FIZYKA dla Wydziau Poligrafii Wykad 15 Opracowywanie wynikw

FIZYKA dla Wydziału Poligrafii Wykład 15 Opracowywanie wyników pomiarów laboratoryjnych

Pochodna funkcji y = f(x) określona jest jako granica stosunku przyrostu wartości funkcji y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej x, gdy przyrost x dąży do zera. Oznaczenie pochodnej:

Pochodna Geometryczna interpretacja pochodnej. Wartość pochodnej funkcji w danym punkcie, równa jest tangensowi kąta pomiędzy osią X, a styczną do krzywej w punkcie o współrzędnych (x, y). Kąt ten liczy się od dodatniej półosi X w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówek zegara.

Pochodna Różniczka dx zmiennej niezależnej x - to przyrost tej funkcji tj. dx = x. (Przyrost ten może mieć dowolną wartość dodatnią lub ujemną). Różniczka dy funkcji y = f(x) w danym punkcie - to iloczyn pochodnej f’(x) pomnożonej przez różniczkę dx zmiennej niezależnej

Pochodna cząstkowa Funkcja wielu zmiennych: Pochodna cząstkowa funkcji względem jednej ze zmiennych xi: Pozostałe zmienne traktowane tu jako stałe.

Pochodne funkcji elementarnych Funkcja stała: Funkcja potęgowa:

Pochodne funkcji elementarnych Funkcja logarytmiczna: Funkcja wykładnicza: Funkcje trygonometryczne:

Reguły różniczkowania Pochodna algebraicznej sumy funkcji równa jest algebraicznej sumie pochodnych tych funkcji liczonych dla każdej funkcji oddzielnie: Przykład:

Reguły różniczkowania Pochodna iloczynu funkcji równa jest takiej sumie iloczynów, że w każdym jej składniku jeden z czynników zastępowany jest swą pochodną. Dla iloczynu dwóch funkcji mamy: Przykład:

Reguły różniczkowania Stały czynnik ( c ) można wynieść przed znak pochodnej: Przykład:

Reguły różniczkowania Pochodna ilorazu funkcji: Przykład:

Reguły różniczkowania Pochodna funkcji złożonej: y = f(u), a u = g(x) Przykład:

Pomiar i wynik pomiaru Uzyskana w rezultacie wykonanego pomiaru wartość liczbowa nie jest nigdy wyznaczona bezwzględnie precyzyjnie. Dlatego wynik pomiaru musi zawsze zawierać informację określającą jego dokładność. Przykłady:

Niepewności pomiarowe • Błędy grube • Niepewności systematyczne • Niepewności przypadkowe

Niepewności systematyczne Dokładność przyrządu pomiarowego + niepewność odczytu Mierzymy kilka wielkości: x 1, x 2, …xn Chcemy obliczyć inną wielkość y, która jest ich funkcją: y = f(x 1, x 2, . . . xn). Jaka jest niepewność pomiarowa y? Metoda różniczki zupełnej

Niepewności systematyczne W celu wyznaczenia objętości lub pola powierzchni walca mierzymy jego średnicę d oraz długość h. Mamy wtedy przyporządkowanie: y - objętość lub pole powierzchni (których nie mierzymy bezpośrednio) oraz x 1 - średnica walca , d, x 2 - długość walca, h.

Niepewności systematyczne

Niepewności systematyczne Przyjmijmy na początek, że średnica walca wynosi d = 20 mm oraz, jego długość równa jest 10 mm i że pomiary wykonano suwmiarką z dokładnością 0, 1 mm. Otrzymujemy: Objętość walca: Niepewność względna objętości:

Niepewności systematyczne Przyjmijmy teraz, że średnica walca pozostaje bez zmian, d = 20 mm, a długość jest dziesięciokrotnie większa i wynosi h = 100 mm. W tym przypadku otrzymujemy Objętość walca: Niepewność względna objętości:

Metoda różniczki logarytmicznej

Metoda różniczki logarytmtmicznej Gdy średnica walca wynosi d=20 mm oraz, jego długość równa jest 10 mm: gdy d=20 mm oraz h=100 mm otrzymujemy:

Zapis wyników pomiarów Wartości niepewności pomiarowych podajemy z dokładnością nie większą niż dwóch cyfr znaczących, zaś samą zmierzoną wartość zaokrąglamy do tylu cyfr znaczących ile wynika z zapisanej wartości niepewności. W wyniku pomiarów i obliczeń otrzymaliśmy liczby: Zapisujemy wynik pomiaru: Na ogół przyjmuje się regułę, że wynik pomiaru zaokrąglamy "w dół", jeśli następna cyfra jest mniejsza niż 5, w przeciwnym przypadku, zaokrąglamy "w górę". Wartość niepewności pomiarowej zaokrąglamy zwykle "w górę".