TEORI HIMPUNAN TEORI HIMPUNAN l l l Himpunan

TEORI HIMPUNAN

TEORI HIMPUNAN l l l Himpunan adalah kumpulan obyek Obyek dalam sebuah himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen Penulisan himpunan - Listing Method - Description Method Listing Method A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Description Method (notasi pembentuk himpunan) A = {x | 1 x 6 ; x bilangan bulat}

NOTASI HIMPUNAN �A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} � 1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6 A � = anggota himpunan � = bukan anggota himpunan � 7 A, 8 A, 10 A. �A B, = himpunan bagian �|A| = banyaknya anggota himpunan A, atau n(A) A = {a, b, c, d, e, f} ; |A| = 6;

HIMPUNAN KOSONG l l Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan himpunan kosong ; Dilambangkan dengan atau { } Contoh: A= {} Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap himpunan.

DIAGRAM VENN DAN HIMPUNAN SEMESTA Himpunan semesta: Himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan, disebut juga semesta pembicaraan Contoh: S = semesta hewan A = hewan berkaki empat A = {kambing, sapi, kuda} A S. . kuda ayam. kambing. sapi. bebek

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN Himpunan Bagian Himpunan saling lepas (disjoin) Himpunan saling berpotongan

HIMPUNAN BAGIAN l Definisi himpunan bagian : Jika setiap anggota himpunan A adalah juga anggota himpunan B ; A B l Himpunan A = B jka dan hanya jika A B dan B A l Jika A dan B adalah himpunan, sedemikian rupa sehingga A B tetapi A B, maka A adalah proper subset dari himpunan B; A B contoh: A={1, 2, 3, 4, 5}; B={1, 2, 3}; maka B A

HIMPUNAN SALING LEPAS v x A ≠ v x B (himpunan A tidak memiliki anggota yang sama dengan himpunan B) �Bila A B S

HIMPUNAN SALING BERPOTONGAN x A = x B Ada anggota himpunan A yang juga anggota himpunan B Bila A B S

OPERASI DASAR DALAM HIMPUNAN l Operasi dasar himpunan: - Gabungan (union); A B = {x | x A atau x B} - Irisan (intersection); A B = {x | x A dan x B} - Komplemen (complement); c Ac = {x | x S; x A}

OPERASI DASAR DALAM HIMPUNAN A B = {x x A atau x B atau keduanya} A B = {x x A dan x B} AC = {x x S, x A}

Operasi penjumlahan A + B = (A B) – (A B) = (B-A) (A-B) A B S

ATURAN DAN HUKUM OPERASI HIMPUNAN (GABUNGAN, IRISAN DAN KOMPLEMENTASI) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. A B = B A ; Hukum komutatif bagi gabungan A B = B A ; Hukum komutatif bagi irisan A (B C) = (A B) C ; Hukum asosiatif bagi gabungan A (B C) = (A B) C ; Hukum asosiatif bagi irisan A (B C) = (A B) (A C) ; Hukum distribusi bagi gabungan A (B C) = (A B) (A C) ; Hukum distribusi bagi irisan Sc = S (Ac)c = A A Ac = S A Ac = (A B)c = Ac Bc ; Hukum De Morgan

JUMLAH ANGGOTA DALAM HIMPUNAN BERHINGGA l l l n(A) = Jumlah anggota himpunan A n(B) = Jumlah anggota himpunan B n(C) = Jumlah anggota himpunan C n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) = n(A) + n(B) ; n(A B) = 0 n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A B) - n(A C) -n(B C) + n(A B C)

KARTESIAN PRODUK �B = {a, b, c, d, e} ; A = {1, 2, 3} �A X B = {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (1, e), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (2, e), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d), (3, e)} �Misalkan ada sebuah relasi R = {(1, a), (1, b), (2, d), (2, e), (3, a), (3, b)} �Maka R ⊆ (A X B) �(1, a) ∈ R �(1, c) ∉ R

Inklusi - Eksklusi Dalam suatu survey pada 60 orang didapatkan bahwa 25 orang membaca majalah Newsweek, 26 membaca Fortune, 26 membaca majalah Time. Juga terdapat 9 orang membaca Newsweek dan Fortune, 11 membaca Newsweek dan time, 8 membaca Time dan Fortune, dan 8 tidak membaca majalah satu apapun. a. Tentukan jumlah orang yang membaca ke-3 majalah tersebut. b. Isilah jumlah orang yang tepat pada setiap daerah pada diagram venn c. Tentukan jumlah orang yang membaca satu majalah

Misalkan x = n (N n T n F), jumlah orang yang membaca ketiga majalah tersebut. - Karena 8 orang tidak membaca satu majalah apapun maka: - N(N u T u F) = n(N) + n(T) + n(F) – n(Nn. T) – n(Nn. F) – n(Tn. F) + n(Nn. Tn. F) - sehingga: 52 = 25 + 26 -11 – 9 – 8+x -x=3 Jadi yang membaca ketiga majalah tersebut adalah sebanyak 3 orang a.

b. Didapatkan 3 orang membaca majalah tersebut. - Newsweek dan Time : 11 – 3 = 8 - Newsweek dan Fortune: 9 – 3 = 6 - Time dan Fortune: 8 – 3 = 5 Hanya newsweek: 25 – 8 – 6 – 3 : 8 - Hanya time: 25 – 8 – 5 – 3 : 10 - Hanya Fortune: 25 – 6 – 5 – 3 : 12 -

c. Yang membaca satu majalah: 8 + 10 + 12 = 30

LATIHAN 1 �Diketahui A= {1, 3, 5, 7, 9, 11} B={2, 4, 6, 8, 10} C= {1, 2, 3, 5, 7, 9} �Tentukan: • • • A B C A–B A–C Ac C

LATIHAN 2 Buktikan (A B) – (A B) = (B-A) (A-B)

Soal latihan Misalkan, jumlah mahasiswa pada suatu kelas adalah 60 orang. 20 orang mahasiswa menyukai Statistika, 30 menyukai Matematika Diskrit, dan 10 orang menyukai Aljabar Linear. 7 orang menyukai Statistika dan Matematika Diskrit, 5 orang menyukai Matematika Diskrit dan Aljabar Linear, dan 10 orang tidak menyukai ketiga mata kuliah itu. a. Tentukan jumlah mahasiswa yang menyukai ketiga mata kuliah tersebut ! b. Tentukan jumlah mahasiswa yang hanya menyukai satu mata kuliah ! 23

QUESTION ? ? ?

TERIMA KASIH