Informcielmlet Nagy Szilvia 9 Ciklikus kdols 2005 Szchenyi

Információelmélet Nagy Szilvia 9. Ciklikus kódolás 2005.

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Ciklikus eltolás Ciklikus kódok Definíció Polinomok Egy c=( c 0, c 1, …, cn− 2, cn− 1 ) vektor ciklikus eltoltján az Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás vektort értjük. Egy K kód ciklikus, ha minden c K-ra Sc K: minden kódszó ciklikus eltoltja is kódszó. A ciklikus kódok nem feltétlenül lineárisak: Ha például K={0 0 0, 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1}, a kód ciklikus, de a második és harmadik kódszó összege már nem kódszó, így K nem lineáris tér, a kód nem lineáris kód. 2

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás – Véges testek feletti polinomokról Legyen p 0, p 1, p 2, …, pm GF(N), t GF(N), ekkor a kifejezés a GF(N) véges számtest feletti medfokú polinom. A polinom fokszámára a jelölést használjuk. Egy p(t) polinom akkor és csak akkor egyenlő egy p’(t) polinommal, ha minden együtthatójuk azonos, azaz ha pi = p’i i-re. 3

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel – Véges testek feletti polinomokról Legyen p( t ) és q( t ) a GF(N) véges számtest feletti polinomok, • a két polinom r( t )=p( t )+q( t ) összege az a polinom, amelynek az együtthatói az r i = p i + q i szabály szerint állnak elő minden i-re. Az összeadás természetesen a GF(N)-beli mod N összeadás. Ha deg p( t ) = m, deg q( t ) = n, akkor deg r( t ) ≤ max(m, n). Alkalmazások Szisztematikus generálás 4

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás – Véges testek feletti polinomokról • a két polinom r( t )=p( t ) q( t ) szorzata egy olyan polinom, melynek az együtthatói az formula szerintiek minden i-re. A formula úgy keletkezett, hogy a p( t ) polinom minden tagját összeszorozzuk a q( t ) polinom minden tagjával, s az így kapott kifejezés tagjait fokszámuk szerint csoportosítjuk és összevonjuk. Ha deg p( t ) = m, deg q( t ) = n, akkor deg r( t ) ≤ m+n. 5

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel – Véges testek feletti polinomokról Legyen p( t ) és q( t ) a GF(N) véges szám-test feletti polinomok, deg p( t ) > deg q( t ). Ekkor p( t )-t q( t )-vel a következőképpen kell maradékosan elosztani: 1. Ha deg p( t ) = m és p( t ) m-edfokú tagjának együtthatója pm , ill. deg q( t ) = n és q( t ) n-edfokú tagjának együtthatója qn , szorozzuk meg q( t )-t Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 6

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Véges testek feletti polinomokról Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel – 2. Vonjuk ki az így kapott polinomot p( t )-ből, a maradék s(m− 1)( t ) fokszáma legfeljebb m− 1. 3. Az 1. — 2. lépést ismételjük úgy, hogy az 1. lépésben p( t ) helyére mindig az előző körből származó s(m)( t )-t írjunk. Ha a 2. lépés végén kapott s(m− 1)( t ) maradék fokszáma kisebb, mint q( t ) fokszáma, n, megállunk. A végeredmény: Alkalmazások Szisztematikus generálás 7

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok – Véges testek feletti polinomokról A végeredmény: Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix A számok maradékos osztásának mintájára bevezetjük a Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel jelölést. Alkalmazások Szisztematikus generálás 8

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok – Véges testek feletti polinomokról Legyen p( t )=3 t 4+t 3+4 t 2+5 és q( t )=t+3, osszuk el p-t qval a teljes számegyenes felett: Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 9

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok – Véges testek feletti polinomokról Legyen p( t )=3 t 4+t 3+4 t 2+5 és q( t )=t+3, osszuk el p-t qval a GF(11) véges számtest felett: Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 10

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok – Véges testek feletti polinomokról Legyen p( t )=3 t 4+t 3+4 t 2+5 és q( t )=2 t 2+t+3, osszuk el pt q-val a GF(7) véges számtest felett: Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 11

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás – Véges testek feletti polinomokról A p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom gyökei, vagy zérushelyei azok a t i GF(N) számok, amelyekre Egy polinom gyökeinek a száma nem nagyobb, mint a fokszáma. Ha t i gyöke p( t )-nek, akkor Egy p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom gyöktényezős alakja 12

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás – Véges testek feletti polinomokról Egy p( t ) GF(N) véges számtest feletti polinom irreducíbilis, ha nincsenek olyan q( t ) és r( t ) ugyanazon GF(N) Galois-test feletti polinomok, amelyeknek kisebb a fokszáma, mint p( t )-nek és amelyek teljesítik a feltételt. Megjegyzés: az egységpolinom természetesen minden polinomnak osztója, de ha q(t) vagy r(t) egységelem, akkor a másik a p(t), amelynek nem kisebb a fokszáma, mint p(t)-nek. 13

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel – Véges testek feletti polinomokról Analógia – prímszámok: N prím, ha nincsenek olyan nála kisebb M és K természetes számok, amelyekre N=M K. N prímszám P( t ) irreducíbilis polinom GF(N) véges test GF(P( t )) véges test (GF(NM) véges test) Alkalmazások Szisztematikus generálás 14

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások – Polinom-Galois-testekről Legyen P( t ) egy a GF(N) véges számtest feletti M-edfokú irreducíbilis polinom. Értelmezhető egy GF(P( t )) polinom. Galois-test melynek az elemei legfeljebb M 1 -edfokú polinomok, és az elemek közötti összeadás és szorzás a következőképpen zajlik: • Egy p( t ) és egy q( t ) GF(N) feletti, legfeljebb M 1 -edfokú polinomok összege az az r( t ) szintén GF(N) feletti, legfeljebb M 1 -edfokú polinom, amelyre Szisztematikus generálás 15

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel – Polinom-Galois-testekről Legyen P( t ) egy a GF(N) véges számtest feletti M-edfokú irreducíbilis polinom. Értelmezhető egy GF(P( t )) polinom. Galois-test melynek az elemei legfeljebb M 1 -edfokú polinomok, és az elemek közötti összeadás és szorzás a következőképpen zajlik: • Egy p( t ) és egy q( t ) GF(N) feletti, legfeljebb M 1 -edfokú polinomok szorzata az az r( t ) GF(P( t )) polinom, amelyre Alkalmazások Szisztematikus generálás 16

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel – Polinom-Galois-testekről A GF(P( t )) polinom-Galois-test elemei között ugyanúgy definiálható nullelem és egységelem, mint a véges számtestekben • A nullelem egy olyam polinom, amelynek minden együtthatója 0, azaz olyan z( t )=z 0 + z 1 t +z 2 t 2+…+z M 1 t M 1, amelyre z i=0 minden i-re. Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 17

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Matematikai kitérő Egyetem Polinom-Galois-testekről Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel – • Az egységelem egy olyam polinom, amelynek az első (nulladfokú) együtthatója 1, a többi együtthatója 0, azaz olyan e( t )=e 0 + e 1 t +e 2 t 2+…+e M 1 t M 1, amelyre e 0=1, és e i=0 minden i ≥ 1 -re. A szorzó- és összeadótábla a számtestekkel analóg módon elkészíthető és belőlük az ellentett- és inverz polinompárok leolvashatók. Alkalmazások Szisztematikus generálás 18

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Ciklikus kódok – ciklikus Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel eltolás Egy c=( c 0, c 1, …, cn− 2, cn− 1 ) vektor ciklikus eltoltján az vektort értjük. Egy K kód ciklikus, ha minden c K-ra Sc K: minden kódszó ciklikus eltoltja is kódszó. Rendeljünk az egyes kódszavakhoz polinomokat a következő szabály szerint. Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Ebben a reprezentációban a ciklikus eltolás t-vel 19 való modulo (t n 1) szorzás.

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Ciklikus kódok – ciklikus Ciklikus kódok eltolás Ciklikus eltolás: Definíció Polinomok Polinomvéges testek t-vel való szorzás: Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A c’( t ) polinom fokszáma n 1, kisebb, mint t n 1 fokszáma, így c”( t )-nek csak a második tagját lehet elosztani ( t n 1)-nel, a maradéka pedig 0, így a ciklikus eltolás polinom reprezentációban valóban t-vel való modulo ( t n 1) szorzásnak felel meg. 20

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomos reprezentációban egy lineáris ciklikus kódszavai között van egy minimális fokszámú, de nem nulladrendű, amelynek a legmagasabb fokú kitaevője 1. Ez a polinom a kód generátorpolinomja, fokszáma n k. A generátorpolinom jele g( t ) Egy c i ( t ) polinom akkor és csak akkor kódszópolinom, ha a g( t ) maradék nélküli osztója c i ( t )-nek, így Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 21

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Egy c i ( t ) polinom akkor és csak akkor kódszópolinom, ha a g( t ) maradék nélküli osztója c i ( t )-nek, így Tehát minden kódszó ebből a generátorpolinomból áll elő ciklikus eltolással (t-vel való mod t n 1 szorzással), illetve a ciklikus eltoltak lineáris kombinációjaként. Emlékeztető: a vektoros tárgyalásnál volt, most is a i ( t ) a fenti vektornak megfeleltetett polinom. 22

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Generátormátrix Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek A generátormátrix előáll a generátorpolinom együtthatóiból, minden sora a generátorpolinom egy-egy ciklikus eltoltja: Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás k db nulla A generátormátrix polinom-megfelelője után megkeressük a paritásellenőrző mátrix polinom párját. 23

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek A generátorpolinom mindig osztója t n 1 -nek. Bizonyítás: a generátorpolinom n−k-adfokú: k− 1 -edik és k-adik ciklikus eltoltja: Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel illetve a k-adik: Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 24

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Generátorpolinom Ciklikus kódok illetve a k-adik eltolt Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix amely kifejezhető a k− 1 -edik ciklikus eltolttal: Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Mivel ciklikus kód, minden kódszó minden ciklikus eltoltja is kódszó, a generátorpolinom k− 1 -edik és k-adik ciklikus eltoltja is kódszópolinom. 25

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Generátorpolinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Mivel ciklikus kód, minden kódszó minden ciklikus eltoltja is kódszó, a generátorpolinom k− 1 -edik és k-adik ciklikus eltoltja is kódszópolinom. A kódszópolinomoknak osztója g(t), így g’( t )-nek és g’’( t )-nek is osztója, így az első tagnak, (t n − 1)-nek is osztója g(t). A (t n − 1)-nek minden irreducíbilis osztópolinomja egy-egy ciklikus kód generátorpolinomja. 26

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció A g( t ) generátorpolinomú ciklikus kódok paritásellenőrző polinomja Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom Ezzel a polinommal megszorozva minden érvényes kódszó 0 -t ad (moduló t n − 1), mivel a kódszavak felírhatók Polinomszorzás áramkörökkel alakban, a generátor- és paritásellenőrző polinom szorzata pedig Polinomosztás áramkörökkel így Alkalmazások Szisztematikus generálás 27

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok A szabványokban a ciklikus kódokat generátorpolinomukkal vagy paritásellenőrző polinomukkal szokták megadni. Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 28

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Példa: Legyen n=7, N=2 (azaz bináris kód), a Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom 1. polinom osztópolinomjai: a t 1 minden t n 1 alakú polinom osztója: és bináris esetben a maradék mindig ilyen alakú lesz Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 29

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A második tényező nem osztható t -vel, t +1 -gyel, t 2 + t +1 -gyel (a t 2 +1 a t +1 négyzete, a t 2 + t pedig a t-vel vett szorzata, nem irreducíbilisek), így a harmadfokú polinomok között érdemes keresgélni irreducíbilis osztót a második tényezőhöz. (Negyedfokú osztóval nem kell foglalkozni, mert annak a párja másodfokú lenne ahhoz, hogy a hatodfokú polinomot megkapjuk. ) 30

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok A t 3 + t 2 + t +1 nem osztó, próbáljuk a t 3 + t 2 +1 -et: Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 2. Ez a két harmadfokú polinom irreducíbilis, sem t +1, sem pedig t 2 + t +1 nem osztójuk, más bináris, háromnál kisebb fokú irreducíbilis polinom pedig nincs. 31

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Példa: Legyen n=7, N=2 Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom Legyen ezek közül a generátorpolinomunk a t 3 + t 2 + 1 harmadfokú polinom. Ekkor 3 a paritásszegmens hossza, 7 3=4 az üzenetszegmens hossza. A generátormátrix: Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 32

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Példa: Legyen n=7, N=2 a generátorpolinom pedig: Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Legyen a 4 hosszúságú kódolandó üzenetünk b=(1 0 1 0). A generátormátrixszal vett szorzata, azaz a hozzá rendelt kódszó: Paritásellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 33

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Példa: Legyen n=7, N=2 a generátorpolinom pedig: Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom Legyen a 4 hosszúságú kódolandó üzenetünk b=(1 0 1 0). Az üzenethez rendelt b(t) polinom: b( t ) = t 2 +1. A kapott kódszópolinom: Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Ebből a kapott kódszó: 1 0 0 1 1 1 0 Alkalmazások Szisztematikus generálás A két módszer azonos eredményre vezet. 34

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció A kapott kódszó: 1 0 0 1 1 1 0. A paritásellenőrző polinom Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom A kódszó szindrómája valóban nulla: Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 35

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Paritásellenőrző polinom Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritásellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A nem nulla szindrómájú vektorokat táblázat alapján szokták javítani a legkisebb súlyú, velük azonos szindrómát adó hibapolinomokkal. A táblázat a következőképpen épül fel: • Meghatározzák az összes lehetséges hibapolinom szindrómáját • Csoportosítják az azonos szindrómájú hibamintázatokat (mellékosztályok). • Kiválasztják közülük a minimális súlyút, ezt a szindrómák szerint táblázatba foglalják. • Az adott szindróma esetén mindig a szindróma hibamintázatai közül a minimális súlyúval javítanak. 36

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Egy tetszőleges q( t ) Q-adfokú polinomnak egy adott p( t ) P-edfokú polinommal vett szorzata, s( t )= p( t ) q( t ) előállítható a következő léptetőregiszteres áramkörrel: Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 37

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2 t +3 , p(t)=5 t 4 +2 t 3 +3 t +1 : Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Kiinduláskor minden tároló üres, majd a bementre rábocsátjuk a q( t ) polinom együtthatóit, a nulladfokútól kezdve fokszám szerint növekvő sorrenden 38

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2 t +3 , p(t)=5 t 4 +2 t 3 +3 t +1 : Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások s( t ) nulladfokú együtthatója 3 Szisztematikus generálás 39

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2 t +3 , p(t)=5 t 4 +2 t 3 +3 t +1 : Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) elsőfokú együtthatója 11: 2 t ∙ 1+3 ∙ 3 t tagokból is 11 t jön ki 40

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2 t +3 , p(t)=5 t 4 +2 t 3 +3 t +1 : Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) másodfokú együtthatója 7: t 2 ∙ 1+2 t ∙ 3 t tagokból is 7 t 2 jön ki 41

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2 t +3 , p(t)=5 t 4 +2 t 3 +3 t +1 : Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) harmadfokú együtthatója 9 : t 2 ∙ 3 t+3 ∙ 2 t 3 tagokból is 9 t 3 jön ki 42

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2 t +3 , p(t)=5 t 4 +2 t 3 +3 t +1 : Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) negyedfokú együtthatója 19: 2 t ∙ 2 t 3 +3 ∙ 5 t 4 tagokból is 19 t 4 jön ki 43

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2 t +3 , p(t)=5 t 4 +2 t 3 +3 t +1 : Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) ötödfokú együtthatója 12 t 2 ∙ 2 t 3 +2 t ∙ 5 t 4 tagokból is 12 t 5 jön ki 44

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomszorzás áramkörökkel: Ciklikus kódok Példa: Legyen q(t)=t 2 + 2 t +3 , p(t)=5 t 4 +2 t 3 +3 t +1 : Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás s( t ) hatodfokú együtthatója 5. Magasabb fokszámú együtthatója nincs, a következő lépésben minden tároló kiürül, a kimeneten nulla van. 45

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Ciklikus kódok – polinomszorzóval Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix A kódszavak generálása áramkörökkel: A generártorpolinom segítségével: a b( t ) tömörített együtthatóiból a következő áramkörrel lehet a kódszópolinom együtthatóit megkapni: Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 46

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Egy tetszőleges s( t ) polinomot egy olyan adott p( t ) P-edfokú polinommal elosztva, melynek a főegyütthatója 1, a hányados és a maradék, az s( t )= p( t ) q( t ) + r( t ) formulát használva elő-állítható a következő visszacsatolt léptetőregiszteres áramkörrel: Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 47

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek A bemenetre s(t) együtthatóit fokszám szerint csökkenő sorrendbe kell beadni, az összes együttható beadása után a tárolókban a maradékpolinom együtthatói lesznek. Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 48

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Megjegyzés: Egy tetszőleges s( t ) polinomot egy olyan adott p( t ) P-edfokú polinommal elosztva, melynek a főegyütthatója p. P , az s( t )= p( t ) q( t ) + r( t ) formulát használva a következő léptetőregiszteres áramkörrel állítható elő: Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A bemenetre s(t) együtthatóit fokszám szerint csök-kenő sorrendben; végül a tárolókban a maradék. 49

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Példa: Legyen s( t )= 3 t 5 + 3 t 4 + t 3 +4 t 2 +2 , p( t )= t 3+2 t 2 + t +3 Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 50

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Példa: Legyen s( t )= 3 t 5 + 3 t 4 + t 3 +4 t 2 +2 , p( t )= t 3+2 t 2 + t +3 Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 51

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Példa: Legyen s( t )= 3 t 5 + 3 t 4 + t 3 +4 t 2 +2 , p( t )= t 3+2 t 2 + t +3 Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 52

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Példa: Legyen s( t )= 3 t 5 + 3 t 4 + t 3 +4 t 2 +2 , p( t )= t 3+2 t 2 + t +3 Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás q( t ) másodfokú együtthatója 3 : 3 t 2 ∙p( t ) = 3 t 5+6 t 4+3 t 3 +9 t 2 levonva s( t )-ből a maradék: s (3) ( t ) = 3 t 4 2 t 3 5 t 2 +2 53

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Példa: Legyen s( t )= 3 t 5 + 3 t 4 + t 3 +4 t 2 +2 , p( t )= t 3+2 t 2 + t +3 Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás q( t ) elsőfokú együtthatója 3 : 3 t ∙p( t ) = 3 t 4 6 t 3 3 t 2 9 t levonva s(4)(t) = 3 t 4 2 t 3 5 t 2 +2 -ből: s (3) ( t ) = 4 t 3 2 t 2 +9 t +2 54

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Egyetem Polinomosztás áramkörökkel: Ciklikus kódok Definíció Példa: Legyen s( t )= 3 t 5 + 3 t 4 + t 3 +4 t 2 +2 , p( t )= t 3+2 t 2 + t +3 Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás ez kerül a regiszterekbe, mint maradék q( t ) nulladfokú együtthatója 4 : 4 ∙p( t ) = 4 t 3+8 t 2 +4 t +12 levonva s (3) ( t ) = 4 t 3 2 t 2 +9 t +2 -ből: s (2) ( t ) = 10 t 2 +5 t 10 55

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Alkalmazások – CRC-kódok Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás A CRC-kódok (Cyclic Redundancy Check) kódokat hibajelzésre szokták használni a következő módokon: Az egyik eljárás szerint a már csatornakódolt üzenet hosszú szakaszait kódolják még egyszer, néhány paritásbitet tartalmazó ciklikus kóddal. Az üzenetszegmens több tízezer hosszúságú is lehet, a paritásszegmens néhány tíz (tipikusan 16 vagy 32) bitből áll. E kódolás célja az olyan hibák jelzése, amikor a vett szimbólumsorozat egy az eredetitől eltérő érvényes kódszó, vagy egy ahhoz nagyon közeli szimbólumsorozat, amelyet a vevő hibásan 56 dekódol.

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Alkalmazások – CRC-kódok Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel A CRC-kódok (Cyclic Redundancy Check) kódokat hibajelzésre szokták használni a következő módokon: Szintén ciklikus kódokat alkalmaznak visszacsatolt zajos csatornákban az ARQ rendszerekben. Ha a szindróma nem megfelelő, akkor a vevő automatikusan az üzenet megismétlését kéri (Automatic Repeat re. Quest, ARQ). Az üzenet megismétlése történhet ugyanazzal a kódolással, vagy más, jobb kóddal. Alkalmazások Szisztematikus generálás 57

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Alkalmazások – CRC-kódok Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Általában a következő 16 bites (bináris!) generátorpolinomokat használják (pl. CCITT; SNC 2653; INTEL 82586 és 8274; Signetics 2652): Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel 32 bites bináris generátorpolinomok közül Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás terjedt el (pl. INTEL 82586). 58

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Alkalmazások – CRC-kódok Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Az első polinomhoz tartozó legrövidebb érvényes kódszóhossz 32767, de ettől eltérő kódszóhossz alkalmazása sem jelent problémát, akkor rövidített ciklikus kódokat kapunk. Egy (n, k ) paraméterű K kód rövidített kódja l <k hosszú üzenetekhez rendel kódszavakat: Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 59

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Alkalmazások – (23, 12) Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Golay-kód A műholdas műsorszórásban a szolgáltatás azonosító-ját egy szisztematikus kóddal védik, melyről utóbb kiderült, hogy ciklikus kód generátorpolinommal. A generátormátrix (az üres helyeken 0 -k vannak): Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 60

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Szisztematikus generálás Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás Megjegyzés: A ciklikus kódok generálhatók szisztematikusan, azaz minden ciklikus kódhoz létezik egy neki megfelelő szisztematikus kód szisztematikus generátormátrixszal. A szisztematikus generátormátrix előáll egy ciklikus kód nem szisztematikus generátormátrixából úgy, hogy végrehajtjuk rajta a Gauss-elimináció lépéseit (balról jobbra, hogy egységmátrixot kapjunk a bal oldalra) Példa: t 3+t 2+1 polinomból előállt mátrix: 61

Széchenyi Információelmélet – Ciklikus kódolás István Szisztematikus generálás Egyetem Ciklikus kódok Definíció Polinomok Polinomvéges testek Generátorpolinom, és -mátrix Adott üzenethez természetesen a két kód esetén más és más kódszó fog tartozni, csak a kódszavak halmaza lesz azonos. A szisztematikusan generált ciklikus kódok azonban könnyen dekódolhatók. Paritás-ellenőrző polinom Polinomszorzás áramkörökkel Polinomosztás áramkörökkel Alkalmazások Szisztematikus generálás 62