARTÍCULAS. É o trabalho realizado pelas forças aplicadas ao sistema de partículas, associado ao seu deslocamento virtual: É a soma dos dti Ou, explicitamente: Ou ainda: Que fornece: Trabalho virtual sobre S Prof. CP Pesce Forças generalizadas sobre S 28

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS. Considere um sistema de partículas Pi de massas mi , constantes, sujeitas a forças Fi Seja ai a aceleração de Pi, medida em relação a um referencial inercial. Princípio dos Trabalhos Virtuais “A soma dos trabalhos virtuais das forças externas, internas e de inércia é nula a todo instante para todo deslocamento virtual do sistema. ” Então, da segunda lei de Newton: Princípio de D’Alembert Assim: PTV Prof. CP Pesce 29

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS. Então, o PTV pode ser escrito: Seja agora: Forças ativas Forças reativas (externas e internas) Postulado: e Trabalhos virtuais das forças ativas, reativas e de inércia Prof. CP Pesce para todo deslocamento virtual (compatível com as restrições cinemáticas). 30

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS. Assim: Se os deslocamentos virtuais forem reversíveis: Neste caso: com Vínculos perfeitos. para todo deslocamento virtual reversível. Prof. CP Pesce 31

INTRODUÇÃO À MEC NICA ANALÍTICA. O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS. Pelo PTV: Se o sistema estiver em equilíbrio estático, ou seja, em repouso em relação ao referencial inercial e restrito ao movimento, de forma que ai=0: Sistema em equilíbrio Vínculos perfeitos. Prof. CP Pesce

Perguntas? Always take the path that makes you learn the most. . . Prof. CP Pesce 33