METODE CLAPEYRON METODE PERS TIGA MOMEN TUJUAN UMUM

METODE CLAPEYRON (METODE PERS. TIGA MOMEN) TUJUAN UMUM: MAHASISWA MAMPU MENERAPKAN METODE CLAPEYRON DALAM ANALISASTRUKTUR BALOK STATIS TAK TENTU INyoman Merdana, ST, MT Jurusan Teknik Sipil. Fak. Teknik Universitas Mataram

Metode CLAPEYRON 2 Metode ini diusulkan oleh org yg bernama Clapeyron (1857) dan dikembangkan Lbh lanjut oleh Mohr (1860) h. A A’ A 1 B IAB=I 1 A C’ IAB=I 2 L 1 A 2 A 1 a 1 MA A 4 A 3 L 1/3 Metode Clapeyron L 1/3 C C 1 L 1/3 MB L 2/3 Balok dua bentang yg bersebalan Diagram akibat beban luar a 1 A 5 hc A 6 L 2/3 MC Diagram M akibat momen ujung MA, MB & MC

Penurunan rms CLAPEYRON …(1) 3 ☺ Hub. antara MA, MB dan MC dpt diperoleh dari kondisi keselarasan utk blk yg menerus/kontinyu di titik B ☺ Grs singgung kurva elastis BC’ di ttk B terletak pd satu grs Lrs dgn grs singgung kurva elastis BA’ di B ☺ Kedua grs singgung di B pd kurva elastis di kedua sisi B satu thd lain hrs ttp membentuk grs lurus (sdt 180) ☺Karena A 1 BC 1 hrs berupa grs lurus maka: …(C. 1) Dimana AA 1=h. A-A 1 A’ Metode Clapeyron

Penurunan rms CLAPEYRON …(2) 4 …(C. 2) dan Metode Clapeyron

Penurunan rms CLAPEYRON …(3) 5 …(C. 3) Pers (C. 2) dan (C. 3) disubstitusikan ke pers (C. 1) maka diperoleh pers. Tiga Momen (Clapeyron) Metode Clapeyron

Pers. Umum “CLAPEYRON” 6 . . …(C. 4) Pers. Clapeyron didptkan dgn mengalikan (6 E) kpd setiap/semua suku pada pers (C. 4) diatas. . . …(C. 5) …(inilah pers. yg dikenal dgn nama “Pers Tiga momen/Clapeyron”) Metode Clapeyron

Contoh Soal 1; 7 Contoh berikut ini penerapan pers Clapeyron utk meng-gbr diagram M&D akibat bbn luar tanpa disertai penurunan tumpuan q 2 A 3 Ic 6 m P 1 B 10 Ic 12 m q 1 P 2 C 2 Ic 2 m 4 m P 3 D E 1, 5 m Data 2: E=konstan; P 1=80 k. N; P 2=72 k. N P 3=24 k. N; q 1=24 k. N/m; q 2=16 k. N/m Gambarkan Diagram M&D utk balok diatas Metode Clapeyron

Gbr Diagram M; Simple beam q 1 A Diagram M akibat bbn luar 3 Ic 6 m A 3 A 6 2 Ic 2 m 4 m 1/8 x 16 x 122 =288 k. Nm A 4 P 3 D E 1, 5 m Data 2: P 1=80 k. N P 2=72 k. N P 3=24 k. N q 1=24 k. N/m q 2=16 k. N/m 48 x 2 =96 k. Nm 80 x 12/4 =240 k. Nm A 2 A 5 P 2 C 12 m (215, 9) Metode Clapeyron q 2 10 Ic B 1/8 x 24 x 62 =108 k. Nm A 1 Diagram M akibat M ujung P 1 8 A 7 A 9 (146, 6) 36 MA=0 k. N. m MD=-24 x 1, 5=36 k. N. m

Penerapan CLAPEYRON pd tiap bentang 9 Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB & BC: 2 MB(3, 2) + 1, 2 MC = -1555, 2 …(a) →MA=0 k. Nm (sendi) Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC & CD: 1, 2 MB + 8, 4 MC = -1495, 2 Metode Clapeyron …(b) →MD=-36 k. Nm (jepit)

Penyelesaian pers. Simultan 10 Tentukan MB dan MC dgn menyelesaikan pers (a) & (b) tadi: 6, 4 MB + 1, 2 MC = -1555, 2 1, 2 MB + 8, 4 MC = -1495, 2 →[M]=[A]-1[C] Det [A]=(6, 4 x 8, 4)-(1, 2 x 1, 2)=52, 32 Metode Clapeyron

Momen MB & MC 11 →[M]=[A]-1[C] Jadi MA=0 k. N. m MB=-215, 997 k. N. m MC=-146, 644 k. N. m dan MD=-36 k. N. m selanjutnya buat diagram D dan M Metode Clapeyron

Free body Diagram 12 24 k. N/m A 24 x 6/2 215, 9/6 36 215, 997 72 36 108 RA=36 k. N B 215, 997 B 80 k. N 146, 64 16 k. N/m 146, 64 72 k. N 16 x 12/2 80/2 215, 9/12 146, 6/12 141, 8 RB=249, 8 k. N 96 40 18 12, 2 130, 2 C C 72 x 4/6 146, 6/6 36/6 66, 441 RC=196, 6 k. N 36 36 D 24 24, 44 24 E 6 5, 559 RD=29, 6 k. N Jadi : RA=36 k. N; RB=249, 8 k. N RC=196, 6 k. N; RD=29, 6 k. N ∑V=0; (24 x 6+16 x 12+80+72+24)=36+249, 8+196, 6+29, 6 Oke! (setimbang ) Metode Clapeyron 24

Momen Maksimum 13 Bentang AB Mx=RA(x)-½q 1(x)2 →Dx=RA-q 1(x)=0 x=RA/q=36/24=1, 5 m dari titik A Mmak=36 x(1, 5)-½(24)(1, 5)2=27 k. N. m Bentang BC: Mmak terjadi di bwh beban P=80 k. N Mx=RBC(6)-½q 2(6)2 -215, 997=346, 8 k. N. m Mmak=141, 8 x(6)-½(16)(6)2 -216=346, 8 k. N. m Bentang CD: MG=RCD(2)-MCD=-13, 8 k. N. m Metode Clapeyron dan MD=-(24)x 1, 5=-36 k. Nm

Grs Elastis bentang AB 14 Sudut rotasi bentang AB: Searah jrm jam Metode Clapeyron

Grs Elastis bentang BC 15 Sudut rotasi bentang BC: ( 72 k. Nm 3) Searah jrm jam Berlawanan arah jrm jam Metode Clapeyron

Grs Elastis bentang BC 16 Sudut rotasi bentang CD: Lihat slide no 8 Metode Clapeyron

Diagram M, D & kurva Grs elastis q 2 A 3 Ic 6 m P 1 q 1 10 Ic B 216 17 12 m P 2 C 2 Ic 2 m 146, 6 (-) (+) P 3 4 m 13, 8 E D 1, 5 m 36 Diagram M (k. N. m) (-) (+) 27 141, 8 36 (+) θB θA Metode Clapeyron (-) 108 346, 8 66, 4 45 (-) 35 (+) (-) 130, 2 θC θD 5, 6 24 (+) Diagram D (k. N) Kurva Grs Elastis

Contoh Soal Metode Clapeyron (Penurunan Tumpuan) 18 A 3 EI 6 m B d B’ 10 EI 12 m C 2 EI D E=200 x 106 k. N/m 2 I=400 x 10 -6 m 4 6 m Suatu balok menerus spt gbr diatas. Tumpuan B mengalami penurunan d=15 mm relatif terhadap tumpuan yg lain. Buat diagram Momen dari balok itu bila tumpuan balok tadi turun tanpa disertai dgn beban luar yg bekerja Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron 19 Gunakan Pers. Tiga Momen (Clapeyron) Bila tdk ada bbn luar maka: Perhatikan bhw h. A dan hc masing 2 sebenarnya adl. besaran yg menunjukkan bhw tumpuan A dan C relatif lebih tinggi dari B Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron bentang BC-CD 20 Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB-BC: Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC-CD: Metode Clapeyron

Momen MB dan MC 21 Tumpuan A dan D adl. SENDI maka MA=MD=0; dan EI=80. 000 k. N. m 6, 4 MB+1, 2 MC=+1800 1, 2 MB+8, 4 MC=-600 Selesaikan pers. Simultan diatas utk peroleh MB dan MC Det [A]=52, 32 Jadi MB=+303, 6 k. N. m dan MC=-114, 6 k. N. m Metode Clapeyron

Free body diagram A B MBA/L 1 MBA MBC MBA/L 1 B (MBC+MBC)/L 2 RAB=MBA/L 1=50, 6 k. N (↑) RBA=MBA/L 1=50, 6 k. N (↓) RBC=(MBC+MCB)/L 2=34, 85 k. N (↓) RCB=(MBC+MCB)/L 2=34, 85 k. N (↑) RCD=MCD/L 3=19, 1 k. N (↑) RDC=MCD/L 3=19, 1 k. N (↓) Metode Clapeyron 22 MCB C RCB MCD C MCD/L 3 D RDC RA=RAB=50, 6 k. N (↑) RB=RBA+RBC=85, 45 k. N (↓) RC= RCB +RCD=53, 95 k. N (↑) RD=RDC=19, 1 k. N (↓) ∑V=0; RA-RB+RC-RD=0 k. N 50, 6 -85, 45+53, 95 -19, 1=0

Diagram M & D A 23 B AV 50, 6 BV (+) 15 mm (+) 303, 6 Metode Clapeyron D CV 19, 1 50, 6 34, 85 C (-) DV (+) 19, 1 Diagram Gaya Geser (k. N) 34, 85 114, 6 (-) Diagram Momen (k. N. m) Kurva Grs Elastis

Soal latihan 1 24 Kerjakan soal dibawah ini sbg latihan: P 1 E P 2 2 m A 2 Ic L 1=6 m 2 (-) 1 (-) Metode Clapeyron B 4 Ic L 2=6 m 0, 0058 F 3 m 3 Ic 3 m D 2, 139 1, 965 3, 029 (+) C Buat diagram M, D dan Grs Elastis bila: P 1=1 k. N P 2=2 P 1 q=1 k. N/m E=konstan (+) 2, 45 (-) Diagram M (k. N. m) (+) 1, 93 (+) (-) 2, 971 1, 357 (-) 0, 644 Diagram D (k. N)

Soal latihan 2 Buat gambar diagram Momen dan Gaya geser dgn metode CLAPEYRON bila kekakuan lentur EI adl sama sepanjang bentang (gunakan D=20 mm, Ic=5, 4 x 105 cm 4, E=20 x 106 k. N/m 2 bila PERLU) P (1) A D 3 m P=65 k. N (2) A D 6 m Metode Clapeyron (Ic) B 25 P (Ic) 3 m (Ic) 9 m B (3) P (Ic) A D 3 m C 1 m P=65 k. N (4) A (Ic) D 6 m 1 m (2) B B’ 20 mm 3 m C C P P (Ic) A 3 m B B’ C (Ic) D 9 m P B D B’ 3 m 1 m P (Ic) 3 m P D C 1 m 1 m

METODE CLAPEYRON 26 KASUS BALOK MENERUS DENGAN TUMPUAN JEPIT Metode Clapeyron

Blk menerus dgn Tump Jepit 27 Contoh berikut ini adl. penerapan pers Clapeyron utk blk menerus dgn tumpuan JEPIT akibat bbn luar tanpa disertai penurunan pd tumpuan q 2 A 3 Ic 6 m P 1 B 10 Ic 12 m q 1 P 2 C 2 Ic 2 m 4 m P 3 D E 1, 5 m Data 2: E=konstan; P 1=80 k. N; P 2=72 k. N P 3=24 k. N; q 1=24 k. N/m; q 2=16 k. N/m Gambarkan Diagram M&D utk balok diatas Metode Clapeyron

Gbr Diagram M; Simple beam Ao Ic=~ Lo q 1 A 3 Ic 6 m Diagram M akibat bbn luar A 1 Diagram M akibat M ujung A 5 P 1 q 2 10 Ic B A 3 Metode Clapeyron A 6 2 m 2 Ic 1/8 x 16 x 122 =288 k. Nm A 4 4 m P 3 D E 1, 5 m Data 2: P 1=80 k. N P 2=72 k. N P 3=24 k. N q 1=24 k. N/m q 2=16 k. N/m 48 x 2 =96 k. Nm 80 x 12/4 =240 k. Nm A 2 A 7 P 2 C 12 m 1/8 x 24 x 62 =108 k. Nm 28 A 9 A 8 A 10 36 MA≠ 0 k. N. m MD=-24 x 1, 5=-36 k. N. m

Pers. Clapeyron utk Bentang Ao. A & AB 29 Terapkan pers. Clapeyron pd bentang Ao-A dan AB: …(1) Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron utk Bentang Ao. A & AB 30 Terapkan pers. Clapeyron pd bentang AB dan BC: …(2) Metode Clapeyron

Pers. Clapeyron utk Bentang BC & CD 31 Terapkan pers. Clapeyron pd bentang BC dan CD: …(3) Metode Clapeyron

Persamaan Simultan 32 Selesaikan pers (1 -3) secara simultan: 4 MA+2 MB + 0 MC=-432 2 MA+6, 4 MB+1, 2 MC=-1555, 2 0 MA+1, 2 MB+8, 4 MC=-1495, 2 …(1) …(2) …(3) →[M]=[A]-1[C] Selesaikan persamaan diatas secara simultan utk peroleh MA, MB dan MC Metode Clapeyron

Momen tumpuan MA, MB & MC 33 Dgn bantuan spreadsheet Excell dihitung [A]-1 sbb: Momen yg terjadi adl. Sbb: Selanjutnya buat Free body diagram, Diagram M&D serta Grs Elastis dgn langkah spt pd contoh no 1 terdahulu Metode Clapeyron

Diagram M, D & kurva Grs elastis q 2 A 3 Ic 6 m 0, 361 P 1 q 1 10 Ic B 215, 28 12 m 141, 67 (+) θB θA=0 P 3 2 Ic 2 m 4 m 147, 25 14, 64 D E 1, 5 m 36 Diagram M (k. N. m) (-) (+) 36, 18 (+) P 2 C (-) 26, 90 Metode Clapeyron 34 (-) 107, 82 346, 74 45, 67 66, 54 (+) (-) 34, 33 130, 33 θC (-) 5, 46 θD 24 (+) Diagram D (k. N) Kurva Grs Elastis

Cara menghitung INVERS dgn Excell 35 1. Tuliskan / input matrik [A] di halaman spreadsheet yg ada (misalnya cell A 1: C 3) 2. Tempatkan kursor pd cell A 5, pilih menu “FORMULA”, “INSERTFUNCTION”, dan pilih “MINVERSE”, masukkan cell A 1: C 3 sbg “ARRAY”, PILIH “OKE”; (selanjutnya pd cell A 5 berisi nilai 0, 297814) 3. Blok/Sorot cell A 5: C 7, tekan “F 2”, dan terakhir tekan CTRL-SHIFT -ENTER” secara bersamaan (→akan terbentuk matrik pd cell A 5: C 7, semua angka ini adl invers dari matrik [A] ) 4. Utk meyakinkan, periksa hasil tadi dgn rumus: [A]x[A]-1=[I] Metode Clapeyron

QUIS 1; METODE CLAPEYRON 36 Quis 1 Mektek III Tgl : 05 Maret 2012 Waktu : 100’ (09: 30 -11: 10) Sifat : Open book(s) P q A 2 Ic L 1=6 m B 4 Ic L 2=6 m C P E 3 Ic F 2 m 2 m L 3=6 m Gambarlah diagram M dan D bila diketahui: P 1=Nomor mhs, 3 digit terakhir (k. N) q= 2 P 1 (k. N/m) E=konstan Metode Clapeyron 2 m D

QUIS 1 SUSULAN; METODE CLAPEYRON 37 Quis susulan khusus utk Mhs peserta KKN Quis Mektek III Tgl : 21 Maret 2012 Waktu : 100’ (09: 30 -11: 10) 2 Ic Sifat : Open book(s) A L 1=6 m B B’ D 4 Ic L 2=6 m Gambarlah diagram M dan D bila diketahui: 1) Tumpuan B mengalami penurunan D=20 mm relatif thd tumpuan lainnya. 2) P 1=Nomor mhs; 3 digit terakhir (k. N) q= 2 P 1 (k. N/m), E=konstan Metode Clapeyron P q P E 3 Ic F C 2 m 2 m 2 m L 3=6 m D