Sanok DALEJ Spis treci Pojcie funkcji Sposoby przedstawiania

Sanok DALEJ

Spis treści Pojęcie funkcji Sposoby przedstawiania funkcji Miejsce zerowe Monotoniczność funkcji Funkcja liniowa Wyznaczanie funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane punkty Proporcjonalność prosta Przykłady funkcji nieliniowych – proporcjonalność odwrotna, - funkcja kwadratowa, - moduł liczby Zastosowanie funkcji w życiu Wykonanie WSTECZ DALEJ

Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy taką zależność, która każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji lub zbiorem argumentów funkcji. Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji. X Y A 1 B 2 C D WSTECZ 3 4 5 DALEJ

Funkcje można przedstawić na kilka sposobów: słownie, np. Każdej liczbie ze zbioru X przyporządkujemy liczbę do niej przeciwną X = { -2, -1, 0, 1, 2} – dziedzina Y = { -2, -1, 0, 1, 2} – zbiór wartości Wzorem, np. f: x -x lub f(x) =-x lub y =-x Df = {-2, -1, 0, 1, 2} Wtedy: f (-2) = 2, f (-1) = 1, f (0) = 0, f (1) = -1, f (2) = -2 w postaci tabelki, np. x -2 y WSTECZ 2 -1 0 1 1 0 -1 2 -2 DALEJ

w postaci grafu, np. X Y -2 -1 0 1 2 2 1 0 -1 -2 y w postaci wykresu, np. 1 0 WSTECZ x 1 DALEJ

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument x, dla którego wartość funkcji wynosi 0. W miejscach zerowych wykres funkcji dotyka lub przecina oś x. Miejsce zerowe można odczytać z rysunku albo je obliczyć. PRZYKŁADY: y I. Miejsce zerowe x = 1 x 0 1 1 II. Obliczanie miejsca zerowego dla funkcji y = 2 x + 4 Znając definicję miejsca zerowego, wstawiamy 0 zamiast y. 0 = 2 x + 4 | -4 -4 = 2 x | : 2 -2 = x WSTECZ DALEJ

y Funkcja jest rosnąca wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów wzrastają wartości funkcji, (dla funkcji postaci y = ax + b a > 0). 0 1 x 1 Funkcja jest malejąca wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji, (dla funkcji postaci y = ax + b a < 0) y 0 1 x 1 Funkcja stała to taka funkcja, która dla każdego argumentu x w danym zbiorze ma stałą wartość, (dla funkcji postaci y = ax + b a = 0) WSTECZ y 0 1 x 1 DALEJ

Funkcja liniowa to funkcja, której wykresem jest linia prosta, a dziedziną rzeczywistych. Funkcja liniowa może być opisana za pomocą wzoru: gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. y = ax + b , zbiór liczb Współczynnik a to współczynnik kierunkowy prostej, natomiast b - wyraz wolny. y Mamy dwa przypadki funkcji liniowej: a) gdy a = 0 - funkcja liniowa ma postać y = ax + b, x np. y = 2 x + (-2) b) gdy a = 0 - funkcja liniowa ma postać y = b. 0 1 1 Y = -2 Y = 2 x + (- 2) np. Y = -2 WSTECZ DALEJ

y Wykresy funkcji liniowych y = ax + b, mających ten sam współczynnik kierunkowy a i różne współczynniki b, są prostymi równoległymi. 1 0 x 1 y Wykresy funkcji liniowych y = ax + b, mających różne współczynniki a oraz takie same współczynniki b, są prostymi przecinającymi się w jednym punkcie (0, b). WSTECZ b 0 x 1 DALEJ

WYZNACZANIE FUNKCJI LINIOWEJ PRZECHODZĄCEJ PRZEZ DANE PUNKTY Aby wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane punkty (1, 3) oraz (-2, 4), podstawiamy współrzędne tych punktów w miejsce x i y do wzoru y = ax + b. Otrzymujemy układ równań o niewiadomych a i b. y 3=a. 1+b a = -1/3 4 = -2 a + b b = 3 1/3 1 1 x 0 Zatem wzór szukanej funkcji ma postać y = -1/3 x + 3 1/3. WSTECZ DALEJ

PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Jeżeli we wzorze określającym funkcję liniową y = ax + b mamy a = 0 oraz b = 0, to wzór ten opisuje proporcjonalność prosta y = ax. W takim wypadku wielkości x i y nazywane są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Liczbę a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności prostej. Wykresem proporcjonalności prostej jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych. y 1 0 x 1 WSTECZ DALEJ

PRZYKŁADY FUNKCJI NIELINIOWYCH y PROPORCJONALNOŚĆ ODWROTNA Funkcja y = a/x , a = 0 i x = 0, nazywana jest proporcjonalnością odwrotną. Mówimy, że wielkości x, y są odwrotnie proporcjonalne, jeśli spełniają warunek x. y = a. Wykresy tej funkcji nazywamy hiperbolą. WSTECZ 1 0 x 1 DALEJ

FUNKCJA KWADRATOWA Funkcje postaci : y = x 2 , y = x 2 – 1 , y = 3 x 2 + 4 są przykładami funkcji kwadratowych. Wykresy tych funkcji nazywamy parabolami. Dziedziną funkcji kwadratowych jest zbiór liczb rzeczywistych. Przykład : Wykres funkcji y = x 2 1 0 WSTECZ 1 DALEJ

MODUŁ LICZBY Moduł liczby lub wartość bezwzględna liczby to jej odległość na osi liczbowej od zera. Moduł liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Jeśli każdej liczbie rzeczywistej przyporządkujemy jej moduł, to otrzymujemy funkcję. Opisujemy ją wzorem y = |x| (czytamy moduł x) = |x | Przykład : Y Funkcja y = |x| jest funkcją : Malejącą dla x < 0 Rosnącą dla x > 0 Miejscem zerowym funkcji jest x = 0. WSTECZ 1 0 1 DALEJ

ZASTOSOWANIE FUNKCJI W ŻYCIU CODZIENNYM FUNKCJE WYKORZYSTYWANE SĄ W WIELU DZIEDZINACH ŻYCIA, np. W badaniach statystycznych – kursy walut, W balistyce – zapisywanie toru lotu pocisku, Aby policzyć z jaką maksymalną prędkością może jechać samochód żeby nie wypaść z zakrętu, Aby wyznaczyć efektywne dawki leków. WSTECZ DALEJ

Dziękujemy za obejrzenie pokazu!!! Zapraszamy na stronę www. gimnazjum 2. sanok. prox. pl WSTECZ SPIS TREŚCI