H Humenberger F Embacher Geometrische Iterationen Konvergenz von

H. Humenberger, F. Embacher Geometrische Iterationen – Konvergenz von Dreiecksformen

Konvergenz • Folgen und Reihen (auch aus der Geometrie: meist unendliche geometrische Reihen), Analysis, etc. • „Konvergenz von Formen“ unüblich • Es gibt elementare Phänomene bei „Konvergenz von Formen“, die mit DGS schön exploriert werden können • Ohne DGS wäre dieses Thema nicht geeignet • Der Schwierigkeitsgrad zugehöriger Begründungen variiert ziemlich, für den Regelunterricht in der Schule eignen sich schwierigere nicht

Problem 1 (Idee: F. E. ) Gegeben: Beliebiges Dreieck A 0 B 0 C 0. Die Berührpunkte seines Inkreises bilden das nächste Dreieck A 1 B 1 C 1, usw. Beobachtung: Dreiecke An. Bn. Cn werden „immer gleichseitiger“ -) Ist das immer so? -) Begründung? Offener: Was kann man bei der Form der Dreiecke An. Bn. Cn beobachten? A posteriori auch in der Literatur gefunden: Jones 1990, Ismailescu/Jacobs 2006 („Poncelet-Punkt“) (Methoden aus „Höherer Mathematik“)

Bestätigung/Erkundung mit DGS • DGS als Messinstrument (Winkel, Längen) • Evtl. Erstellen eines „Makros“ zur Konstruktion des nächsten Dreiecks (Umgang mit dem DGS) • Ohne so eine Phase so ein Problem wenig sinnvoll • Durch DGS: Bestätigung (es wird wohl immer so sein; Vertrauen, DASS es so ist; M als Prozess; auch in der Forschung meist zuerst „Überprüfungen“ VOR formalen Beweisen) • WARUM? ? ? – Das kann ein DGS nicht beantworten! (Vgl. De Villiers 1990: „Funktionen des Beweisens“) „, Warum? ‘ Sollte die wichtigste Frage des MU sein“ (Meyer/Prediger 2009)

Auf dem Weg zur Begründung Anstoß-Frage: Was kann man über 1 im Dreieck A 1 B 1 C 1 aussagen, wenn im Ausgangsdreieck A 0 B 0 C 0 der Winkel 0 der kleinste Winkel ( 0 0 0) ist? Dadurch Beschäftigung mit Winkeln statt Seitenlängen nahegelegt DGS: 1 ist der größte Winkel Analog: 1 ist der kleinste 1 1 1

Weiter bei Begründung Man erkennt schnell: Neue Winkel entstehen durch paarweise Mittelwertbildung aus den alten Unterschiede mitteln sich immer besser aus Konvergenz der Winkel zur Gleichheit Am „Grad-Strahl“: Bei jedem Schritt Halbierung der „Intervalllänge“ Intervallschachtelung als mögliche Beweisgrundlage

Andere Begründung Warum gilt: 60° ist Fixwert Differenzen zum vermuteten Grenzwert: Dies gilt für jeden Schritt, d. h. ( n) ist eine geom. Folge mit q = 1/2 Nullfolge Umkehrung: eindeutig (A 0 B 0 C 0 „Tangentendreieck“ von A 1 B 1 C 1); Konstruktion unmittelbar klar

Problem 2 (Ismailescu/Jacobs 2006) Schnittpunkte des Inkreises mit den Winkelhalbierenden bilden das nächste Dreieck Wieder Konvergenz der Form zur Gleichseitigkeit 60° ist Fixwert Differenzen zu 60°: geom. Folge mit q = ¼ Konvergenz Umkehrung: Eindeutigkeit wegen (*) klar Konstruktion? Interessante weitere Aufgabe!

Problem 3 (Trimble 1996) Schnittpunkte der Winkelhalbierenden mit den Gegenseiten bilden das nächste Dreieck Wieder Konvergenz der Form zur Gleichseitigkeit Beweis schwierig! Konstruktion Umkehrung? Nachteil bei allen Aufgaben „nach innen“: Dreiecke werden beliebig klein Hineinzoomen nötig

Probleme mit dem Umkreis

Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Wieder Konvergenz der Form zur Gleichseitigkeit?

Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck.

Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. daher

Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. daher und folglich (analog zu Problem 1)

Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Umkehrung?

Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Umkehrung … … existiert immer und ist eindeutig!

Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Wie wird die Iteration durch die Dreieckswinkel ausgedrückt?

Problem 4 (xxx) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

Problem 4 Schnittpunkte der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Für Dreieckswinkel:

Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Wieder Konvergenz der Form zur Gleichseitigkeit?

Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Daher Konvergenz zur Gleichseitigkeit!

Problem 5 Raum für Entdeckungen…

Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

Problem 5 Bei gegebenem A 0 B 0 C 0 sind die Dreiecke A 1 B 1 C 1 in Problem 4 und Problem 5 ähnlich.

Problem 5 Bei gegebenem A 0 B 0 C 0 sind die Dreiecke A 1 B 1 C 1 in Problem 4 und Problem 5 ähnlich. Sie sind sogar identisch!

Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck

Problem 5 Schnittpunkte der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck „Südpolsatz“

Weitere Probleme • Schnittpunkte der Höhengeraden mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. = Umkehrung von Problem 5! Verhalten abhängig von der Form des Ausgangsdreiecks (Konvergenz /keine Konvergenz, Abbruch) • Schnittpunkte der Seitenhalbierenden (Schwerlinien) mit dem Umkreis bilden das nächste Dreieck. Konvergenz zur Gleichseitigkeit Analyse schwierig Umkehrung: sehr schwierig!

Fachdidaktisches Resumé • Die Ausgangssituationen sind einfach zu verstehen und sprechen die Vorstellung an. • Verbindung der Geometrie mit der Analysis. • DGS ermöglicht, zu explorieren und Vermutungen anzustellen. Wertvolle Momente im Prozess des Betreibens von Mathematik! • Klare Unterscheidung der Visualisierungen und DGS-Experimente von einem Beweis. • Beweise/Begründungen sind zum Teil sehr einfach und für den Regelunterricht geeignet.

Literatur • • • Ismailescu, D. , Jacobs, J. (2006): On sequences of nested triangles. In: Periodica Mathematica Hungarica, Vol. 53 (1– 2), 169– 184. Jones, St. (1990): Two Iteration Examples. In: The Mathematical Gazette, Vol. 74, 58– 62. Meyer, M. , Prediger, S. (2009): Warum? Argumentieren, Begründen, Beweisen. In: Praxis der Mathematik in der Schule 51(30), S. 1– 7. Trimble, S. Y. (1996): The limiting case of triangles formed by angle bisectors. In: The Mathematical Gazette, Vol. 80, 554– 556. De Villiers, M. (1990): The role and function of proof in mathematics. In: Pythagoras, Nov 1990, 24, 17– 24.