Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski

Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski (e-mail: jacek@fizyka. umk. pl) http: //www. fizyka. umk. pl/~jacek/dydaktyka/modsym/ Symulacje komputerowe Mechanika kwantowa Wersja: 20 kwietnia 2010

Plan 1. Tło i powstanie fizyki kwantowej 2. Podstawowe pojęcia i opis stanu w fizyce kwantowej 3. Czasowe i bezczasowe równanie Schrödingera (dynamika stanu i szukanie stanów własnych) 4. Inne podobne równania różniczkowe cząstkowe 5. Metody num. 1 D: Crank-Nicholsona i FFT+Czebyszew 6. Metody num. 2 D i 3 D: ADI i FFT+Czebyszew

Podręczniki • • • I. Birula-Białynicki, M. Cieplak, J. Kamiński, Teoria kwantów, 1991 L. Schiff, Mechanika kwantowa, 1977 L. D. Landau, E. M. Lifszic, Mechanika kwantowa, 1979 H. Haken, H. C. Wolf, Atomy i kwanty, 1997 R. Shankar, Mechanika kwantowa, 2006 Skrypt prof. Andrzeja Raczyńskiego http: //www. fizyka. umk. pl/~raczyn/

Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – promieniowanie ciała doskonale czarnego Planck założył kwantyzację energii (1900 r. ) – prawo Wiena

Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne Einstein wyjaśnił je zakładając kwantyzację energii fali elektromagnetycznej (fotony) (1904 r. ) prędkość fotoelektronów zależy tylko od częstości fali ilość fotoelektronów zależy od natężenia światła (ilości fotonów)

Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych kwantyzacja energii atomu (momentu pędu), zmiana energii (stanu) atomu tylko przy emisji lub absorpcji fotonu model atomu Bohra (1911 r. ) Widmo termiczne (np. Słońce) Widmo emisyjne azotu

Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych model atomu wodoru Bohra (1911 r. )

Stara teoria kwantów • Fizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiające się w doświadczeniach): – ciepło właściwe ciał stałych (Einstein 1907 r. , Debye 1914 r. ) – doświadczenie Francka-Hertza (1918 r. ) – efekt Comptona (1923 r. ) – hipoteza de Broglie’a (1923 r. ) - dualizm cząsteczkowo-falowy – doświadczenie Sterna-Gerlacha (1922 r. ) - spin (wewn. m. pędu)

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną Interpretacja probabilistyczna prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w obszarze V pewność znalezienia cząstki; funkcja falowa jest unormowana

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną x

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorową (dodawanie i mnożenie przez liczby zespolone) superpozycja (zasada superpozycji) iloczyn skalarny funkcji falowych

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 1. Stan cząstki jest w pełni opisany funkcją falową wielkość zespolona, zależy od położenia i czasu lub od pędu i czasu – tr. Fouriera zamiast pary wielkości mamy teraz tylko jedną Zbiór funkcji falowych tworzy przestrzeń wektorową (dodawanie i mnożenie przez liczby zespolone) Można skonstruować bazę ortonormalną funkcji falowych widmo dyskretne widmo ciągłe

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) analog wartości oczekiwanej w rachunku prawdopodobieństwa

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) analog wartości oczekiwanej w rachunku prawdopodobieństwa Operator położenia cząstki:

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator pędu cząstki:

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator energii całkowitej (hamiltonian):

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator energii całkowitej (hamiltonian):

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Operator energii całkowitej (hamiltonian):

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Twierdzenie Ehrenfesta: Wartość oczekiwane operatorów położenia i pędu zmieniają się w sposób analogiczny, jak w układzie nieskwantowanym (klasycznym) Ale w mechanice kwantowej wynik pomiaru np. położenia nie musi być równy wartości oczekiwanej – to nie musi być nawet najbardziej prawdopodobne położenie

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) wartość oczekiwana położenia najbardziej prawdopodobne położenie możliwy wynik pomiaru położenia x

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Doświadczenie Younga na pojedynczych fotonach

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Niepewność – wariancja: wartość oczekiwana wariancja Niepewność niektórych wielkości (np. położenia i pędu) jest związana zasadą nieoznaczoności Heisenberga

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 2. Wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie (z bazą funkcji własnych) Niepewność – wariancja: niepewność położenia niepewność pędu Niepewność niektórych Granica dokładności wielkości (np. pomiaru położenia stanuicząstki pędu) jest związana zasadą (powódnieoznaczoności „fizyczny”, a nie. Heisenberga „technologiczny”)

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) operator położenia – dowolne wartości (zbiór liczb rzeczywistych) energia całkowita (hamiltonian) – tylko wybrane wartości Mówimy, że energia jest skwantowana ale ma również część widma ciągłego Wartość oczekiwana operatora może nie być wartością własną (problem pomiaru – redukcja pakietu falowego)

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem)

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Jak znaleźć dozwolone wyniki pomiaru? Należy rozwiązać jego zagadnienie własne (por. algebra macierzy) Wówczas otrzymamy wartości własne operatora i odpowiadające im funkcje stanów własnych

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Jak znaleźć dozwolone wyniki pomiaru? Należy rozwiązać jego zagadnienie własne (por. algebra macierzy) Wówczas otrzymamy wartości własne operatora i odpowiadające im funkcje stanów własnych bezczasowe równanie Schrödingera

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 3. Dozwolonymi wynikami pomiarów wielkości fizycznej mogą być tylko wartości własne reprezentującego ją operatora (związek teorii z doświadczeniem) Stany własne atomu wodoru (funkcje falowe) 1 s 2 s, 3 s http: //www. falstad. com/qmatom/ http: //webphysics. davidson. edu/faculty/dmb/hydrogen/intro_hyd. html

Mechanika kwantowa • Postulaty mechaniki kwantowej: 4. Ewolucja układu kwantowego (cząstki), gdy nie dokonuje się pomiaru, jest opisana zależnym od czasu równaniem Schrödingera Odpowiednik równania Newtona Równanie różniczkowe cząstkowe (PDE) To jest fundament symulacji kwantowomechanicznych!

Mechanika kwantowa • Opis stanu w mechanice kwantowej – nowa jakość – Opis probabilistyczny (możliwość interferencji) – Komplementarność (problem zupełnego opis stanu) – Kwantyzacja wielkości fizycznych – Nieklasyczne wielkości fizyczne (spin) – Nierozróżnialność identycznych cząstek • Zasada korespondencji (Niels Bohr)

Mechanika kwantowa • Jednowymiarowe równanie Schrödingera • Implementacja na ćwiczeniach • Pokaz typowych zjawisk http: //www. fizyka. umk. pl/~jacek/download/qdyn. htm C: Program. DataMicrosoftWindowsStart MenuProgramsQDyn http: //www. fizyka. umk. pl/~jacek/dydaktyka/fkanim/index. html

Mechanika kwantowa w obrazach • Rozszerzanie pakietu gaussowskiego (brak potencjału) Cząstka swobodna. Im węższy pakiet, tym szybciej się rozszerza. a=1 a=2 a=4 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a Potencjał: brak potencjału Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Rozpraszanie na progu potencjału k = 0. 5 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Rozpraszanie na progu potencjału k=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Rozpraszanie na progu potencjału k = 1. 5 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Rozpraszanie na progu potencjału k=2 Stan początkowy: pakiet gaussowski, szerokość a = 2 Potencjał: próg potencjału o wys. 1 Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k = 0. 5 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k = 1. 5 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=3 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a = 0. 5 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a=1 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a = 1. 5 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Mechanika kwantowa w obrazach • Zjawisko tunelowania k=1 a = 2. 5 Stan początkowy: pakiet gaussowski (pęd k) Potencjał: bariera potencjału (szer. a) Sieć przestrzenna: 2048, (-100, 100); sieć czasowa: 1000, krok 0. 1 Na wykresie pokazany jest kwadrat modułu funkcji falowej (oś odciętych – położenie x)

Inne równania falowe Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu • Równanie propagacji fali elektromagnetycznej (wyprowadzane z równań Maxwella) • Równanie powierzchni cieczy • Równanie dyfuzji Założenie: strumień proporcjonalny do gradientu stężenia