KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS Kaedah Penghapusan Gauss Sistem persamaan

KAEDAH PENGHAPUSAN GAUSS

Kaedah Penghapusan Gauss • Sistem persamaan linear - matriks imbuhan a 1 x 1 + b 1 x 2 + c 1 x 3 = d 1 a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2 a 3 x 1 + b 3 x 2 + c 3 x 3 = d 3 é a 1 ê a ê 2 êë a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 d 1 c 2 d 2 c 3 d 3 • Gunakan operasi baris permulaan matriks segitiga atas é a 11 a 12 a 13 d 1 ê 0 a a 22 23 d 2 ê êë 0 0 a d 33 3 ù ú ú úû

Operasi baris permulaan é a 11 a 12 a 13 d 1 ê a a a ê 21 22 23 d 2 êë a a a d 31 32 33 3 ù ú ú úû • Pastikan a 11 0 • Jadikan a 21 dan a 31 = 0 dengan menggunakan pekali berikut – m 21 = - a 21/ a 11 dan m 31 = - a 31/ a 11 – B 2 = m 21 B 1 + B 2 dan B 3 = m 31 B 1 + B 3 – diperolehi é a 11 a 12 a 13 d 1 ê 0 a a 22 23 d 2 ê êë 0 a 32 a 33 d 3 ù ú ú úû

Operasi baris permulaan • jadikan a 22 0 sebagai pangsi • Jadikan a 32 = 0 dengan menggunakan pekali berikut – m 32 = - a 32/ a 221 – B 3 = m 32 B 2 + B 3 diperolehi é a 11 a 12 a 13 d 1 ê 0 a a 22 23 d 2 ê êë 0 0 a d 33 3 ù ú ú úû – Tukarkan ke bentuk sistem persamaan linear – Selesaikan utk mendapatkan nilai pembolehubah

contoh é 3 ê ê -1 êë 1 -2 3 -2 1 1 4 3 ù ú 1 ú -2 úû Kira pekali m 21 = - a 21/ a 11 m 21 = -(-1)/3 = 1/3 Kira pekali m 31 = - a 31/ a 11 m 31= -1/3 B 2 = m 21 B 1 + B 2 é 3 ê ê 0 êë 1 -2 7/3 -2 1 4/3 4 3 ù ú 2 ú -2 úû B 3 = m 31 B 1 + B 3 é 3 ê ê 0 êë 0 -2 1 7/3 4/3 -4/3 11/3 3 ù ú 2 ú -3 úû

Kira pekali m 32 = - a 32/ a 22 m 32 = 4/7 –B 3 = m 32 B 2 + B 3 é 3 ê ê 0 êë 0 3 ù -2 1 ú 7/3 4/3 2 ú 0 31/7 -13/7úû 31/7 x 3 = -13/31 x 2 = 34/31 x 1 = 58/31

Kaedah penghapusan Gauss. Jordan é a 11 a 12 a 13 d 1 ê a a a ê 21 22 23 d 2 êë a a a d 31 32 33 3 • • • ù ú ú úû é a 11 0 0 d 1 ê 0 a 0 22 d 2 ê êë 0 0 a d 33 3 ù ú ú úû Jadi kan a 12 = 0 dgn menggunakan pekali m 12 = -a 12/a 22 B 1 = m 12 B 2+B 1 Jadi kan a 23 = 0 dgn menggunakan pekali m 23 = -a 23/a 33 B 2 = m 23 B 3+B 2 Jadi kan a 13 = 0 dgn menggunakan pekali m 13 = -a 13/a 33 B 1 = m 13 B 3+B 1

Kaedah penghapusan Gauss. Jordan é 3 ê ê 0 êë 0 3 ù -2 1 ú 7/3 4/3 2 ú 0 31/7 -13/7úû • m 12= -a 12/a 22 = -(-2)/(7/3) = 6/7, m 23 = -a 23/a 33 = -(4/3)/(31/7) = -28/93 • B 1 = m 12 B 2+B 1 B 2 = m 23 B 3+B 2 é 3 ê ê 0 êë 0 0 15/7 33/7 ù ú 7/3 4/3 2 ú 0 31/7 -13/7úû é 3 ê ê 0 êë 0 0 15/7 33/7 ù ú 7/3 0 238/93 ú 0 31/7 -13/7úû

Kaedah penghapusan Gauss. Jordan • m 13 = -a 13/a 33 = -(15/7)/(31/7) = -15/31 • B 1 = m 13 B 3+B 1 é 3 ê ê 0 êë 0 0 0 174/31 ù ú 7/3 0 238/93 ú 0 31/7 -13/7 úû • Selesaikan • 3 x 1 = 174/31 x 1 = 58/31 • 7/3 x 2 = 238/93 x 2 = 34/31 • 31/7 x 3 = -13/7 x 3 = =13/31

Kaedah pangsian separa 6 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = -2 2 x 1 +2/3 x 2 +1/3 x 3 = 1 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 Nilai sebenar x 1 = 2. 6, x 2 = -3. 8 z = -5. 0 Jika diselesaikan menggunakan kaedah penghapusan gauss é 6. 000 ê ê 2. 000 êë 1. 000 2. 000 -2. 000 0. 667 0. 333 1. 000 2. 000 -1. 000 0. 000 m 21 = -0. 33333 ù ú ú úû m 31 = -0. 1667 E 2 = m 21 E 1 + E 2 E 3 = m 31 E 1 + E 3

Kaedah pangsian separa é 6. 000 ê ê 0. 000 êë 0. 000 2. 000 -2. 000 0. 0001 -0. 333 1. 667 1. 6667 -1. 333 0. 333 2. 000 m 32 = 1. 6667/0. 001 = 16670 é 6. 000 ê ê 0. 000 êë 0. 000 2. 000 0. 0001 -0. 333 0. 000 5555 ù ú ú úû E 3 = m 32 E 2 + E 3 ù ú 1. 667 ú -27790 úû -2. 000 Dengan menggunakan gantian kebelakang nilai bagi x 1 = 1. 335, x 2 = 0. 000, x 3= -5. 003 Ini berbeza dengan nilai sebenar!!! Kenapa ? ? ?

Kaedah pangsian separa Ini disebabkan ralat pembundaran. Oleh kerana nombor yg terlibat adalah dlm bentuk pecahan, komputer akan menukarkan ke bentuk nombor perpuluhan dan membundarkannya kpd titik perpuluhan tertentu. Bagaimana nak mengatasi masalah ini ? Pastikan unsur paksi merupakan unsur yang paling maksima secara mutlak bagi setiap lajur yang terlibat. Ini supaya nilai pekali m adalah tidak melebihi 1. Kaedah ini dipanggil kaedah pangsian separa

Kaedah pangsian separa Bagi contoh sebelum ini é 6. 000 ê ê 0. 000 êë 0. 000 2. 000 -2. 000 0. 0001 -0. 333 1. 667 1. 6667 -1. 333 0. 333 2. 000 ù ú ú úû Tukarkan baris 3 dengan baris 2 é 6. 000 ê ê 0. 000 êë 0. 000 2. 000 -2. 000 1. 6667 -1. 333 0. 0001 -0. 333 1. 667 2. 000 m 32 = -0. 0001/1. 6667 = -0. 00006 Diperolehi é 6. 000 ê ê 0. 000 êë 0. 000 E 3 = m 32 E 2 + E 3 2. 000 -2. 000 1. 6667 -1. 333 0. 000 -0. 3332 1. 667 2. 000 ù ú ú úû ù x 1 = 2. 602, ú x 2 = -3. 801, ú úû x 3= -5. 003