MECHANIKA I Agrdy Gyuladr Lubly Lszl 2005 MECHANIKA
MECHANIKA I. Agárdy Gyula-dr. Lublóy László 2005.
MECHANIKA I. Széchenyi István Egyetem ERŐKERŐRENDSZEREK AZ ERŐK FOGALMA, TULAJDONSÁGAI, HELYETTESÍTÉSI ÉS EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK (2 -3 -4. HÉT) 2
MECHANIKA I. Széchenyi István Egyetem ERŐK-ERŐRENDSZEREK AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: Következő dia: AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK Az ERŐ a testek egymásra hatásának mértéke. az egymásra hatás lehet ¨ alakváltoztató hatás ¨ méretváltoztató hatás ¨ mozgásállapotváltoztató hatás 3
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Következő dia: AZ ERŐ MEGADÁSA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK Az ERŐ jellemzői: nagyság n hatásvonal n irány n támadáspont Mindezek alapján az ERŐ helyhez kötött vektormennyiségként kezelhető. n 4
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ ERŐ MEGADÁSA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Számítás esetén: Előző dia: AZ ERŐ TULAJDONSÁGAI az erővektor 2 (térben 3) összetevője n a hatásvonal egy pontjának két (térben 3) koordinátája Következő dia: A KOORDINÁTARENDSZER n Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK n Szerkesztés esetén (csak síkban): az erővektor nagysága és állásszöge n a hatásvonal egyenesének egy pontja Az adatok egyértelműségéhez rögzített koordinátarendszer, ill. viszonyítási egyenes és szögforgásirány szükséges. 5
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem A KOORDINÁTARENDSZER Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA a MECHANIKÁban alkalmazott koordinátarendszer Előző dia: AZ ERŐ MEGADÁSA Z Következő dia: AZ ERŐ JELÖLÉSE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK az X-Y-Z koordinátatengelyeket úgy vesszük fel, hogy az egyik tengely pozitív ága felől nézve a második tengelyt a harmadik tengely állásába az óra járásával megegyező, pozitív derékszögű elfordítás vigye át Y X az ilyen tulajdonságú koordinátarendszert ? ? sodrásúnak nevezzük 6
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ ERŐ JELÖLÉSE Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A KOORDINÁTARENDSZER Következő dia: AZ ERŐK EGYENÉRTÉKŰSÉGE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK X irányú vetület i j FX X irányú összetevő a. F Y irányú vetület FY Y X Y irányú összetevő FY FY=FY×j vektor FX F hatásvonal FX=FX×i 7
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ ERŐK EGYENÉRTÉKŰSÉGE Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ JELÖLÉSE Következő dia: AZ ERŐ HATÁSAI Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK két, azonos hatást kifejtő erőcsoport EGYENÉRTÉKŰ (F 1, F 2, . . Fi, . . Fn)=(A, B, . . V, W, Z) (F 1, F 2, . . Fi, . . Fn)=R (F 1, F 2, . . Fi, . . Fn)=(A, MA) (F 1, F 2, . . Fi, . . Fn)=(A, B, C) 8
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ ERŐ HATÁSAI Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA n eltoló hatás Előző dia: AZ ERŐK EGYENÉRTÉKŰSÉGE Következő dia: AZ ERŐ NYOMATÉKA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK közös metszéspontú erők: n általános állású erők: eltoló ÉS elforgató hatás 9
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ ERŐ NYOMATÉKA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ HATÁSAI Következő dia: AZ ERŐ NYOMATÉKA az F erő P pont körüli elforgató hatását az F erő P pontra vonatkozó (forgató)nyomatékának nevezzük X k. F(P) Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK T Y MF(P)=-|F|×k. F(P) P a. F F 10
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ ERŐ NYOMATÉKA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ NYOMATÉKA Következő dia: A STATIKA 1. AXIÓMÁJA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK az F erő P pontra vonatkozó nyomatékát összetevői nyomatékösszegeként is számíthatjuk XT XP k. F(P) YP P YT Y (P)=-|F|×k (P) M X F F MF(P)=-FX×(YT-YP)+FY×(XT-XP) T a. F F FX FY 11
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem A STATIKA 1. AXIÓMÁJA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ NYOMATÉKA Következő dia: A STATIKA 2. AXIÓMÁJA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK KÉT ERŐ AKKOR ÉS CSAK AKKOR VAN EGYENSÚLYBAN, HA HATÁSVONALUK KÖZÖS, VEKTORUK ELLENTETT (F 1, F 2)=0 F 1 (F 1, F 2)=0 F 2 F 1 F 2 12
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem A STATIKA 2. AXIÓMÁJA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A STATIKA 1. AXIÓMÁJA Következő dia: A STATIKA 3. AXIÓMÁJA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK HÁROM ERŐ AKKOR ÉS CSAK AKKOR VAN EGYENSÚLYBAN, HA HATÁSVONALAIK KÖZÖS METSZÉSPONTÚAK, VEKTORAIKBÓL PEDIG ZÁRT, NYÍLFOLYTONOS VEKTORHÁROMSZÖG KÉPEZHETŐ F 1 F 2 F 3 (F 1, F 2)=0 F 1 F 3 F 2 13
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem A STATIKA 3. AXIÓMÁJA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A STATIKA 2. AXIÓMÁJA Következő dia: A STATIKA 4. AXIÓMÁJA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK EGY ERŐRENDSZER HATÁSA NEM VÁLTOZIK, HA ÖNMAGÁBAN EGYENSÚLYBAN LÉVŐ ERŐCSOPORTOT ADUNK HOZZÁ, VAGY VESZÜNK EL BELŐLE. (F)=R (Q)=0 [(F), (Q)]=R (Q)=0 (F)=R 14
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem A STATIKA 4. AXIÓMÁJA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A STATIKA 3. AXIÓMÁJA Következő dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK KÉT TEST EGYMÁSRA HATÁSAKOR A KÉT TEST ÁLTAL EGYMÁSRA KIFEJTETT ERŐ EGYMÁS ELLENTETTJE LESZ 1 F 2 1 F 1 2 2 1 F 2 1 2 F 1 2 15
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F 1|<|F 2| Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: A STATIKA 4. AXIÓMÁJA Következő dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK a két erő nyomatékösszege az eredő hatásvonalára zérus R=F 1+F 2 MR(R)=0=-F 1×k. F 1(R)+F 2×k. F 2(R) F 1×k. F 1(R)=F 2×k. F 2(R) (R) k k F 1 F 2 F 1 k. F 1 = F 2 k. F 2(R) F 1 R F 2 az erőknek az eredőtől mért távolsága erőnagyságokkal fordított arányban áll 16
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F 1|<|F 2| Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK a két erő nyomatékösszege az eredő hatásvonalára zérus R=F 1 -F 2 MR(R)=0=-F 1×k. F 1(R)+F 2×k. F 2(R) F 1×k. F 1(R)=F 2×k. F 2(R) F 1 k. F 1(R) = F 2 k. F 2(R) k. F 1 (R) k. F 2(R) F 2 R az erőknek az eredőtől mért távolsága erőnagyságokkal fordított arányban áll 17
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE |F 1|=|F 2| Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK eredő erő a vetületazonosság miatt nem lehet, a nyomaték viszont minden pontra azonos (F 1, F 2)=R R=F 1 -F 2=0 k k. F 2(P) P SMF 1, F 2(P)=+F 1×(k+k. F 2(P))-F 2×k. F 2(P) SMF 1, F 2(P)=+F 1×k. F 2(P)-F 2×k. F 2(P) |F 1|=|F 2|=F F 1×k. F 2(P)-F 2×k. F 2(P)=0 SMF 1, F 2(P)=+F×k 18
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE (szerkesztés) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia: ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK a vektorokat a hatásvonalakra rajzolva, S és S’ segéderőkkel (S, S’)=0 a harmadik axióma szerint: (S, F 1, F 2, S’)=R (S, F 1)=R 1 (F 2, S’)=R 2 (R 1, R 2)=R F 1 S S’ S F 2 R 1 F 1 R F 2 19
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Következő dia: ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK (F, M)=R F=R az erőpárnak nincs erővetülete k. F(R) MF(R)+M=MR(R)=0 MF(R)=-F×k. F(R)=M/F M F R egy erőhöz erőpárt adva az erő úgy tolódik el párhuzamosan, hogy a nyomatéknövekmény az erőpár hatását pótolja 20
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE az erőpárt két erővel helyettesítve Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Következő dia: AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK (F, M)=R M=(S, S*) az S segéderőt az F hatásvonalán, vele ellentett vektorral vesszük fel. (F, S, S*)=R (F, S)=0 F M (az 1. axióma szerint) S*=R k. F(R) S* R S 21
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: ERŐ ÉS ERŐPÁR EREDŐJE Következő dia: HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK Ha egy F erőt egy A pontba akarunk áthelyezni, akkor az erő forgató hatását külön erőpárral kell pótolnunk. Ezt a műveletet az erő pontra redukálásának nevezzük. F=(A, MA) A=F MA=(F×k. F(A) A A k. F(R) M F 22
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA Egy (merev) testre az erők eltoló és elfordító, az erőpárok csak elfordító hatást fejtenek ki. Ennek alapján n a csak erőpárokból álló erőrendszer eredője csak erőpár lehet a hatásvonalaikkal egyetlen pontra illeszkedő erők esetében az eredő erő hatásvonala is erre Következő dia: EREDŐa pontra illeszkedik MEGHATÁROZÁS n az eltoló hatásaikban (azonos irányú vetületeikben) Utolsó dia: zérust adó erőrendszerek eredőjének az eltoló EGYENSÚLYOZÁ- hatás irányában álló tengelyre vett vetülete zérus SI FELADATOK n a mind eltoló hatásaikban, mind pedig elfordító hatásaikban zérust adó erőrendszer eredője zéruserő, azaz az erőrendszer egyensúlyban van. n 23
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem EREDŐMEGHATÁROZÁS az eredő vetületeit az erők vetületösszegei adják Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉSI FELADATOK Következő dia: EREDŐMEGHATÁROZÁS F 2 F 1 Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK F 3 R F 4 k. F 3 P F 5 k. F 5 P X P k. F 1 P Y k. F 2 P k. RP az eredő helyét a nyomatékok azonossága alapján kapjuk k. F 4 P 24
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem EREDŐMEGHATÁROZÁS Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: EREDŐMEGHATÁROZÁS Következő dia: KÖTÉLSOKSZÖG SZERKESZTÉS Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK a hatásvonalak X tengelymetszékeinek felhasználásával a nyomatéki egyenlet egyszerűbben írható fel F 1 F 2 F 3 F 1 X F 4 Y F 1 Y XF 2 X RX F 3 Y XF 3 F 5 X F 3 X O XF 1 R XF 4 RY XF 5 F 5 Y XR 25
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉS az eredő helye kötélsokszögszerkesztéssel is előállítható Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: EREDŐMEGHATÁROZÁS (F 1, F 2, F 3, F 4, F 5)=R + (S, S’)=0 (S, F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, S’)=R S 1=(S 0, F 1) S 2=(S 1, F 2) S 3=(S 2, F 3) R S 0 S 4=(S 3, F 4) S 5=(S 4, F 5) F 1 F 2 Következő dia: KÖTÉLSOKSZÖG SZERKESZTÉS F 3 Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁF 4 SI FELADATOK F 5 S 1 F 1 S 2 S 3 S 0 W PÓLUS S 4 vektoridom-sugarak S 5 A VEKTOROK ÁBRÁJA F 2 F 3 R S 2 F 4 S 3 F 5 S 4 S 5 kötéloldalak S’ 0 A HATÁSVONALAK ÁBRÁJA S 5=(S 0, F 1, F 2, F 3, F 4, F 5) (S 5, S’ 0)=R 26
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÖTÉLSOKSZÖG-SZERKESZTÉS a szerkesztésben az erők sorrendje (konzekvensen) felcserélhető Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA F 3 R Előző dia: KÖTÉLSOKSZÖG SZERKESZTÉS Következő dia: AZ EREDŐ ESETEI Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK F 1 F 5 (F 3, F 1, F 5, F 2, F 4)=R+(S, S’)=0 (S, F 3, F 1, F 5, F 2, F 4, S’)=R S 0 S 1 W PÓLUS vektoridom-sugarak F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 S 2 S 3 F 2 S 4 F 4 S 5 S 1=(S 0, F 3) S 2=(S 1, F 1) S 3=(S 2, F 5) A VEKTOROK S 4=(S 3, F 2) ÁBRÁJA S 5=(S 4, F 4) S 1 S 5 S 4 S 3 kötéloldalak S 0 R A HATÁSVONALAK ÁBRÁJA S 5=(S 0, F 1, F 2, F 3, F 4, F 5) (S 5, S’ 0)=R 27
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem AZ EREDŐ ESETEI EREDŐ Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLSOKSZÖG SZERKESZTÉS Következő dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK SZÁMÍTÁS SZERKESZTÉS általános SFi. X≠ 0 ÉS SFi. Y≠ 0 erő a vektorsokszög nyitott X irányú SFi. X≠ 0 ÉS SFi. Y=0 erő a vektorsokszög nyitott (a kezdőés a végpont Y ordinátája azonos) Y irányú SFi. X=0 ÉS SFi. Y≠ 0 erő a vektorsokszög nyitott (a kezdőés a végpont X ordinátája azonos) erőpár SFi. X=0 ÉS a vektorsokszög zárt, SFi. Y=0 ÉS kötélsokszög nyitott SMitetszőleges pontra≠ 0 a vektorsokszög zéruserő SFi. X=0 ÉS (egyensúly SFi. Y=0 ÉS kötélsokszög zárt ) SMitetszőleges pontra=0 zárt, de a és a 28
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) AX, AY és B számításához a három statikai egyenlet elegendő Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: AZ EREDŐ ESETEI F 1 F 2 Következő dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL A F 1 X AY AX Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK XA Y XF 1 F 4 F 3 F 5 X F 3 X F 1 Y XF 2 b B F 3 Y XF 3 BY BX a. B X F 5 Y XF 4 XF 5 XB 29
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) az egyenletből a B erő nagysága és irányítása közvetlenül számítható Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA a vetületi egyenletekben az A erőnek csak egy-egy összetevője szerepel Előző dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL F 1 F 2 Következő dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL A F 1 X AY AX Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK XA Y XF 1 F 4 F 3 F 5 X F 3 X F 1 Y XF 2 b B F 3 Y XF 3 BY BX a. B X F 5 Y XF 4 XF 5 XB 30
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA A kötélsokszögben minden erőhatásvonalon két kötéloldal metsződik. Az A erő hatásvonalának csak egyetlen pontja ismert, ezért a szerkesztést ezen a ponton kell kezdeni. F 1 Előző dia: HELYETTESÍTÉS A KÉT ERŐVEL F 2 Következő dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL F 3 Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK F 4 F 5 A kötélsokszög tulajdonságai alapján meghatározott záróoldal a vektorábrában kijelöli az A és B vektor közös pontját. S 0 S 1 S 2 W PÓLUS Száró B S 4 S 5 S 3 (F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, )=(A, B) F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 A Száró S 5 S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 b 31
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL (helyettesítés egy ismert ponton átmenő, és egy ismert hatásvonalú erővel) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA A vektorábrában az A és B erők helyzete is felcserélhető, de a szerkesztést mindig az A erőhöz csatlakozó kötéloldallal kell kezdeni. Előző dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL F 2 Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK (F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, )=(B, A) F 1 B S 0 S 3 S 1 S 2 A S 2 F 3 Száró S 3 F 4 F 5 S 4 S 1 S 0 W PÓLUS S 4 S 5 A S 5 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 b Száró 32
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS KÉT ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK A hatásvonalak ismeretében az erők előjeles nagyságának meghatározására a három statikai egyenlet elegendő. a a k. R RX R b c R=(A, B, C) AY R A k. A(D) B AX BY RY D k. B(D) BX c Y (D) X b k. A(D) CX CY C SFi. X=RY=AX+BX+CX SFi. X=RY=AY+BY+CY SMi(D)=MR(D)=MA(D)+MB(D)+MC(D) 33
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK A D pontra felírt nyomatéki egyenletben nem szerepelnek a D ponton átmenő hatásvonalú erők. Ha a pontot két ismeretlen erő hatásvonalának metszéspontjában vesszük fel, az egyenletben csak a harmadik erő az ismeretlen. Az ismeretlen erők hatásvonalainak metszéspontját a harmadik erőhöz tartozó FŐPONTnak nevezzük. A főpontokra felírható három nyomatéki egyenletből az erőnagyságok közvetlenül számíthatók. R=(A, B, C) SMi(OA)=MR(OA)=MA(OA)+MB(OA)+MC(OA) SMi(OB)=MR(OB)=MA(OB)+MB(OB)+MC(OB) SMi(OC)=MR(OC)=MA(OC)+MB(OC)+MC(OC) 34
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA a főponti nyomatéki egyenletek: SMi(OA)=MR(OA)= - R×k. R(OA)=+A×k. A(OA)=MA(OA) SMi(OB)=MR(OB)= +R×k. R(OB)= -B×k. B(OB)=MB(OB) Előző dia: (OC)= -C×k (OC)=M (OC) (O ) HELYETTESÍTÉS SMi C =MR C = - R×k. R C C HÁROM ERŐVEL k. B(OB) Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL OB Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK a A k. R(OC) b R C főpont a két (O ) k R másik erő hatásvonalának metszéspontja OC a k. A(OA) k. C(OC) B (O ) k. R B c A OA 35
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK Ha két ismeretlen erő párhuzamos, a harmadikhoz nem található főpont, viszont a párhuzamos erőkre merőleges vetületi egyenletből a harmadik erő közvetlenül számítható. k. R(OC) OC a A k. A(OA) k. C(OC) R R=(A, B, C) k. R(OA) c C SMi(OA) =MR(OA)=MA(OA) SFi, t. B =Rt. B =At. B SMi(OC) =MR(OC)=MA(OC) B t. B +MB(OA) +Bt. B +MB(OC) b OA +MC(OA) +Ct. B +MC(OC) 36
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, főponti módszer) Ha mindhárom erő párhuzamos, Első dia: és a helyettesítendő erő is párhu. AZ ERŐ zamos, akkor a rájuk merőleges DEFINÍCIÓJA tengelyre vett vetületi egyenlet Előző dia: „üres”, a három ismeretlenre HELYETTESÍTÉS csak két egyenletünk marad, a HÁROM ERŐVEL feladat határozatlan. Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Ha mindhárom erő párhuzamos, de a helyettesítendő erő velük nem párhuzamos, akkor a he. Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁ- lyettesítő erők a rájuk merőleges SI FELADATOK erőkomponens helyettesítésére nem képesek, a feladat megoldhatatlan. A B R C t 37
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. R=(A, B, C) Q=(A, B) R=(Q, C) a C R q b R C R Q c a hatásvonal-ábra Q B A a vektorábrák 38
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. R=(A, B, C) Q=(B, C) R=(Q, A) a R q C b c a hatásvonal-ábra R Q A R Q B A a vektorábrák 39
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, CULMANN szerkesztés) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK A három ismeretlen erőből kettőt (ideiglenesen) (rész)eredővel helyettesítve a két erő eredőjére vonatkozó összefüggések alkalmazhatók. R=(A, B, C) Q=(A, C) a q R c b R=(Q, B) B R C Q A 40
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, hasonlósági módszer) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK A CULMANN szerkesztés geometriai és vektorábrájában a hasonlóság kihasználásával is felírható az eredővel (közel) párhuzamos erő nagysága. C a z. R I. II. R q z 1 c a geometriai ábra b s R III. z 2 II. Q I. B K III. A a vektorábra 41
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem HELYETTESÍTÉS 3 ERŐVEL (helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel, hasonlósági módszer) Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK Ha két ismeretlen erő párhuzamos, a harmadik meghatározása a hasonlósági módszerrel (a metszékazonosságok miatt) igen egyszerű. B a z. R R z 2 z 1 s c b 42
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: HELYETTESÍTÉS HÁROM ERŐVEL Következő dia: NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK a kötélsokszög segítségével az erőrendszer forgatónyomatéka is számítható (F 1, F 2, F 3, F 4, F 5)=R=A, MA F 1 F 2 R=A S 0 S 2 S 1 H F 3 F 4 F 5 S 4 S 5 S 3 F 1 S 1 W PÓLUS S 0 F 2 F 3 S 2 S’ 0 R F 4 k. QA S 3 k. RA A MA A F 5 S 4 S 5 v. RA 43
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL Következő dia: LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK a hasonló háromszögek rész-erőcsoportok nyomatékmeghatározására is alkalmasak F 1 F 2 R R 2 -4 F 3 (F 2, F 3, F 4, )=(A 2 -4, MA, 2 -4) S 0 S 1 F 1 S 2 H 2 -4 F 5 S 3 S 4 S 1 S 0 F 2 F 3 S 2 R 2 -4 F 4 A 2 -4 MA, 2 -4 F 5 A S 3 k. R 2 -4 A S 5 S’ 0 S 4 v. R 2 -4 A S 5 44
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: NYOMATÉK SZERKESZTÉSSEL Következő dia: VETÜLETI INTENZITÁSOK a vonalmenti megoszló teher eredője a terhelési ábra területével, hatásvonala a terhelési ábra súlyvonalával egyezik meg. R (q)=R Z q(X) XA X+DX X XR B Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK 45
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem VETÜLETI INTENZITÁSOK Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: LINEÁRISAN MEGOSZLÓ ERŐK Következő dia: INTENZITÁSVETÜLETEK Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK merőleges megoszló teher esetén a vetületi intenzitások az eredeti teherintenzitással megegyező értékűek ds d. RX=d. R×sina d. RZ=d. R×cosa d. R Z d. R=q×ds d. R a d. R=(d. RX, d. RZ) d. RX q. Xz=d. RX/d. Z=d. R×sina/(ds×sina) q. Zx=d. RZ/d. X=d. R×cosa/(ds×cosa) q q. Xz=d. R/ds=q q. Zx=d. R/ds=q q. Xz d. Z a q. Zx d. X 46
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem INTENZITÁSVETÜLETEK Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: VETÜLETI INTENZITÁSOK Következő dia: MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK merőleges megoszló teher hatása a ferde hosszon mért intenzitásvetületekkel is meghatározható q. Zs×ds=d. RZ d. RX=d. R×sina d. RZ=d. R×cosa d. R=q×ds q=d. R/ds d. R=(d. RX, d. RZ) ds d. Z q. Xs×ds=d. RX q. Xs=d. R×sina/ds=q×sina q. Zs q. Xs q. Zs=d. R×cosa/ds=q×cosa a d. X 47
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: INTENZITÁSVETÜLETEK Következő dia: KÖTÉLGÖRBE a felületre merőleges megoszló teher (pl. víznyomás) a vetületi intenzitások összefüggése alapján komponenseivel vehető figyelembe a vízszintes komponens a mélység lineáris függvénye, eredője háromszög (trapéz) ábrából számítható a függőleges komponens (is) a mélység lineáris függvénye, eredője a függőleges vetületi hosszak ábrájából számítható h×g×r Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK h×g×r 48
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÖTÉLGÖRBE Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: MERŐLEGES MEGOSZLÓ TEHER A párhuzamos megoszló teher hatására a végtelen hajlékony, súlytalan kötélben ébredő kötélerő grafikus meghatározása a megoszló teherre rajzolt kötélgörbe és vektorábra segítségével lehetséges. Rbal Következő dia: KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK R SA SK SA AR K R bal B SK a kötélerő vízszintes összetevője minden keresztmetszetben azonos 49
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÖTÉLGÖRBE Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLGÖRBE Következő dia: KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK egy lamella részeredőjének geometriai összefüggései Z Qi=q(Xi)×DX Zi Zi+1 Qi=H×tg(ai+1)-H×tg(ai)= =-H×Dtg(ai)=(DZ/DX)i R ai+1 -ai H ai q=q(X) X L Z=Z(X) tg(ai+1)=(DZ/DX)i+1 ai+1 W 50
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem KÖTÉLGÖRBE Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLGÖRBE A kötélgörbe Z(X) függvénye összefüggések alapján írható fel geometriai Rbal Következő dia: KÖTÉLGÖRBE Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK a SA SK R A SA Rbal határátmenetben: K R B SK 51
MECHANIKA I. ERŐK-ERŐRENDSZEREK Széchenyi István Egyetem EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK Első dia: AZ ERŐ DEFINÍCIÓJA Előző dia: KÖTÉLGÖRBE Az egyensúlyozási feladatok mindegyike a helyettesítési feladatokra vezethető vissza: Következő dia: (F)=R [(F), Q]=0 Utolsó dia: EGYENSÚLYOZÁSI FELADATOK (F)=(A, MA) [(F), QA, MQA]=0 (F)=(A, B) [(F), QA, QB]=0 (F)=(A, B, C) [(F), QA, QB, QC]=0 52
- Slides: 52