Nona Edio MEC NICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS CAPTULO

Nona Edição MEC NICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: CAPÍTULO 9 ESTÁTICA Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Notas de Aula: J. Walt Oler Texas Tech University Forças Distribuídas: Momentos de Inércia © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Conteúdo Introdução Momentos de Inércia de Superfícies Momentos de Inércia de uma Superfície por Integração Momento de Inércia Polar Raio de Giração de uma Superfície Problema Resolvido 9. 1 Problema Resolvido 9. 2 Teorema dos Eixos Paralelos Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Problema Resolvido 9. 4 Problema Resolvido 9. 5 Produto de Inércia Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais Problema Resolvido 9. 6 Problema Resolvido 9. 7 Círculo de Mohr para Momentos e Produtos de Inércia Problema Resolvido 9. 8 Momentos de Inércia de Corpos Teorema dos Eixos Paralelos Momentos de Inércia de Placas Delgadas Momento de Inércia de um Corpo Tridimensional por Integração Momentos de Inércia de Massa de Formatos Geométricos Usuais Problema Resolvido 9. 12 Momento de Inércia em Relação a um Eixo Arbitrário Elipsoide de Inércia. Eixos Principais de Inércia © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 2

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Introdução • As forças distribuídas já consideradas anteriormente eram proporcionais às áreas ou volumes associados a elas. - A resultante dessas forças poderia ser obtida pela soma das áreas ou volumes correspondentes. - O momento da resultante em relação a um dado eixo poderia ser determinado pelo cálculo dos momentos de primeira ordem das superfícies ou sólidos em relação a esse eixo. • Agora serão consideradas forças cujas intensidades dependem não só dos elementos de área ou de volume sobre os quais atuam, mas também variam linearmente com a distância entre esses elementos e algum eixo dado. - Será mostrado que a intensidade da resultante depende do momento de primeira ordem da superfície sobre a qual atua a força em relação ao eixo considerado. - O ponto de aplicação da resultante depende do momento de segunda ordem, ou momento de inércia da mesma superfície em relação ao eixo. • Este capítulo apresentará métodos para calcular os momentos e produtos de inércia para superfícies e sólidos. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 3

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momento de Inércia de uma Superfície • Consideraremos forças distribuídas cujas intensidades são proporcionais aos elementos de área sobre os quais essas forças atuam e que, ao mesmo tempo, variam linearmente com a distância entre e um dado eixo. • Exemplo: Consideremos uma viga sujeita a flexão pura. As forças internas variam linearmente com a distância do eixo neutro que passa pelo centroide da seção. • Exemplo: Consideremos a força hidrostática em uma comporta circular vertical submersa de um reservatório. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 4

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de Inércia de uma Superfície por Integração • Os Momentos de Segunda Ordem ou Momentos de Inércia de Superfícies em relação aos eixos x e y são: • O cálculo das integrais é simplificado escolhendo-se d. A como sendo uma faixa estreita paralela a um dos eixos coordenados. • Para uma superfície retangular, • A fórmula para superfícies retangulares também pode ser aplicada para faixas paralelas aos eixos x e y. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 5

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momento de Inércia Polar • O momento de inércia polar é um parâmetro importante em problemas que tratam da torção de eixos cilíndricos e da rotação de placas. • O momento de inércia polar pode ser calculado a partir dos momentos de inércia retangulares, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 6

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Raio de Giração de uma Superfície • Considere-se uma superfície A com momento de inércia Ix. Imaginemos que a superfície está concentrada em uma faixa estreira paralela ao eixo x com Ix equivalente. kx = raio de giração em relação ao eixo x. • De forma similar, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 7

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 1 SOLUÇÃO: • Escolhemos um faixa diferencial paralela ao eixo x com área d. A. • Usando triângulos semelhantes temos, Determine o momento de inércia de um triângulo em relação à sua base. • Integrando d. Ix de y = 0 até y = h, obtemos © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 8

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 2 SOLUÇÃO: • Escolhemos um elemento diferencial anelar de superfície com área d. A, a) Determine o momento de inércia polar centroidal de uma superfície circular por integração direta. • Devido à simetria da superfície, temos, Ix = Iy, b) Usando o resultado da parte a, determine o momento de inércia de uma superfície circular em relação a um diâmetro. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 9

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Teorema dos Eixos Paralelos • Considere o momento de inércia I de uma superfície A em relação a um eixo AA’ • O eixo BB’ passa pelo centroide da superfície e é denominado eixo centroidal. teorma dos eixos paralelos © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 10

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Teorema dos Eixos Paralelos • Momento de inércia IT de uma superfície circular em relação a uma linha tangente ao círculo: • Momento de inércia de um triângulo em relação a um eixo centroidal: © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 11

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de Inércia de Superfícies Compostas • O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das superfícies componentes A 1, A 2, A 3, . . . , em relação ao mesmo eixo. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 12

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de Inércia de Superfícies Compostas © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 13

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 4 SOLUÇÃO: • Determinamos a localização do centroide da seção composta em relação a um sistema de coordenadas com origem no centroide C da seção. A resistência de uma viga em perfil I 360 x 44 é aumentada ao se anexar uma placa à sua aba superior. Determine o momento de inércia e o raio de giração da seção composta em relação a um eixo paralelo à placa passando pelo centroide da seção. • Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar os momentos de inércia do perfil I e da placa em relação ao eixo centroidal da seção composta. • Calculamos o raio de giração a partir do momento de inércia da seção composta © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 14

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 4 SOLUÇÃO: • Determinamos a localização do centroide da seção composta em relação a um sistema de coordenadas com origem no centroide C da seção. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 15

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 4 • Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar os momentos de inércia do perfil I e da placa em relação ao eixo centroidal da seção composta. • Calculamos o raio de giração a partir do momento de inércia da seção composta © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 16

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 5 SOLUÇÃO: • Calculamos os momentos de inércia do retângulo (120 mm x 240 mm) e do semicírculo em relação ao eixo x. Determine o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo x. • O momento de inércia da superfície sombreada é obtido subtraindo-se o momento de inércia do semicírculo do momento de inércia do retângulo. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 17

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 5 SOLUÇÃO: • Calculamos os momentos de inércia do retângulo e do semicírculo em relação ao eixo x. Retângulo: Semicírculo: momento de inércia em relação a AA’, momento de inércia em relação a x, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 18

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 5 • O momento de inércia da superfície sombreada é obtido subtraindo-se o momento de inércia do semicírculo do momento de inércia do retângulo. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 19

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Produto de Inércia • Produto de Inércia: • Quando o eixo x, o eixo y, ou ambos são eixos de simetria, o produto de inércia é zero. • Teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia: © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 20

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais • Com a rotação dos eixos tem-se Dados • As equações para Ix’ e Ix’y’ são as equações paramétricas para um círculo, desejamos determinar os momentos e o produto de inércia em relaçãos aos novos eixos x’ e y’. Observação: • As equações para Iy’ e Ix’y’ descrevem o mesmo círculo. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 21

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais • Nos pontos A e B, Ix’y’ = 0 é Ix’ é máximo e mínimo, respectivamente. • A equação para Qm define dois ângulos apartados de 90 o que correspondem aos eixos principais da superfície em relação a O. • Imáx e Imín são os momentos principais de inércia da superfície em relação a O. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 22

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 6 SOLUÇÃO: • Determinamos o produto de inércia por integração direta utilizando o teorema dos eixos paralelos para uma faixa retangular diferencial vertical da superfície. • Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar o produto de inércia em relação aos eixos centroidais. Determine o produto de inércia do triângulo retângulo (a) em relação aos eixos x e y e (b) em relação aos eixos centroidais paralelos aos eixos x e y. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 23

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 6 SOLUÇÃO: • Determinamos o produto de inércia por integração direta utilizando o teorema dos eixos paralelos para uma faixa retangular diferencial vertical da superfície. Integrando d. Ix de x = 0 até x = b, obtemos © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 24

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 6 • Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar o produto de inércia em relação aos eixos centroidais. Com os resultados da parte a, tem-se: © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 25

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 7 SOLUÇÃO: • Calculamos o produto de inércia em relação aos eixos x e y dividindo a seção em três retângulos e aplicando o teorema dos eixos paralelos a cada um. Para a seção mostrada, os momentos de inércia em relação aos eixos x e y são Ix = 4, 05 x 106 mm 4 e Iy = 2, 72 x 106 mm 4. • Determinamos a orientação dos eixos principais e dos momentos de inércia principais utilizando as fórmulas deduzidas anteriormente. Determine (a) a orientação dos eixos principais da seção em relação a O e (b) os valores dos momentos de inércia principais em relação a O. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 26

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 7 SOLUÇÃO: • Calculamos o produto de inércia em relação aos eixos x e y dividindo a seção em três retângulos. Aplicamos o teorema dos eixos paralelos a cada retângulo, Deve-se observar que o produto de inércia em relação aos eixos centroidais paralelos aos eixos x e y é zero para cada retângulo. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 27

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 7 • Determinamos a orientação dos eixos principais e dos momentos de inércia principais utilizando as fórmulas deduzidas anteriormente. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 28

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Círculo de Mohr para Momentos e Produtos de Inércia • Os momentos e o produto de inércia para uma superfície são plotados como mostrado e são utilizados para construir o círculo de Mohr, • O círculo de Mohr pode ser usado para determinar graficamente ou analiticamente os momentos e o produto de inércia para quaisquer eixos retangulares incluindo os eixos principais e os momentos e produto de inércia principais. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 29

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 8 SOLUÇÃO: • Plotamos os pontos (Ix , Ixy) e (Iy , -Ixy) e construímos o círculo de Mohr sabendo que o diâmetro do círculo equivale à distância entre os pontos. Para a seção mostrada, sabe-se que os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos x e y são Ix = 7, 20 x 106 mm 4, Iy = 2, 59 x 106 mm 4 e Ixy = -2, 54 x 106 mm 4. • A partir do círculo, determinamos a orientação dos eixos principais e os momentos de inércia principais. • Também a partir do círculo, determinamos os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos x’ e y’. Usando o círculo de Mohr, determine (a) os eixos principais em relação a O, (b) os valores dos momentos principais em relação a O e (c) os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos x’ e y’. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 30

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 8 SOLUÇÃO: • Plotamos os pontos (Ix , Ixy) e (Iy , -Ixy) e construímos o círculo de Mohr sabendo que o diâmetro do círculo equivale à distância entre os pontos. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 31

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 8 • Também a partir do círculo, determinamos os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos x’ e y’. Os pontos X’ e Y’ correspondentes aos eixos x’ e y’ são obtidos pela rotação de CX e CY no sentido anti-horário de um ângulo 2 = 2(60 o) = 120 o. O ângulo entre CX’ e o eixo horizontal é f = 120 o – 47, 8 o = 72, 2 o. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 32

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de Inércia de Corpos • A aceleração angular , em relação ao eixo AA’, de um pequeno corpo de massa Dm devida a aplicação de um binário é proporcional a r 2 Dm = momento de inércia de um corpo de massa Dm em relação ao eixo AA’ • Para um corpo de massa m, uma medida de sua resistência à rotação em torno do eixo AA’ é • O raio de giração para uma massa concentrada com momento de inércia equivalente é © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 33

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de Inércia de um Corpo • O momento de inércia em relação ao eixo y é: • De forma similar, os momentos de inércia em relação aos eixos x e z são: • Em unidades do SI, Em unidades usuais nos E. U. A. , © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 34

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Teorema dos Eixos Paralelos • Para um sistema de coordenadas retangulares com origem em O e eixos paralelos aos eixos centroidais, • Generalizando, para qualquer eixo AA’ e um eixo centroidal paralelo tem-se, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 35

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de inércia de Placas Delgadas • Para uma placa delgada de espessura uniforme t e feita de um material homogêneo de massa específica r, o momento de inércia da placa em relação ao eixo AA’ contido no plano do placa é • De forma similar, para um eixo BB’ perpendicular a AA’ que também está contido no plano da placa, tem-se • Para o eixo CC’ que é perpendicular ao plano da placa, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 36

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de inércia de Placas Delgadas • Em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da placa retangular tem-se, • Em relação aos eixos centroidais em uma placa circular tem-se, © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 37

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de inércia de um Corpo Tridimensional por Integração • O momento de inércia de um corpo homogêneo é obtido pelo cálculo de integrais duplas ou triplas dependendo do formato do corpo. • Para corpos com dois planos de simetria, o momento de inércia pode ser obtido por integração simples, escolhendo como elemento de massa dm uma fatia delgada perpendicular aos planos de simetria. • para um corpo composto, o momento de inércia em relação a um eixo pode ser obtido pela soma dos momentos de inércia dos componentes do corpo em relação ao mesmo eixo. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 38

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momentos de Inércia de Massa de Formatos Geométricos Usuais © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 39

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 12 SOLUÇÃO: • Após dividir a peça em um prisma e dois cilindros, calculamos a massa e os momentos de inércia de cada componente em relação aos eixos x, y e z utilizando o teorema dos eixos paralelos • Somamos os momentos de inércia dos componentes para determinar os momentos de inércia totais para a peça. Determine os momentos de inércia da peça de aço em relação aos eixos de coordenadas x, y e z sabendo que o peso específico do aço é 0, 077 N/cm³. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 40

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 12 SOLUÇÃO: • calculamos a massa e os momentos de inércia de cada componente em relação aos eixos x, y e z: cilindros © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 41

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Problema Resolvido 9. 12 prisma (a = 5 cm, b = 15 cm, c = 5 cm): • Somamos os momentos de inércia dos componentes para determinar os momentos de inércia totais para a peça: © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 42

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Momento de Inércia em Relação a um Eixo Arbitrário • IOL = momento de inércia em relação ao eixo OL. • Expressando em termos dos componentes retangulares e expandindo o produto vetorial temos, • A definição dos produtos de inércia de um corpo é uma extensão da definição do produto de inércia de uma superfície © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 43

Nona Edição Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Estática Elipsóide de Inércia. Eixos Principais de Inércia • Vamos assumir que o momento de inércia de um corpo foi determinado em relação a um grande número de eixos OL e que um ponto Q foi plotado sobre cada eixo a uma distância de O. • O lugar geométrico dos pontos Q forma uma superfície conhecida como elipsoide de inércia que define o momento de inércia do corpo em relação a qualquer eixo que passe por O. • Os eixos x’, y’ e z’ são os eixos principais de inércia, para os quais os produtos de inércia são zero e os momentos de inércia são os momentos principais de inércia. © 2010 The Mc. Graw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9 - 44