PERSAMAAN LINEAR Penyelesaian Persamaan Linear Metode Gauss Pendahuluan
- Slides: 23
PERSAMAAN LINEAR Penyelesaian Persamaan Linear (Metode Gauss)
Pendahuluan • Pada pertemuan ini akan membahas suatu prosedur sistematis untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. • Konsepnya didasarkan pada gagasan mereduksi matriks yang diperbanyak menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut bisa diselesaikan dalam bentuk substitusi
Tujuan & Manfaat • Ketika memodelkan permasalahan teknik, seringkali berhadapan dengan persamaan linear yang harus diselesaikan yang melibatkan banyak variabel yang tidak diketahui • Perlu cara sistematis untuk menyelesaikannya, diantaranya dengan menggunakan metode eliminasi gauss • Eliminasi ini dapat digunakan pada sistem persamaan berskala kecil maupun skala besar
Bentuk Metode Gauss • Pada metode ini yang perlu dilakukan adalah melakukan operasi pada koefisien yang ada dalam persamaan, dan hasil akhirnya adalah sistem persamaan ekivalen yang selanjutnya dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode substitusi
Kasus • Penyelesaian sistem x + 2 y + z = 3 3 x - y – 3 z = -1 2 x + 3 y + z = 4 (1) (2) (3)
Kasus • Eliminasi x pada pers (1) dan (2) x + 2 y + z = 3 (1) (*3) 3 x - y – 3 z = -1 (2) (*1) 3 x + 6 y + 3 z = 9 3 x - y – 3 z = -1 7 y + 6 z = 10 (4)
Kasus • Eliminasi x pada pers (1) dan (3) x + 2 y + z = 3 (1) (*2) 2 x + 3 y + z = 4 (3) (*1) 2 x + 4 y + 2 z = 6 2 x + 3 y + z = 4 y + z = 2 (5)
Kasus • Eliminasi y pada pers (4) dan (5) 7 y + 6 z = 10 (4) (*1) y + z = 2 (5) (*7) 7 y + 6 z = 10 7 y + 7 z = 14 z = 4 (5) subtitusi z=4 ke pers (5) y+4=2 y = -2 subtitusi z=4, y=-2 ke pers (1) x + 2. -2 + 4 = 3 x=3 x = 3; y = -2; z = 4
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss • Selesaikan persamaan berikut x + 2 y + z = 3 (1) 3 x - y – 3 z = -1 (2) 2 x + 3 y + z = 4 (3)
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss • Selesaikan persamaan berikut x + 2 y + z = 3 (1) 3 x - y – 3 z = -1 (2) 2 x + 3 y + z = 4 (3) • Penyelesaian dimulai dengan menuliskan bentuk augmented matriknya
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss • Kita sebut baris pertama sebagai baris poros dan entri 1 (yg dilingkari) sebagai poros • Langkah 1. – baris pertama digunakan untuk mengeliminasi elemen di kolom pertama dari baris kedua dan ketiga – baris pertama dikalikan 3 untuk mengeliminasi baris kedua – baris pertama dikalikan 2 untuk mengeliminasi baris kedua
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss • Langkah 2 – baris kedua digunakan untuk mengeliminasi elemen di kolom kedua dari baris ketiga – baris kedua dikalikan 1/7 untuk mengeliminasi baris
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss • Langkah 3: Gunakan substitusi untuk mendapatkan penyelesaian Ø Ø Baris ketiga -1/7 z = -4/7 z = 4 Baris kedua -7 y – 6 z = -10 y = -2 Baris pertama x + 2 y + z = 3 x = 3 Diperoleh x=3; y=-2; z=4
Kesimpulan
Algoritma dasar metode Gauss • Secara umum sistem persamaan linear: 1. Ubahlah sistem persamaan tersebut menjadi matrik augment (berukuran n x (n+1) )
3. Lakukan proses triangularisasi, sehingga menjadi bentuk:
• Langkah terakhir : lakukan proses substitusi mundur untuk memperoleh nilai x 1, x 2, x 3, …. . , xn Contoh: Selesaikan sistem persamaan linear berikut: Sistem ini adalah sistem yang determined. Untuk menyelesaikannya buat augmented matriknya.
Latihan • Selesaikan sistem persamaan berikut: 1.
Sistem Kelebihan Persamaan (Overdetermined System) • Persamaan x + 2 y + z = 1 2 x - y + z = 2 4 x + 3 y + 3 z = 4 3 x + y + 2 z = 3 diperoleh y = -1/5 z x = 1 -2 y-z 1 - 3/5 z Terlihat bahwa himpunan penyelesaian adalah semua tripel berturut bentuk (1 -3/5α, -1/5α, α) dimana α adalah bilangan real Sistem ini memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian karena x dan y dinyatakan oleh peubah bebas z
Sistem Kekurangan Persamaan (Underdetermined System) • Persamaan a+b+c+ d+ e=2 a + b + c + 2 d + 2 e = 3 a + b + c + 2 d + 3 e = 2
Sistem Kekurangan Persamaan (Underdetermined System) diperoleh e = -1; d = 2; a = 1 - b - c Jadi untuk sembarang bilangan real α, β diperoleh (1 - α – β, α, β, 2, -1)
Summary § Ketika jumlah persamaan kurang dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut dikatakan sebagai sistem yang underdetermined §Ketika jumlah persamaan lebih besar dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka sistem tersebut dikatakan sebagai sistem yang overdetermined
- Contoh persamaan non linier
- Substitusi mundur
- Nur aisyah nasution
- Gaussian elimination echelon form
- Gauss yasası
- Penyelesaian dari persamaan -2(x+6)=3(x+6) adalah ….
- Penyelesaian dari persamaan -2(x+6)=3(x+6) adalah
- Penyelesaian dari persamaan -2(x+6)=3(x+6) adalah ….
- Contoh simultan
- X+y=7 linear equation
- Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri
- Maksimumkan z=3x1+2x2
- Contoh soal metode persentase penyelesaian
- Metode dual simpleks maksimasi
- Metode dekomposisi lu
- Contoh soal penugasan metode hungarian
- Contoh soal persamaan non linear dengan metode biseksi
- Contoh soal metode biseksi
- Simultaneous nonlinear equations
- Metode gauss jordan
- Metode gauss seidel
- Metode gauss jordan
- Penyelesaian