MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIAS DICAS DE MATEMTICA ENEM

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

DICAS DE MATEMÁTICA – ENEM 2018 Prof. - Neilton Satel

"Não há assunto tão velho que não possa ser dito algo de novo sobre ele, " dizia o escritor russo Fiódor Dostoiévski, que nasceu em 1821. Blog do Professor Neilton Satel - Esta página é especificamente para tratar de assuntos referentes ao aulão – ENEM 2018: https: //neiltonsatel. wordpress. com/enem-2018/

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: y = ax + b a = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção com o eixo Oy). O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. a = tg α ( abertura ou inclinação da reta )

OBS: Exemplos de funções do 1° grau crescentes e decrescente representadas nos gráficos função crescente y = 2 x – 4. Y=4 y = 7 x + 1. y = 11, 8 x. Função – 4. constante y = 0, 59 x – 4. função decrescente y = – 2 x – 4. y =x –= 67 x + 1. y = – 11, 8 x – 4. y = – 0, 59 x – 4. Não é Função y = 2 x – 3 y = – 3 x + 6

Coeficiente angular = 3 NGULO: 71. 56º Coeficiente angular =2 NGULO: 63. 43º Coeficiente angular = 1 NGULO: 45º Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0. PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima

No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1. X 0 2 COEFICIENTE ANGULAR = 2 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). Y 1 5 COEFICIENTE LINEAR = 1 O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função. . . 5 4 1 ) ) 2

função do 1º Grau Seja dada a função definida pela sentença y = 2 x – 4. X = 0 y = 2. 0 – 4 y = – 4 X = 1 y = 2. 1 – 4 y = 2 – 4 y = – 2 X = 2 y = 2. 2 – 4 y = 4 – 4 y = 0 X = 3 y = 2. 3 – 4 y = 6 – 4 y = 2

função do 1º Grau Seja dada a função definida pela sentença y = 2 x – 4. ponto A (2, 0) ponto B (0, -4) Onde o ponto A (2, 0) r Já o ponto P (1, 2) r O ponto que “corta” o eixo Oy (eixo vertical) é o coeficiente linear da reta. t ar e n e li Co n e i c i ef

função do 1º Grau Seja dada a função definida pela sentença y = 2 x – 4. ponto A (2, 0) ponto B (0, -4) Onde o ponto A (2, 0) r Já o ponto P (1, 2) r O ponto que “corta” o eixo Oy (eixo vertical) é o coeficiente linear da reta. t ar e n e li Co n e i c i ef

função do 1º Grau Cálculo do coeficiente angular através do gráfico ponto A (2, 0) ponto B (0, -4) r a e e lin Co t n e i efic

Gráfico da função do 1º Grau EXERCICIO RESOLVIDO Esboce o gráfico da função y = – 2 x + 3 ou f(x) = – 2 x + 3. OBSERVE que podemos escrever y ou f(x) a) f: R R tal que f(x) = – 2 x + 3 r a e e lin Co f(1) = -2. 1 + 3 f(1) = 1 -2. x + 3 =0 x = 3/2 este ponto é chamado de raiz ou zero da equação nte f(0) = -2. 0 + 3 f(0) = 3 sce cre t n e i efic de Y 3 1 3/2 0 ção fun X 0 1

RAIZ DA FUNÇÃO DO 1° GRAU É o ponto da reta que “corta” o eixo dos “xis”. Basta igualar a equação do primeiro grau a ZERO. y = ax + b = 0 x = -b/a A raíz fica x = – b/a Veja o cálculo da raiz da função do primeiro grau y = 2 x – 4. Basta igualar a função a zero 2 x – 4 = 0 2 x = 4 x=2 CONCLUSÃO: A raiz desta função, é x = 2 Veja no próximo slide. . .

função do 1º Grau Seja dada a função definida pela sentença y = 2 x – 4. ponto A (2, 0) ponto B (0, -4) Onde o ponto P (2, 0) r Já o ponto P (1, 2) r O ponto que “corta” o eixo Oy (eixo vertical) é o coeficiente linear da reta. Já o ponto que “corta” o eixo dos “X”, é a raiz da função do primeiro grau. Neste caso a raiz é igual a 2. t ar e n e li Co n e i c i ef

(UNEB – 2009) A reta r de equação 6 x + 8 y – 48 = 0 intersecta os eixos coordenados cartesianos pontos P e Q. Desse modo, a distância, em u. c. , de P a Q é igual a 01) 7 02) 8 03) 10 04) 14 05) 18 X 0 8 Y 6 0

Gráfico da função do 1º Grau EXERCICIO RESOLVIDO Esboce o gráfico da função y = – 2 x + 3 ou f(x) = – 2 x + 3. OBSERVE que podemos escrever y ou f(x) a) f: R R tal que f(x) = – 2 x + 3 r a e e lin Co f(1) = -2. 1 + 3 f(1) = 1 -2. x + 3 = 0 x = 3/2 este ponto é chamado de raiz ou zero da equação nte f(0) = -2. 0 + 3 f(0) = 3 sce cre t n e i efic de Y 3 1 3/2 0 ção fun X 0 1

QUESTÃO 06 (AULÃO – ENEM 2018) – Professor Neilton Satel O gráfico da função do primeiro grau, representado no gráfico abaixo, foi feito com o software Geogebra na escala 1: 1. Podemos afirmar que a função representada no gráfico é: a) y = x b) y = 2 x + 3 c) y = x + 2 d) y = x – 2 e) y = 2 x – 1

QUESTÃO 06 (AULÃO – ENEM 2018) – Professor Neilton Satel O gráfico da função do primeiro grau, representado no gráfico abaixo, foi feito com o software Geogebra na escala 1: 1. Podemos afirmar que a função representada no gráfico é: a) y = x b) y = 2 x + 3 c) y = x + 2 d) y = x – 2 e) y = 2 x – 1

QUESTÃO 07 (AULÃO – ENEM 2018) – ENEM 2016 / 1° DIA / QUESTÃO 149 CADERNO AZUL Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá a) diminuir em 2 unidades. b) diminuir em 4 unidades. c) aumentar em 2 unidades. d) aumentar em 4 unidades. e) aumentar em 8 unidades.

QUESTÃO 07 (AULÃO – ENEM 2018) – ENEM 2016 / 1° DIA / QUESTÃO 149 CADERNO AZUL

QUESTÃO 07 (AULÃO – ENEM 2018) – ENEM 2016 / 1° DIA / QUESTÃO 149 CADERNO AZUL

QUESTÃO 07 (AULÃO – ENEM 2018) – ENEM 2016 / 1° DIA / QUESTÃO 149 CADERNO AZUL Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá a) diminuir em 2 unidades. b) diminuir em 4 unidades. c) aumentar em 2 unidades. d) aumentar em 4 unidades. e) aumentar em 8 unidades.

QUESTÃO 08 (AULÃO – ENEM 2018) – Professor Neilton Satel Um automóvel se desloca, numa rodovia, da cidade das Rosas para a cidade dos Lírios, segundo a expressão algébrica p = 90 + 50 t, sendo p o percurso em km e t, o tempo em horas. Sabendo que a distância entre essas cidades é de 440 km, o tempo para realizar esse percurso será de a) 8 horas. b) 7 horas. c) 5 horas. d) 4 horas. e) 3 horas.

QUESTÃO 08 (AULÃO – ENEM 2018) – Professor Neilton Satel Um automóvel se desloca, numa rodovia, da cidade das Rosas para a cidade dos Lírios, segundo a expressão algébrica p = 90 + 50 t, sendo p o percurso em km e t, o tempo em horas. Sabendo que a distância entre essas cidades é de 440 km, o tempo para realizar esse percurso será de a) 8 horas. P = 90 + 50 * 8 p = 90 +400 p = 490 b) 7 horas. P = 90 + 50 * 7 p = 90 +350 p = 440 c) 5 horas. P = 90 + 50 * 5 p = 90 +250 p = 340 d) 4 horas. P = 90 + 50 * 4 p = 90 +200 p = 290 e) 3 horas. P = 90 + 50 * 3 p = 90 +150 p = 240

QUESTÃO 09 (AULÃO – ENEM 2018) – Ana usou um copo de 200 ml para encher um balde. Ela sabe que precisou encher o copo mais de 70 vezes e menos que 80 vezes mas não se lembra do número exato. Qual dos volumes a seguir pode representar a capacidade do balde que Ana encheu? a) 14 litros b) 15 litros c) 16 litros d) 17 litros e) 18 litros

QUESTÃO 10 (AULÃO – ENEM 2018) – ENEM 2016 / 1° DIA / QUESTÃO 139 CADERNO AZUL Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo. Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora? a) 1 000 b) 1 250 c) 1 500 d) 2 000 e) 2 500

QUESTÃO 10 (AULÃO – ENEM 2018) – ENEM 2016 / 1° DIA / QUESTÃO 139 CADERNO AZUL Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3 h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo. Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora? a) 1 000 b) 1 250 c) 1 500 d) 2 000 e) 2 500 Portanto, a vazão da Bomba 2 = 2 500 – 1 000 = 1 500 Litros / hora