Kalman filter y tracking kalman filter 1 Introduccin

Kalman filter y tracking kalman filter 1

Introducción • El filtro de Kalman asume un sistema dinámico lineal y un observable corrompido con ruido gausiano. • Permite la estimación de estados pasados, presentes y futuros bajo incertidumbre. • El filtro de Kalman extendido asume un sistema no lineal y la linealización local. kalman filter 2

Referencias • An introduction to the Kalman filter. Greg Welch, Gary Bishop, • http: //www. cs. unc. edu/~welch/kalman. Intro. html • http: //www. cs. unc. edu/~welch/kalman/ kalman filter 3

Proceso dinámico El filtro de kalman trata de estimar el estado de un proceso estocástico dinámico de tiempo discreto modelado por las ecuaciones sig. Sujeto a observaciones calculadas mediante las ecuaciones Las variables aleatorias mundo y en las observaciones. kalman filter modelan el ruido en el Las matrices de covarianza pueden ser constantes o no. 4

La matriz A relaciona el estado con el estado anterior La matriz B refleja la influencia del input de control o función externa La matriz H refleja la obtención de la medida del estado. a partir Q es la matriz covarianza del ruido del proceso, R es la covarianza del ruido de la observación. Las matrices pueden ser variables en el tiempo, pero no es el caso habitual. kalman filter 5

Estimación del estado antes de conocer información sobre el instante k. Estimación a priori. Idem después de conocer la observación en el instante k. Los errores de estimación a priori y a posteriori: Matrices de covarianza del error a priori y del error a posteriori de clasificacion. kalman filter 6

El objetivo inicial es dar una ecuación que calcule el estimador a posteriori a partir del estimador a priori y el error en la predicción de la observación. Es el residual o innovación en la observación. K es la ganancia o blending factor que minimiza la covarianza del error a posteriori. Una expresión que se obtiene mediante sustitución e igualando a cero la derivada de la covarianza respecto de K: kalman filter 7

El filtro de Kalman mantiene los dos primeros momentos de la distribución de los estados. Si el ruido es gausiano, entonces se cumple que la distribución de los estados es también gausiana, con media la estimación a posteriori del estado, y covarianza la del error de la estimación: kalman filter 8

El proceso iterativo del filtro de Kalman se descompone en dos etapas: (1) la predicción del estado a partir del estado anterior y las ecuaciones dinámicas y (2) la corrección de la predicción usando la observación del estado actual. kalman filter 9

Ecuaciones de prediccion o actualización del estado y de la covarianza del error de predicción. La matriz de covarianza inicial puede ser la matriz identidad. kalman filter 10

La corrección comienza con el cálculo de la ganancia, a continuación realiza la estimación a posteriori y finalmente actualiza la matriz de covarianza a posteriori. kalman filter 11

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Las matrices Q y R son críticas para el funcionamiento del filtro: Si son constantes y están bien estimadas mediante un proceso de identificación, las matrices de covarianza del error a posteriori y a priori convergen rápidamente y son constantes que pueden ser evaluadas off-line de una vez por todas. Si no son constantes, estimar on-line para tener resultados aceptables, es un problema no trivial. kalman filter 13

Filtro extendido La dinámica del sistema es no-lineal. Se convierte al caso lineal realizando la linealización que da la descomposición en serie de Taylor. El proceso está gobernado por la ecuación estocástica no-lineal La observación es también una función general que puede ser no-lineal: kalman filter 14

Variables aleatorias con ddp normal de media cero que modelan el ruido del proceso y de la observación, resp. Dado que el ruido es desconocido se sustituye por cero en las ecuaciones: Es importante notar que la distribución de los estados y los observables ya no es normal tras la transformación no-lineal correspondiente. kalman filter 15

Ecuaciones y esquema de cálculo del EKF: Estado y observación actual. Aproximaciones a priori del estado y la observación. Estimación a posteriori del estado. V. a de ruido del proceso y la observación kalman filter 16

Jacobiano de la función dinámica no lineal respecto del estado del proceso. Jacobiano de la función dinámica respecto del ruido del proceso. Jacobiano de la función de observación respecto del estado del proceso. Jacobiano de la función de observación respecto del ruido de observación. kalman filter 17

Errores de predicción. Residual de la observación Es posible dar las ecuaciones para un proceso que describe la evolución de los errores de predicción y observación. Nuevas v. a. de ruido con ddp normal de media cero y matrices de covarianza: Este proceso, similar al filtro de Kalman permite obtener estimaciones del error de predicción: kalman filter 18

La estimación del error de predicción permite calcular la estimación a posteriori del estado: Las nuevas variables aleatorias tienen distribuciones normales: Dadas estas distribuciones podemos considerar que el valor de la predicción del error de predicción es cero, de donde: Por sustitución obtenemos la expresión de la predicción que no precisa del filtro de Kalman hipotético definido sobre el error de predicción: kalman filter 19

Ecuaciones de predicción del estado a priori y de la covarianza de la predicción: kalman filter 20

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Ejemplo: una constante con ruido Time update eq. Correction eq. kalman filter 23

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Evolución de la covarianza en el proceso de estimación kalman filter 25

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El objetivo es determinar si un lanzamiento es strike o no, y mostrar la trayectoria de la bola desde varios angulos. kalman filter 28

Tracking de la bola en los lanzamientos. La segmentación basada en el color es muy deficiente: kalman filter 29

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Para determinar la trayectoria 3 D se usa un filtro de Kalman en 3 D y las correspondencias entre dos cámaras que están calibradas mediante la realimentación de las posiciones de los servos de pan, tilt y zoom. kalman filter 31