PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUO II

PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II **Construção de Modelos de Programação Linear I** Profa. Vitória Pureza 1º Semestre Aula 2

Roteiro • Exemplo passo a passo do processo de modelagem • Pequena revisão sobre aspectos da programação linear • Lista de exercícios Winston, cap. 3

Um Problema de Mix da Produção Geppeto produz dois tipos de brinquedos de madeira : bonecos e trens. Um boneco é vendido por $27, gasta $10 de matéria-prima e $14 de mãode-obra. Um trem é vendido por $21, gasta $9 de matéria-prima e $10 de mão-de-obra. A manufatura desses brinquedos requer duas operações : marcenaria e acabamento. Um boneco requer 2 horas de acabamento e 1 hora de marcenaria. Um trem requer 1 hora de acabamento e 1 hora de marcenaria. A cada semana, Geppeto pode obter toda a matéria-prima necessária para suas necessidades. Entretanto, apenas 100 horas de acabamento e 80 horas de marcenaria estão disponíveis. A demanda por trens é ilimitada mas no máximo 40 bonecos são vendidos por semana. Formule um modelo matemático para esta situação e que possa ser usado para maximizar o lucro líquido de Geppeto.

Passos para modelagem de programação matemática Defina o objetivo do problema. Colete os dados associados Defina os fatores que afetam o alcance do objetivo do problema. Colete os dados associados Elabore uma representação informal do problema Elabore um modelo de programação matemática do problema

Objetivo do problema Maximizar lucro semanal = { receita de vendas custos de mão-de-obra - custos de matéria-prima } com bonecos e trens Produto Receita ($) /unidade Mão de obra ($) /unidade Matéria-prima ($) /unidade Boneco 27 14 10 Trem 21 10 9

Fatores que afetam o alcance do objetivo • Limitações de capacidade produtiva Horas requeridas/unidade Produto Marcenaria Acabamento Boneco 1 2 Trem 1 1 Horas semanais disponíveis 80 100 • Limitações de demanda Produto Demanda máxima mensal Boneco 40

Representação Informal do Problema Deseja-se Maximizar lucro semanal = {receita - gastos de mão-de-obra gastos de matéria-prima} com bonecos e trens, sujeito às seguintes restrições: 1. as horas semanais de marcenaria para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 2. as horas semanais de acabamento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 3. a quantidade de bonecos produzidos semanalmente não pode exceder sua demanda semanal

Formulação do Modelo de Programação Matemática a) Variáveis de Decisão • • Descrevem completamente as decisões a serem feitas Estão associadas ao objetivo do problema x 1 = número de bonecos produzidos/semana x 2 = número de trens produzidos/semana b) Função Objetivo (FO) • Maximização do lucro ou minimização do custo escrito como alguma função das variáveis de decisão. Max { 3 x 1 + 2 x 2 } ($/semana)

Formulação do Modelo de Programação Matemática c) Restrições • Máximo de 100 horas de acabamento disponíveis por semana 2 x 1 + x 2 ≤ 100 (horas/semana) • Máximo de 80 horas de marcenaria disponíveis por semana x 1 + x 2 ≤ 80 (horas/semana) • Máximo de 40 bonecos a serem produzidos por semana x 1 ≤ 40 (unidades/semana)

Formulação do Modelo de Programação Matemática d) Restrições de sinal • apenas valores não negativos x 1 , x 2 ≥ 0 (unidades/semana)

Modelo de Programação Linear para o Problema de Geppeto Variáveis de Decisão: x 1 = número de bonecos produzidos por semana x 2 = número de trens produzidos por semana Max 3 x 1 + 2 x 2 sujeito a: 2 x 1 x 1 + x 2 ≤ 100 ≤ 80 ≤ 40 ≥ 0 (acabamento) (marcenaria) (demanda de bonecos) (sinal) x 2 ≥ 0 “sujeito a” : valores de x 1 e x 2 precisam satisfazer todas as restrições

• Função Linear f(x 1, x 2, . . . , xn) é uma função linear se e somente se para algum conjunto de constantes c 1, c 2, . . , cn: f(x 1, x 2, . . . , xn) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +. . . + cnxn • Desigualdades Lineares Para qualquer função linear f(x 1, x 2, . . . , xn) e qualquer número b, f(x 1, x 2, . . . , xn) ≥ b e f(x 1, x 2, . . . , xn) ≤ b são desigualdades lineares • Problema Linear (PL) – Procura-se maximizar (ou minimizar) uma função linear das variáveis de decisão – Os valores das variáveis de decisão precisam satisfazer um conjunto de restrições – Cada restrição precisa ser uma igualdade linear ou uma desigualdade linear – Uma restrição de sinal está associada a cada variável

Região Factível de um PL • Conjunto de todas as soluções que satisfazem todas as restrições Solução Ótima de um PL • Solução na região factível com o maior valor de função objetivo (problemas de maximização). • Solução na região factível com o menor valor de função objetivo (problemas minimização) SOLUÇÃO ÓTIMA ESPAÇO DE SOLUÇÕES FACTÍVEIS ESPAÇO DE SOLUÇÕES

Implicações da premissa de linearidade • A contribuição de cada variável de decisão à função objetivo e ao lado esquerdo de cada restrição é – proporcional ao valor da variável de decisão – independente dos valores das outras variáveis de decisão • Cada variável de decisão pode assumir valores não inteiros • Admite-se que cada dado de entrada é conhecido com certeza (problemas determinísticos)

Resolução Gráfica de PLs de 2 variáveis 1. Identificar a região factível 2 x 1 + x 2 = ≤ 100 x 1 + x 2 ≤ 80 x 1 ≤ 40 x 1, x 2 ≥ 0

Resolução Gráfica de PLs de 2 variáveis 2. Linhas. Linha Isolucro Outra Isolucro Ponto 1: (10, Identificar a solução ótima Pontocruzandoeixoxx 1: (30, 0)0) fo=90 fo=3*10 + 2*0=30 Ponto cruzando eixo x 2 com fo=90: (0, 45) Ponto cruzando eixo x 2 com fo=30 : fo=3*0 + 2* x 2 =30 x 2 = 15 Logo, o ponto é (0, 15) Solução ótima x=(20, 60) fo=180 fo fo = =3 0 90 Max 3 x 1 + 2 x 2 2 x 1 + x 2 ≤ 100 x 1 + x 2 ≤ 80 x 1 ≤ 40 x 1, x 2 ≥ 0

Conjuntos convexos, pontos extremos e PL • Conjunto convexo : conjunto S de pontos onde o segmento de reta unindo quaisquer par de pontos em S está totalmente contido em S A E B A C B D • Ponto extremo : ponto P em um conjunto convexo S onde cada segmento de reta contido completamente em S e que contém o ponto P, tem P como ponto final

Resultado importante • A região factível para qualquer PL é um conjunto convexo • A região factível para qualquer PL tem um número finito de pontos extremos • Qualquer PL que tenha uma ou mais soluções ótimas*, tem um ponto extremo que é ótimo EXISTE UMA SOLUÇÃO ÓTIMA NO CONJUNTO DOS PONTOS EXTREMOS

Pontos Extremos no Problema de Geppeto Solução ótima Max 3 x 1 + 2 x 2 2 x 1 + x 2 ≤ 100 x 1 + x 2 ≤ 80 x 1 ≤ 40 x 1, x 2 ≥ 0

Casos de Programação Linear 1. Uma única solução ótima 2. A linha isolucro (isocusto) toca não um ponto mas uma face da região factível, resultando em um número infinito de soluções ótimas: PL com soluções ótimas alternativas ou múltiplas (todas com o mesmo valor !) 3. Ausência de região factível: PL infactível – Faz-se apenas o passo 1 da resolução gráfica 4. A linha isolucro (isocusto) não converge pois há sempre soluções melhores que as atuais: PL ilimitado - Não há solução !

Problemas com mais de 2 variáveis • A resolução gráfica não pode ser aplicada • Maioria dos problemas de interesse : centenas, milhares e até milhões de variáveis • XMétodo Simplex e Métodos de Pontos Interiores Visita pontos extremos um até que condições de otimalidade sejam satisfeitas Gera pontos interiores da região factível buscando a convergência a uma solução ótima • Pacotes computacionais: CPLEX, OSL, LINDO, LINGO, GAMS, AMPL, AIMMS, . . . Lista 1