Himpunan Himpunan dan Macamnya Himpunan Pengertian Himpunan Konsep

Himpunan

Himpunan dan Macamnya Himpunan Pengertian Himpunan Konsep himpunan ditemukan oleh George Kantor (1918) Himpunan adalah sekumpulan objek-objek yang terdefinisi dengan jelas. Terdefinisi dengan jelas artinya sebarang objek yang diberikan maka selalu dapat ditentukan apakah objek itu termasuk dalam himpunan atau tidak. Himpunan = set=kelompok=keluarga=gugus.

Contoh Himpunan: a. Kumpulan binatang berkaki empat Anggotanya: sapi, kerbau, kucing, anjing, dll Bukan anggota: ayam, laba-laba, bebek b. Kumpulan bilangan Asli kurang dari 10 Anggotanya : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2. Notasi Himpunan Notasi himpunan dg kurung kurawal { } Himpunan diberi nama huruf besar ; A, B, C, D, . . . Huruf kecil untuk menyatakan anggota himpunan, misal a, b, c, x, y, . . .

Anggota himpunan dilambangkan dengan Bukan anggota himpunan dilambangkan dg dibaca x anggota himpunan A dibaca x bukan anggota himpunan A Contoh: A : himpunan warna pelangi, maka A = { Merah, Jingga, Kuning, Hijau, Biru, Nila, Ungu} Merah , Hijau , Kuning Hitam , putih Banyaknya anggota himpunan A ditulis n(A). Pada himpunan di atas n(A) = 7

3. Cara Menyatakan Himpunan a. Tabulasi atau mendaftar A Himpunan bilangan asli kurang dari 8, A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b. Dengan notasi pembentuk Himpunan c. Dengan menyebut syarat keanggotaan Himpunan lima huruf pertama dalam urutan abjad latin Himpunan warna lampu lalu lintas

B. Macam-macam Himpunan 1. Himpunan kosong adalah himpunan yg tidak memiliki anggota, lambangnya : atau { } Contoh: a. Himpunan bilangan cacah kurang dari 0 b. Himpunan mahasiswa Instiper yang umurnya 10 tahun 2. Himpunan Semesta (S) adalah himpunan yg memuat seluruh objek yang dibicarakan Contoh: Himpunan mahasiswa Instiper yang berasal dari Indonesia Timur S = himpunan mahasiswa Instiper

3. Himpunan Hingga (finite set) Adalah himpunan yang banyaknya anggotanya terhingga. Contoh: a. A = Himpunan bilangan asli kurang dari 10 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} banyak anggota 9 , n(A) = 9 himpunan berhingga b. B = Himpunan warna-warna pelangi banyaknya anggota 7 , n(B) = 7 berhingga.

4. Himpunan Tak Hingga (infinite set) Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyaknya anggota tak berhingga. Contoh: B= {x: x bilangan asli lebih dari 10} B = {11, 12, 13, 14, 15, . . . }

Macam-macam Himpunan dan Diagram Venn 1. Himpunan Sama Himpunan A dan B disebut sama jika keduanya memiliki anggota yang persis sama tanpa melihat urutannya. Ditulis A = B. Contoh: A = { 1, 2, 3, 4, 5} , B = { 2, 3, 1, 5, 4} A=B C = { k, l, m, n, o, p}, D = { m, n, p, o, l, k} C = D E ={ 1, 2, 3, 4, 5}, F={a, b, c, d, e}

2. Himpunan Ekuivalen Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika banyaknya anggota himpunan tersebut sama. Ditulis A~B Contoh: A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} B = {p, q, r, s, t, u} n(A) = n(B) Jadi A ~ B

3. Himpunan Bagian Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, ditulis jika setiap anggota A termasuk anggota B. A bukan himpunan bagian dari B, ditulis Contoh: A = { piring, gelas, sendok, mangkok, garpu} B = { piring, sendok, gelas} C = { piring, serbet, tissue} Maka dan

B. Diagram Venn adalah cara untuk menyatakan himpunan dengan gambar. Diagram diperkenalkan pertamakali oleh John Venn ( 18341923) Contoh: S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} A= { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} B = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Jika anggota suatu himpunan sangat banyak, cukup ditulis nama himpunannya saja. Contoh: S= himpunan bilangan Bulat A = himpunan bilangan ganjil B = himpunan bilangan genap S

Kegiatan Belajar 3 Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya Operasi adalah suatu relasi atau hubungan yang berkenaan dengan satu unsur atau lebih sehingga menghasilkan unsur lain yang tunggal Operasi yang dikenakan terhadap satu unsur disebut operasi Uner Misal : operasi akar kuadrat Operasi yang dikenakan terhadap dua unsur disebut operasi biner Misal: operasi tambah (3, 4)-- 3+4 = 7

Pada himpunan terdapat 2 operasi : Uner & Biner 1. Operasi Uner (monar), misalnya 0 perasi komplemen, A’ = komplemen dari A A’ himpunan yang anggotanya bukan anggota A Contoh: S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A={3, 4, 5} A’ ={1, 2, 6, 7, 8}

2. Operasi Biner Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur. Ada 4 macam operasi biner , yaitu: 1. Irisan, 2. Gabungan, 3. Penjumlahan, 4. Pengurangan

B. Operasi Himpunan 1. Operasi Irisan (Interseksi) Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemen nya menjadi anggota himpunan A dan juga menjadi anggota himpunan B. Simbol: =A irisan B atau = A interseksi B

Contoh 1: Bila A={a, b, c, d} dan B={c, d, e} maka Dapat digambarkan melalui diagram Venn: S A a B c b ={c, d}. d Relasi berpotongan e Diperoleh ={c, d}, karena c dan d termasuk dalam anggota himpunan A dan juga himpunan B.

Contoh 2: Bila P={1, 2, 5, 7} dan Q={2, 5, 7} maka Hasilnya dapat digambarkan melalui diagram venn berikut: p Q 2 5 7 1 Diperolehnya , karena 2, 5, 7 termasuk dalam anggota himpunan P dan juga dalam anggota himpunan Q.

Operasi irisan dapat didefinisikan sebagai berikut: Ada dua jenis relasi yang berkenaan dengan operasi irisan yaitu: a) Relasi berpotongan Dua buah himpunan disebut memiliki relasi berpotongan jhj irisannya bukan himpunan kosong. Ditulis dengan notasi. b) Relasi Lepas Dua himpunan disebut memiliki relasi lepas jhj irisannya merupakan himpunan kosong. Ditulis dalam notasi matematika.

Contoh: A={1, 2, 3}, B={0, 2, 4, 5} diperoleh. Diagram venn-nya digambarkan sebagai berikut: S A B 0 1 3 2 4 5 Daerah yang diarsir pada diagram venn tersebut menyatakan.

Contoh: P={1, 3, 5, 7}, Q={0, 2, 4, 6, 8} Diperoleh. Relasinya adalah A // B Diagram venn-nya: S P 5 Karena irisannya yang diarsir. 0 6 1 3 Q 7 2 4 8 maka tidak ada daerah

Contoh: E={2, 3, 5, 7}, F={x| Berarti : Sehingga: Relasinya Diagram venn-nya: , x bilangan asli} S F 1 8 E 2 3 5 7 6

2. Operasi Gabungan dua himpunan adalah himpunan baru yang anggotanya meliputi semua anggota dua himpunan yang digabungkan. = A gabungan B = A union B

Contoh: S={1, 2, 3, . . . , 10}, A={1, 2, 3, 4, 5} dan B={4, 5, 6, 7} maka ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} S A 1 2 3 8 B 4 5 9 6 7 10

Operasi gabungan dapat didefinisikan sebagai berikut: atau Pengertian “atau” dalam definisi di atas bersifat inklusif, yaitu untuk x anggota A saja, x anggota B saja, dan x anggota irisannya ( ).

Contoh: A={1, 2, 3} B={0, 2, 4, 5}, sehingga Diagram venn-nya: B A S 1 4 2 3 0 5 Daerah yang diarsir menyatakan

Contoh: E={2, 3, 5, 7}, F={x| , x bilangan asli} F = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ={x| , x bilangan asli} ={1, 2, 3, . . . , 8} =F S F 1 8 2 E 6 3 5 Daerah yang diarsir menyatakan 7 4

3. Operasi Penjumlahan Operasi penjumlahan dua himpunan didefinisikan sebagai berikut: A+B={x|xєA, xєB, }

Contoh: A={1, 2, 3}, B={0, 2, 4, 5} diperoleh A+B = {0, 1, 3, 4, 5} Diagram venn-nya: S A B 1 4 2 0 3 5 Daerah yang diarsir menyatakan A+B

Contoh: C={1, 3, 5, 7}, D={0, 2, 4, 6, 8} diperoleh C+D={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Diagram venn-nya: C S 3 7 D 1 5 2 0 8 4 6 Daerah yang diarsir menyatakan C+D.

4. Operasi Pengurangan Operasi pengurangan dua buah himpunan diberi notasi (-), yang didefinisikan: Contoh: A={1, 2, 3}, B={0, 2, 4, 5} diperoleh A-B={1, 3} B-A = [0, 4, 5 } Diagram venn-nya: S A B 1 4 2 0 3 5

Contoh: C={1, 3, 5, 7}, D={0, 2, 4, 6, 8} diperoleh C-D={1, 3, 5, 7}=C Diagram venn-nya: C S 3 7 D 1 5 2 0 8 4 6 Jika A dan B dua himpunan yang beririsan, maka berlaku

Aplikasi Himpunan Contoh 1 Dalam suatu kelas siswa. TK terdiri dari 40 siswa, pada saat ditanya tentang kegemarannya, terdapat 23 siswa yang senang tari, 25 siswa senang musik dan 13 siswa senang keduanya. Tentukan berapa siswa yang tidak suka tari maupun musik. Jawab: 13

Banyak siswa semua = 40 Banyak siswa senang Tari = 23 Banyak siswa senang Musik = 25 Banyak siswa yang suka keduanya = 13 Misal banyak siswa yng tidak suka keduanya = x Maka: 40 = (23 + 25 – 13) + x 40 = 35 + x x = 40 -35 x=5

Contoh 2 Dari 48 siswa di suatu kelas, 27 siswa gemar Matematika, 20 siswa gemar Fisika, dan 7 orang gemar Matematika dan Fisika. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar matematika dan Fisika Jawab:

Contoh 3 Hasil pengamatan yang dilakukan terhadap 100 keluarga, menyatakan bahwa ada 55 keluarga yang memiliki sepeda motor dan 35 keluarga yang memiliki mobil. Jika ternyata ada 30 keluarga yang tidak memiliki sepeda motor maupun mobil, tentukan banyaknya keluarga yang memiliki sepeda motor dan mobil. Jawab:

Contoh: Dari 48 siswa yang sedang mengikuti kegiatan olahraga terdapat 23 orang menyukai bola basket dan 26 orang menyukai bola voli. Jika 8 orang menyukai kedua jenis oah raga itu, tentukan banyaknya siswa yang tidak menyukai keduanya. Jawab: