commande optimale critre quadratique et filtrage de kalman

commande optimale (critère quadratique) et filtrage de kalman Joël Le Roux, EPU, Université de Nice ; leroux@polytech. unice. fr Des équations similaires parce qu’on minimise un critère quadratique D u(t) Commande (entrée) B + C x(t+1) A état x(t) x(t+1)=A. x(t)+B. u(t) z-1 + y(t) sortie (mesure) mémoire (retard) commande optimale : un système est dans un état initial connu ; comment l’amener à un état final donné en un nombre fini d’étapes et en minimisant un critère quadratique Justification fondée sur le principe de Bellman et une écriture récursive de la solution du problème de commande optimale

formalisation du critère 1 Le critère qu’on cherche à minimiser e! r u rit c é l’ z e ot n il fait intervenir les états et les commandes ; les matrices Q et R sont connues et définies positives

formalisation du critère 2 Le critère qu’on cherche à minimiser il fait intervenir les états et les commandes ; les matrices Q et R sont connues et définies positives

formalisation du critère 3 Le critère qu’on cherche à minimiser il fait intervenir les états et les commandes ; les matrices Q et R sont connues et définies positives

formalisation du critère 4 qu’on cherche à mettre sous la forme dans le cas scalaire

formalisation du critère 5 qu’on cherche à mettre sous la forme pour que les expressions soient identiques, il faut que

minimisation du critère 1 Factorisation en racines carrées (triangulaires) le critère est minimum quand le dernier terme est nul

minimisation du critère 2 evaluation du critère quand le minimum est atteint

minimisation du critère 3 evaluation du critère quand le minimum est atteint

minimisation du critère 4 evaluation du critère quand le minimum est atteint

expression finale des calculs de commande optimale Equations correspondantes du filtre de Kalman

Illustration par une simulation (mathcad) Cas élémentaire état initial état final voulu minimiser pénalisation si l’état final n’est pas

calcul récursif de la matrice P traduit la pénalisation si l’état final n’est pas

calcul itératif de la commande

évolution de la position et de la vitesse en fonction de la commande

évolution en fonction du temps iteration