Informcielmlet Nagy Szilvia 7 Lineris blokkkdok 2005 Szchenyi

Információelmélet Nagy Szilvia 7. Lineáris blokk-kódok 2005.

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Lineáris blokk-kódok Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok Blokk-kódok: a tömörített üzenet k hosszúságú blokkjaihoz rendelnek egy-egy n hosszúságú kódszót. (n>k) Lineáris blokk-kódok olyan blokk-kódok, melyekre a kódszavak halmaza lineáris tér: K altere Cn-nek. Ha K lineáris tér (k dimenziós), akkor { g 0, g 1, …, gk 1 } bázisrendszere, és minden ci kódszó kifejthető e bázisrendszerint: 2

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Lineáris blokk-kódok Lineáris blokkkódok Minden ci kódszó kifejthető a bázisrendszerint: Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok Ha a gj-k adottak, akkor a ci-ket jól leírják a kifejtési együtthatóikból álló sorvektorok: A bázisrendszer választása még adott K mellett sem egyértelmű. Más-más bázisrendszerhez más és más együtthatók tartoznak. 3

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Lineáris blokk-kódok Lineáris blokkkódok Definíció Minden K kódra van egy olyan bázisrendszer, amelyben a bi=(bi 0, bi 1, …, bi k− 1) üzenetekhez rendelt kódszó: Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok Példa: legyen a kódszavak K tere az ötdimenziós térnek egy háromdimenziós altere, amelyet a g 0=(1 0 0 1 0) g 1=(0 1 0 0 1) g 2=(0 0 1 1 0) vektorok határoznak meg. Adjuk meg a b=(0 1 1) üzenethez rendelt kódszót. 4

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Lineáris blokk-kódok Lineáris blokkkódok Definíció g 0=(1 0 0 1 0), g 1=(0 1 0 0 1), g 2=(0 0 1 1 0) A b=(0 1 1) üzenethez rendelt kódszó: Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok 5

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Generátormátrix Lineáris blokkkódok Definíció A { g 0, g 1, …, gk 1 } bázisvektorokból az alábbi szabály szerint épített G mátrix a kód generátormátrixa: Generátormátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok Az üzenet együtthatóiból a G mátrix segítségével megkapható a kódszó: 6

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Matematikai kitérő – Mátrixszorzásról Lineáris blokkkódok Egy sorvektor és egy oszlopvektor skaláris szorzata: Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT A mátrixszorzás: legyen az A mátrixnak ugyanannyi oszlopa, mint amennyi sora van B -nek (j+1 db): Mellék-osztályok 7

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Matematikai kitérő – Mátrixszorzásról Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Az A mátrixnak a B-vel vett szorzata: Az A∙B m-edik sorának n-edik eleme az A medik sorvektorának és B n-edik oszlopvektorának a skalárszorzata. Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok 8

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Matematikai kitérő – Mátrixszorzásról Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Ha A sorainak a száma nem azonos B oszlopainak a számával, akkor B∙A nem értelmezett. Ha B∙A értelmezett, többnyire akkor is A∙B≠ B∙A. A mátrixszorzás nem kommutatív – nem felcserélhető. Megjegyzés: diadikus szorzat: a b oszlopvektor és a sorvektor diadikus szorzata egy j × j -s mátrix: Mellék-osztályok 9

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Matematikai kitérő – Mátrixszorzásról Lineáris blokkkódok Egységmátrix: minden A-ra I∙A=A∙I=A Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G a diagonálisban 1 -esek vannak, mindenhol máshol 0 k Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok 10

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Generátormátrix Lineáris blokkkódok A K kód G generátormátrixa: Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok Összesen k darab bázisvektort választottunk (g 0, g 1, …, gk 1 -et), ezek jelölik ki a K alteret a Cn téren belül: G generálja a kódszavak alterét. 11

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Generátormátrix Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok A k darab választott bázisvektor mindegyike n hosszúságú, ugyanakkor egy k-dimenziós teret írnak le (ehhez k komponens is elég lenne): n−k szimbólum felesleges, redundáns. Ezek a szimbólumok nem tartalmaznak új információt, őket használjuk fel arra, hogy a kódszavak Hamming-távolsága nagy legyen, ők teszik lehetővé a hibajelzést és -javítást. Csatornakódolás során az entrópia csökken. 12

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Generátormátrix Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Példa: legyen a kódszavak K tere az ötdimenziós térnek egy háromdimenziós altere, amelyet a g 0=(1 0 0 1 0); g 1=(0 1 0 0 1) és g 2=(0 0 1 1 0) vektorok határoznak meg. Adjuk meg a generátormátrixsszal a b=(0 1 1) üzenethez rendelt kódszót. Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok 13

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Szisztematikus kódok generátormátrixa Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix A szisztematikus kód olyan (n, k) paraméterű kód, amelynek minden kódszavának az első k karaktere megegyezik az üzenettel. Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT üzenetszegmens paritásszegmens A szisztematikus kódok generátormátrixa: Mellék-osztályok 14

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Paritásmátrix, szindróma Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma A csatorna kimenetén kapott v vektorról el kell dönteni, hogy kódszó-e. Ha a v vektor paritásellenőrző HT mátrixszal (paritásmátrixszal) vett szorzata 0, akkor v kódszó, ha nem, akkor v K. A v vektor HT paritásmátrixszal vett szorzata a vektor szindrómája: Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok A kódszavakra tehát: így Ezt használják fel HT előállítására. 15

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Szisztematikus kódok paritásmátrixa Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix A szisztematikus kódok generátormátrixa egyszerű szerkezetű: Paritásmátrixuk szintén egyszerű és a G mátrixból könnyen előállítható: Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok Belátható, hogy P= P’: i-edik sorának jedik eleme: G i-edik sorának első k ele-me Iből származik, így közülük az i-edik elem 1, a többi 0. Ez a szakasz P’ j-edik oszlopával szorzódik, az eredmény P’ij. 16

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Szisztematikus kódok paritásmátrixa Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix A szisztematikus kódok generátormátrixa egyszerű szerkezetű: Paritásmátrixuk szintén egyszerű és a G mátrixból könnyen előállítható: Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellék-osztályok G i-edik sorának utolsó n k eleme a HT egységmátrix-részével szorzódik, ahonnan csak a j-edik elem 1, a többi nulla- az eredmény Pij. A teljes eredmény P’ij + Pij, ami 0, így P’ij = Pij 17

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Hibavektorok és mellékosztályaik Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellékosztályok Legyen a vett v vektorunk ahol Δc a hibavektor. A v szindrómája ekkor ami pont a Δc szindrómája. A Δci hibavektor által a K kódból generált Mi mellékosztály azon vk vektorok halmaza, amelyek a ck K kódszavakból jönnek létre. Az Mi mellékosztály összes elemének a szindrómája azonos: megegyezik Δci szindrómájával. 18

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Hibavektorok és mellékosztályaik Lineáris blokkkódok Definíció A Δci hibavektorok egy része előáll egy másik Δcj hibavektorból egy kódszó hozzáadásával: Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellékosztályok Ezeknek a szindrómája és egyben a mellékosztálya azonos lesz. Mivel a mellékosztályok elemei egy hibavektorból a kódszavak hozzáadásával állnak elő, a mellékosztályok tartalmazzák az összes azonos szindrómájú hibamintázatot. 19

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Hibavektorok és mellékosztályaik Lineáris blokkkódok A mellékosztályok tartalmazzák az összes azonos szindrómájú hibamintázatot. Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellékosztályok 20

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Hibavektorok és mellékosztályaik Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT Mellékosztályok A v vektorok tehát több Δcij-ből is előállnak, más és más cj kódszóból. (Mindig csak egy mellékosztály Δcij-iből! A szindróma azonos. ) El kell dönteni, melyik kódszóba javítsuk őket. Abba a kódszóba javítjuk v-t, amelyiktől a legkisebb a Hammingtávolsága. Egy a=(a 0, a 1, …, an 1) vektor w(a) súlya a nem nulla ai komponenseinek a száma. A legkisebb súlyú Δcij hibamintázat eredményezi az eredeti c vektortól a legkisebb Hamming-távolságbeli eltérést. 21

Széchenyi Információelmélet – Lineáris blokk-kódok István Egyetem Hibavektorok és mellékosztályaik Lineáris blokkkódok Definíció Generátor-mátrix Mátrixszorzás Szisztematikus kódok – G Paritásmátrix, szindróma Szisztematikus kódok – HT A legkisebb súlyú Δcij hibamintázat eredményezi az eredeti c vektortól a legkisebb Hamming-távolságbeli eltérést. A v vektor szindrómájához tartozó mellékosztályból a legkisebb súlyút, Δcij 0 t, vesszük hibavektornak, ezzel javítjuk ki v-t: cbecsült=v Δcij 0 A mellékosztályok legkisebb súlyú elemeit a mellékosztályok vezető elemeinek nevezik. Mellékosztályok 22