HIMPUNAN DAN SUB HIMPUNAN Himpunan Notasi Himpunan Berhingga
HIMPUNAN DAN SUB HIMPUNAN Himpunan, Notasi, Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga, Kesamaan Himpunan-Himpunan, Himpunan Nol, Sub Himpunan, Subhimpunan Seati, Hal hal yang dapat diperbandingkan, Teorema dan Bukti, Himpunan dari Himpunan, Himpunan Semesta, Himpunan Kuasa, Himpunan himpunan terpisah, Diagram diagram Ven Euler, Diagram –diagram garis
HIMPUNAN Himpunan adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas objek yang didefenisikan secara jelas. Obek himpunan dapat berupa apa saja: Bilangan, orang, surat, sungai, buah dsb. Himpunan himpunan akan selalu dinyatakan dengan huruf-huruf besar ; A, B, X, Y. . . Elemen-elemen himpunan dinyatakan dengan huruf kecil ; a, b, x, y. . .
CONTOH HIMPUNAN Bilangan bilangan 1, 3, 7 dan 10. Jawab-jawaban dari persamaan Huruf- huruf hidup dari alfabet: a, I, u, e, o. Penduduk bumi. Siswa yang bernama Tom, Dick, dan Harry. Siswa yang tidak hadir disekolah. Negara negara inggris, Prancis dan Denmark. Ibukota-ibukota negara dari benua Eropah. Bilangan-bilangan 2, 4, 6, 8. Sungai-sungai di Amerika Serikat. .
PENGGUNAAN NOTASI DALAM PENULISAN HIMPUNAN Set Builder Form A 1 = {1, 3, 7, 10} A 2 = { x|. } Tabular Form A 3 = {a, i, u, e, o} A 4 = { x| x adalah Penduduk bumi } A 5 = {Tom, Dick, Harry} A 6 = { x| x adalah Siswa yang tidak hadir disekolah. } A 7 = {Inggris, Prancis, Denmark}. A 8 = { x| x adalah Ibukota-ibukota negara dari benua Eropah}. A 9 = {2, 4, 6, 8. . . }. A 10 = { x| x adalah Sungai-sungai di Amerika Serikat}.
HIMPUNAN BERHINGA DAN TAK BERHINGGA Himpunan Berhingga adalah himpunan yang terdiri dari sejumlah elemen yang berbeda yang apabila kita menghitung elemen tersebut maka perhitungannya dapat berakhir. Bila perhitungannya tidak berakhir maka himpunan tersebut adalah himpunan tak berhingga. Contoh; a) Misalkan M adalah himpunan dari hari-hari dalam seminggu. Maka M berhingga. b) Misalkan N ={2, 4, 6, . . . }. Maka N adalah Tak berhingga. c) Misalkan P= { x|x adalah sebuah sungai di bumi}. Meskipun sulit untuk menghitung jumlah sungai di bumi, tetapi P berhingga}
KESAMAAN HIMPUNAN Himpunan A sama dengan Himpunan B jika keduanya bersama-sama memiliki anggota yang sama, artinya jika setiap elemen yang termasuk A juga termasuk B dan jika setiap elemen yang termasuk di B juga termasuk di A. dinyatakan dengan “A = B” Contoh: Misalkan A={1, 2, 3, 4} dan B={3, 1, 4, 2} Misalkan A={3, 2, 3, 4} dan B={3, 2, 4, 2}
HIMPUNAN KOSONG Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak menggandung elemen. Dinotasikan dengan “Ǿ” Contoh: Misalkan A adalah himpunan dari orang-orang didunia yang lebih tua dari pada usia 200. menurut statistik A adalah himpunan kosong. Misalkan B={x| , x adalah ganjil} maka B adalah himpunan kosong
SUB HIMPUNAN Jika semua elemen sebuah himpunan A adalah juga sebuah himpunan B atau lebih khusus lagi, A adalah subhimpunan B berarti jika x �� A maka x �� B. Dinotasikan dengan A ⊆ B dibaca “A terkandung dalam B” Contoh: � Himpunan C={1, 2, 3} adalah subhimpunan dari D={{5, 4, 3, 2, 1} karena tiap bilangan 1, 3, dan 5 yang termasuk di C juga termasuk di D. � Himpunan E={2, 4, 6} adalah subhimpunan dari F={6, 2, 4} karena tiap-tiap bilangan 2, 4, 6 yang termasuk E juga termasuk di F. perhatikan juga pada khususnya E=F. dengan cara yang sama dapat diperhatikan bahwa setiap himpunan adalah subhimpunan dari dirinya sendiri.
SUBHIMPUNAN (LANJUTAN) Tentukan semua subhimpunan dari A={1, 2, 3, 4, 5} Solusi: � 5 elemen = A= {1, 2, 3, 4, 5} � 4 elemen = {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5} � 3 elemen = {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5} � 2 elemen = {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5} � 1 elemen ={1}, {2}, {3}, {4}, {5} � 0 elemen = ⏀
SUB HIMPUNAN (LANJUTAN) Tentukan semua subhimpunan dari B={a, b, c, d, e, f} Solusi: � 6 elemen = B = {a, b, c, d, e, f} � 5 elemen = {a, b, c, d, e}, {a, b, c, d, f}, {a, b, c, e, f}, {a, b, d, e, f}, {a, c, d, e, f}, {b, c, d, e, f} � 4 elemen = {a, b, c, d}, {a, b, c, e}, {a, b, c, f}, {a, b, d, e}, {a, b, d, f}, {a, b, e, f}, {a, c, d, e}, {a, c, d, f}, {a, c, e, f}, {a, d, e, f}, {b, c, d, e}, {b, c, d, f}, {b, c, e, f}, {b, d, e, f}, {c, d, e, f} � 3 elemen = {a, b, c}, {a, b, d} , {a, b, e} , {a, b, f} , {a, c, d} , {a, c, e}, {a, c, f} , {a, d, e} , {a, d, f} , {a, e, f} , {b, c, d}, {b, c, e}, {b, c, f}, {b, d, e} , {b, d, f} , {b, e, f} {c, d, e} , {c, d, f} , {c, e, f} , {d, e, f} � 2 elemen = {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {a, f}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {b, f}, {c, d}, {c, e}, {c, f}, {d, e}, {d, f}, {e, f} � 1 elemen ={a}, {b}, {c}, {d}, {e} , {f} � 0 elemen = ⏀
BINOMIAL 0 1 1 1 2 3 1 1 4 1 5 6 7 8 9 1 1 6 1 2 3 4 5 1 1 3 6 10 2 4 10 8 16 1 5 1 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 57 126 84 36 9 1 32 64 128 256 410
SUB HIMPUNAN SEJATI Sub. Himpuanan sejati adalah suatu subhimpunan yang tidak sama dengan himpunnanya sendiri. B merupakan subhimpunan sejati dari A jika memenuhi �B adalah subhimpunan dari A � B tidak sama dengan A B subhimpunan dari A Dinotasikan dengan B ⊆ A B subhimpunan sejati dari A Dinotasikan dengan B ⊂ A
HAL DAPAT DIPERBANDINGKAN Dua himpunan A dan B dikatakan dapat diperbandingkan (comparable) jika A⊂B atau B ⊂A Yaitu jika salah satu himpunan adalah subhimpunan dari himpunan lainnya. Lebih lanjut dua himpunan A dan B dikatakan didak dapt diperbandingkan jika A⊄B atau B ⊄A Perhatikan bahwa jika A tidak dapat diperbandingkan dengan B, maka ada elemen A yang tidak terdapat dalam B dan juga ada elemen B yang tidak terdapat dalam A. Contoh: Misalkan A ={a, b} dan B={a, b, c}. Maka A dapat diperbandingkan dengan B karena A adalah subhimpunan dari B. Misalkan R ={a, b} dan S={b, c, d}. Maka R dan S tidak dapat diperbandingkan karena a�� R da a∉S dan c �� S dan c∉R.
TEOREMA DAN BUKTI Kebanyakan pernyataan-pernyataan dapat dibuktikan benar dengan menggunakan anggapan-anggapan defenisidefenisisebelumnya. Teorema: Jika A adalah subhimpunan B dan B subhimpunan C maka A adalah subhimpunan C, Yaitu jika A⊂B dan B⊂C maka berarti A⊂C. Bukti: Akan diperlihatkan bahwa setiap elemen A adalah ega elemen C. Misalkan x suatu elemen A, yaitu x�� A. karena A adalah subhimpunan B. maka x juga termasuk B. yaitu x�� B. tetapi menurut hipotesis B⊂C; oleh karena itu setiap elemen B termasuk x, adalah juga anggota C. kita telah memperlihatkan bahwa jika x�� A maka x�� C. dengan demikian menurut defenisi A⊂C.
HIMPUNAN DARI HIMPUNAN Himpunan dari himpunan secara praktis disebut keluarga himpunan atau kelas himpunan-himpunan. Nama dari keluarga himpunan menggunakan huruf tulis tangan (script) yaitu: A, B, C, . . . Contoh: � Dalam ilmu ukur kita biasanya mengatakan “suatu keluarga garis” atau “suatu keluarga kurva-kurva” karena garis dan keluarga kurva-kurva ini sendiri adalah himpunan-himpunan dari titik-titik. � Himpunan {{2, 3}, {2}, {5, 6}} adalah keluarga himpuanan. Anggota anggotanya adalah himpunan {2, 3}, {2}, {5, 6} � misalkan A = {2 {1, 3}, 4, {2, 5}} maka A bukanlah keluarga himpunan-himpunan. Disini beberapa elemen A adalah himpunan dan beberapa tidak.
HIMPUNAN SEMESTA Himpunana semesta adalah Semua subhimpunan yant ditinjau dari sebuah himpunan tertentu. Himpunan semesta dinotasikan dengan U Contoh: � Dalam ilmu ukur bidang, himpunan semesta terdiri dari semua titik-titik dalam bidang � Dalam studi kependudukan, himpunan semesta terdiri dari semua orang di dunia
HIMPUNAN KUASA Himpunan kuasa adalah keluarga dari semua subhimpunan dari sebuah himpunan tertentu. Dinotasikan dengan P(A). A adalah sebarang Nama Himpunan. Contoh: � Misalkan M={a, b} Maka P(M)={{a, b}, {a}, {b}, ⏀} � Misalkan T={4, 7, 8} Maka P(T)={{4, 7, 8}, {4, 7}, {4, 8}, {7, 8}, {4}, {7}, {8}, ⏀} � Misalkan R={1, 2, 3, 4} Maka P(R)= {R, {1, 2, 3}{1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1} , {2} , {3} , {4}, ⏀}
HIMPUNAN TERPISAH Himpunan himpunan terpisah adalah himpunan yang elemen-elemennya tidak ada yang sama. Himpunan A dan B dikatakan terpisah jika tidak ada elemen A yang terdapat dalam B, dan tidak ada elemen B yang terdapat dalam A. Contoh: � Misalkan A={1, 3, 7, 8} dan B={2, 4, 7, 9}. Maka A dan B tidaklah terpisah karena 7 terdapat dalam kedua himpunan. Yaitu: 7�� A dan 7�� B. � Misalkan A adalah bilangan-bilangan positif dan B bilangan negatif. Maka A dan B terpisah. � Misalkan E={x, y, z} dan F={r, s, t, u} maka E dan F terpisah.
IAGRAM-DIAGRAM VEN EULER Suatu cara yang sederhana dan instruktif untuk menggambarkan hubungan antara himpunan adalah diagram Venn. 1. Andaikan A⊂B dan katakan A≠B maka A dan B dapat 7�� A digambarkan dengan salah satu diagram berikut B A
IAGRAM-DIAGRAM VEN EULER (LANJUTAN) 2. Andaikan A dan B tidak dapat diperbandingkan. Maka A dan B dapat dinyatakan oleh diagram sebelah kanan jika mereka terpisahkan, atau diagram sebelah kiri jika mereka tidak terpisahkan. B A 3. Misalkan A={a, b, c, d} dan B={c, d, e, f}. Maka kita menggambarkan diagram ini dengan suatu diagram ven yang berbentuk A B c d a b e f
DIAGRAM GARIS Diagram garis adalah suatu cara yangdapat digunakan untuk menggambarkan hubungan antara himpunan. B C B A A Jika A ⊂ B dan B ⊂ C
DIAGRAM GARIS (LANJUTAN) C Z B A Misalkan A={a}, B={b}, C= {a, b} Z W Y X Misalkan X={x}, Y={x, y}, W= {x, y, w}, Z= ={x, y, z} Y C A W B Misalkan A={a}, B={b}, C= {a, b} X={x}, Y={a, b, c}, W= {a, b, c, d}, Z= ={a, b, c, e}
kasih a m i Ter
- Slides: 23