PLANO CARTESIANO Produo Patrizia Lovatti Representando pares ordenados

PLANO CARTESIANO Produção: Patrizia Lovatti

Representando pares ordenados de reais

O professor de Matemática construiu um quadro com as notas de seus alunos, na última prova que ele aplicou. Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (2, 9)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (2, 9) (3, 10)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (2, 9) (3, 10) (4, 6)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (5, 7) (2, 9) (3, 10) (4, 6)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (2, 9) (5, 7) (6, 6) (3, 10) (4, 6)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (2, 9) (3, 10) (5, 7) (6, 6) (7, 5) (4, 6)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (2, 9) (3, 10) (4, 6) (5, 7) (6, 6) (7, 5) (8, 7)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (2, 9) (3, 10) (4, 6) (5, 7) (6, 6) (7, 5) (8, 7) (9, 8)

Os dados desse quadro podem ser representados, também, pelos pares ordenados Nº do aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nota 8 9 10 6 7 6 5 7 8 4 (1, 8) (2, 9) (3, 10) (4, 6) (5, 7) (6, 6) (7, 5) (8, 7) (9, 8) (10, 4)

Nessa representação, convencionamos que o 1º elemento de cada par indica o número do aluno e o 2º elemento, a nota que ele tirou. Os pares (5, 7) e (7, 5), por exemplo, são diferentes. Apesar de serem constituídos pelos mesmos elementos, eles estão dispostos numa ordem diferente.

Em um par ordenado qualquer (a, b), chamamos a - abscissa b - ordenada a e b - coordenadas No par ordenado (5, 7), por exemplo, a abscissa é 5, a ordenada é 7, e as coordenadas são 5 e 7.

Qual a condição para que os pares ordenados (a, b) e (b, a) sejam iguais? R: a deve ser igual a b

Pode ocorrer a igualdade (3, x+y) = (x-y, -5) ? R: Sim

Para que valores de x e y ? R: Para x = -1 e y = -4

Observe: (3, x+y) = (x-y, -5) 3 = x-y y = x-3 x+y=-5 Substitui-se na 2ª: x+(x-3)=-5 2 x=-2 x=-1 y=-1 -3 y=-4

Vamos estudar agora, de modo especial, o conjunto dos pares ordenados de nos reais. Ele é representado por R 2 e pode ser definido assim: R 2 = {(x, y); x e R e y e R} Por exemplo, -3 e R e 2 e R (-3, 2) e R 2

Você já sabe que os nos reais podem ser associados a pontos de uma reta - a reta real ou eixo real. Os pares ordenados de números reais podem, também, ser associados a pontos. Essa correspondência se dá por meio do plano cartesiano. O plano cartesiano é determinado por dois eixos perpendiculares, que se interceptam na origem O de cada um deles.

. P (a, b) a y Ordenadas b . Abscissas O (0, 0) x Origem O eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas, orientado para a direita; e o eixo vertical (y) é o eixo das ordenadas, orientado para cima.

Observe os pares ordenados abaixo. A (-7, 4) D (9/2, 1) G (p, 5) B (-3, -2) E (7, 0) H (-3, 0) C (2, -1) F (0, 3) I (-6, -7/2) Na figura seguinte, vamos marcar os pontos correspondentes a esses pares ordenados.

Observe que os pontos do eixo x têm ordenada nula (E e H) e os pontos do eixo y têm abscissa nula (F). . y A . . H . I B . F . G . . . D C E x

Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. y 2º quadrante (-, +) 1º quadrante (+, +) x 3º quadrante (-, -) 4º quadrante (+, -)

O plano cartesiano estabelece, portanto, uma correspondência entre ponto e par ordenado de reais, de forma que A cada ponto do plano está associado um único par ordenado de reais; A cada par ordenado de reais está associado um único ponto do plano.

Sendo a e b nos reais não-nulos, em que quadrante está o ponto (-a, b) ? R: Não é possível saber. Observe os quatro exemplos: a=1 e b=2 (-a, b)=(-1, 2) 2º Q a=1 e b=-2 (-a, b)=(-1, -2) 3º Q a=-1 e b=2 (-a, b)=(1, 2) 1º Q a=-1 e b=-2 (-a, b)=(1, -2) 4º Q

Podem dois pares ordenados distintos serem representados pelo mesmo ponto do plano cartesiano ? R: Não

INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES No universo as coisas dependem umas das outras. É essa relação de dependência que faz do mundo um organismo vivo, dinâmico, cujos elementos se comunicam, se relacionam e interagem continuamente.

GRANDEZAS Estudar, representar e analisar as relações de dependência entre as grandezas é o objetivo básico da Ciência, desde os seus primeiros momentos.

Quando se solta uma pedra, ela cai. Por que ela cai? O que provoca sua queda? O que ocorre com sua velocidade durante a queda? E ao se soltar uma pedra mais pesada? Muda alguma coisa? E se a mesma experiência fosse feita na superfície da Lua?

Ao estudar um fenômeno natural, a preocupação básica da Ciência é descobrir os fatores que nele influem e analisar de que forma essa influência se dá.

Nesse processo, as variáveis envolvidas são geralmente relacionadas por meio de fórmulas, tabelas ou gráficos.

Ex. 1: Tabela: x 1 y 6 2 0 -2 8 4 0 -3 -2 Fórmula: y = 2 x + 4 Gráfico: . . . y Função de 1º grau: Reta x

Ex. 2: Tabela: x 1 y 2 -1 0 2 2 1 5 -2 5 Fórmula: y = x 2 + 1 Gráfico: y . . . Função de 2º grau: Parábola x

Função – uma lei Fórmula: y = 2 x + 4 1 -2 0 2 6 0 4 -3 Domínio 8 -2 Contra-domínio

Função – representação f: A Domínio B Contra-domínio

E a imagem? Ex. : Dados os conjuntos A={1; 2; 3} e B={2; 4; 6; 8} e a função f: A B representada por f(x)=2 x. Observe o diagrama que representa f. 1 3 2 2 6 4 8

E a imagem? Domínio = A={1; 2; 3} Contra-domínio = B={2; 4; 6; 8} Imagem = {2; 4; 6} 1 3 2 2 6 Imagem 4 8

Função – uma máquina

1 2 2 7 Máquina de dobrar 1. 2 4 2. 14

O que é? É um modo especial de relacionar grandezas. Nesse tipo de relação, duas grandezas, x e y, se relacionam de tal forma que: • x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado; • a cada valor de x corresponde um único valor de y em um dado conjunto B; • os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.

x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 1 y 1 x 2 x 3 y 3 É função.

x 1 y 2 x 3 y 3 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 Não é função.