Interpolacja Cel interpolacji Znalezienie funkcji odpowiedniej klasy przechodzcej

Interpolacja Cel interpolacji Znalezienie funkcji odpowiedniej klasy przechodzącej przez dany zestaw punktów (węzłów) w przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej. Rodzaje interpolacji: • Interpolacja wielomianami • Interpolacja funkcjami wymiernymi • Interpolacja funkcjami trygonometrycznymi • Interpolacja funkcjami sklejanymi

Zastosowania interpolacji • Szacowanie określonych wielkości w punktach pośrednich. • Prowadzenie gładkich krzywych lub powierzchni przez punkty pomiarowe lub z symulacji (funkcje sklejane). • Algorytmy numeryczne, np. : – Znajdowanie miejsc zerowych funkcji – Uzbieżnianie procesów iteracyjnych (np. SCF) – Różniczkowanie i całkowanie numeryczne.

Zagadnienie interopolacyjne W przedziale [a, b] dane są węzły x 0=a; x 1, x 2, . . . , xn=b takie że f(x 0)=y 0, f(x 1)=y 1, f(x 2)=y 2, . . . , f(xn)=yn Należy znaleźć funkcję interpolującą F która w węzłach przyjmuje takie same wartości jak f. f(x 2) y f(xk) f(xn) f(x 1) f(x 0) x 0 x 1 x 2 xk xn x

Wzór interpolacyjny Lagrange’a

Fk(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej n Zatem

Schemat Aitkena interpolacji wielomianowej Lagrange’a

Kolejność obliczania wielomianów w schemacie Aitkena

Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Uwaga! Wyższy stopień wielomianu interpolacyjnego (więcej węzłów) wcale nie musi oznaczać poprawy jakości interpolacji. Przykładem negatywnym jest interpolowanie funkcji y=|x| lub y=1/(1+ax 2). Wręcz przeciwnie: im niższy stopień wielomianu tym bezpieczniej.

Wzór interpolacyjny Newtona Ilorazy różnicowe

Schemat obliczania ilorazów różnicowych

Przypadek węzłów równoodległych x 1 -x 0=x 2 -x 1=. . =xn-xn-1=h Definiujemy różnice progresywne funkcji rzędu 1, 2, . . . , n

Wzór interpolacyjny Newtona dla węzłów równoodległych

Interpolacja funkcjami wymiernymi

Definiujemy odwrotne ilorazy różnicowe Wtedy wymierną funkcję interpolacyjną można przedstawić w postaci następującego ułamka ciągłego

Ułamek ciągły można zwinąć do ilorazu wielomianów wyliczając Pk(x) i Qj(x) w następujący sposób

Interpolacja funkcjami sklejanymi y (x 2, y 2) (x 1, y 1) a=x 0 (xn, yn) P 2(x) P 1(x) (x 0, y 0) (xn-1, yn-1) Pn-1(x) P 0(x) x 1 x 2 xn-1 xn=b x

Funkcje sklejane stopnia trzeciego 1. S jest klasy C 2 w [a, b] 2. S jest wielomianem trzeciego stopnia w każdym podprzedziale [xi, xi+1], i=0, 1, . . . , n-1 3. S interpoluje f, tj. S(xi)=yi, i=0, 1, . . . , n-1 4. Dla x<a i x>b S jest reprezentowana przez styczną do S w punktach odpowiednio x=a i x=b (czyli druga pochodna poza przedziałem interpolacji znika); są to tzw. naturalne funkcje sklejane.

Ogólna postać funkcji sklejanych stopnia trzeciego Warunki wynikające z 1. -3.

Algorytm znajdowania funkcji sklejanych stopnia trzeciego