O czym bdziemy mwili 1 2 3 4
O czym będziemy mówili: 1. 2. 3. 4. 5. O granicy ciągu liczbowego (przypomnienie z klasy II) O granicy funkcji O graficznej interpretacji granicy funkcji O asymptotach wykresów funkcji O metodach obliczania granic funkcji Co powinieneś rozumieć: • Co to jest granica funkcji Co powinieneś umieć: • Obliczać granice funkcji
Weźmy pod uwagę prostą (oś liczbową) na której zaznaczono punkt a i dowolną liczbę E>0 DEFINICJA Przedział otwarty (a-E, a+E) nazywamy otoczeniem punktu a. a-E a a+E
Zwrot: „prawie wszystkie wyrazy ciągu” odnosi się do ciągów nieskończonych i oznacza tyle, co wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem (oprócz) skończonej ich liczby. DEFINICJA Mówimy, że liczba a jest granicą ciągu, jeśli do dowolnego otoczenia liczby a należą prawie wszystkie wyrazy ciągu. Piszemy: lim - limes granica (łac. ) Ciąg, który ma granicę nazywamy zbieżnym.
Granica ciągu - youtube Granica ciągu – www. gumienny. edu. pl Granica ciągu – www. medianauka. pl Granica ciągu
Weźmy dowolną funkcję f(x) i ustalmy punkt x 0
Weźmy dowolną ciąg argumentów (z dziedziny funkcji) {xn} zbieżny do punkt x 0 o wyrazach różnych od x 0. . . x 3 x 2 x 1 {xn} -> x 0
Ciągowi argumentów {xn} odpowiada pewien ciąg wartości {f(xn)} f(x 1) f(x 2) {f(xn)} -> g f(x 3). . g Jeżeli ten ciąg wartości dąży do g to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 granicę równą g.
Definicja (Heinego) Mówimy, że funkcja f : D->R ma w punkcie x 0 granicę równą g, jeśli dla dowolnego ciągu argumentów {xn} (o wyrazach należących do dziedziny i różnych od x 0) zbieżnego do x 0, ciąg wartości {f(xn)} jest zbieżny do g. Piszemy Dla granicy funkcji obowiązują twierdzenia analogiczne jak dla granicy ciągu.
Granicę funkcji intuicyjnie i graficznie możemy rozumieć, jako punkt na wykresie (dokładnie wartość na osi Y) do którego „dojdziemy poruszając się po wykresie w kierunku punktu x 0”. g x 0
Jeśli ciąg {xn} spełnia warunek xn > x 0 to, granicę g nazywamy prawostronną Jeśli ciąg {xn} spełnia warunek xn < x 0 to, granicę g nazywamy lewostronną Funkcja ma punkcie x 0 granicę wtedy i tylko wtedy, gdy granice lewo- i prawostronna w tym punkcie są równe !!!.
Jeśli granicą jest „nieskończoność”, to mówimy, że funkcja ma granicę niewłaściwą w punkcie x 0. Asymtota pionowa
Analogicznie określamy granicę funkcji w nieskończoności Asymtota pozioma
Granica funkcji – lekcja video EN Granica funkcji – google PL Granica funkcji – www. medianauka. pl Granica funkcji
Proszę narysować wykres funkcji, który: 1. Ma granicę w punkcie równą wartości funkcji 2. Ma granicę w punkcie, ale nie ma w tym punkcie wartości (punkt spoza dziedziny) 3. Ma granicę różną od wartości w punkcie 4. Ma wartość w punkcie, ma granice jednostronne, ale nie ma granicy 5. Ma granice jednostronne, nie ma granicy i nie ma wartości w punkcie 6. Ma granice jednostronne niewłaściwe 7. Ma granicę lewostronna niewłaściwą, a prawostronną właściwą 8. Ma dwie różne asymptoty pionowe i dwie różne poziome
1. Jeśli jest to możliwe, to wstawiamy punkt do wzoru i obliczamy granicę (wartość funkcji = granica funkcji)
2. Jeśli nie jest możliwe wstawienie punktu do wzoru, to przekształcamy wzór funkcji (granice z symbolami nieoznaczonymi typu )
3. Jeśli nie jest możliwe wstawienie punktu do wzoru, to przekształcamy wzór funkcji (analogicznie do usuwania niewymierności)
4. Granice funkcji w nieskończoności liczymy tak samo jak granicę ciągu
5. Granicę niewłaściwą funkcji wyznaczamy przez „szacowanie”
Dziękuję.
- Slides: 21