Blitzlichter auf erstaunliche geometrische Stze zum Experimentieren und

Blitzlichter auf … …erstaunliche geometrische Sätze zum Experimentieren und Beweisen Thomas Müller KPH Wien/Krems Tag der Geometrie TU Graz, 20. April 2017 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 1

Blitzlichter auf … …erstaunliche geometrische Sätze zum Experimentieren und Beweisen Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Thomas Müller KPH Wien/Krems Tag der Geometrie TU Graz, 20. April 2017 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 2

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Ana KUZLE und Regina BRUDER, Heft 196, Juni 2016 Problemlösen Herausforderungen begegnen PL-Kompetenzen erwerben … an kleinen „Forschungsprojekten“ Selbstsicherheit erwerben … Schritt 1: vertraut werden mit Problem … durch Skizzieren, Zeichnen, Ausprobieren … Variation von Parametern Auswirkungen beobachten „experimentieren“ Erkenntnisse gewinnen Schritt 2: begründen, beweisen 3 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at

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Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Publ. 1731, posthum* Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten * Lit. : http: //mathworld. wolfram. com/Varignons. Theorem. html Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 5

s, au. Schatzinselproblem Ein hen ac c m is g in lo e ll it a m d s il e B d s Ein rechter Winkel Da Ein Fixpunkt es Bil Parallelogramm d g n u f p n ü n io k t r a e ir V p s ie n I d t ls s a r e r lich nu t z sondern t le d il B s a d dass n. e o g s , n n u e g is le r e e w b s Bei jedem allgemeinen Viereck bilden s Ü lu e r h c e s S n 2014 u l, e r h c ü f ta S e th ll u o m Publ. 1731, posthum r ll t e n H o als K die Mittelpunkte der vier Seiten fungiert sowie Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum rie t e m o e G ie d t ich Satz ch n. AUBEL no. VAN htvon ein Parallelogramm. Lit. : http: //mathworld. wolfram. com/Varignons. Theorem. html Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 6

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Publ. 1731, posthum Hilfe 1: Eine Diagonale einzeichnen. Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Rückführen auf Bekanntes. 1. Strahlensatz (Umkehrung) Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 7

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten Publ. 1731, posthum ein Parallelogramm. a, b, c, d … VEKTOREN c b d a „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen. “ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II? “ mathematik lehren 196, p 34 f Vgl. z. B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12. 78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 8

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Publ. 1731, posthum C Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. a, b, c, d … VEKTOREN 2 a + 2 b c b d A a „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen. “ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II? “ mathematik lehren 196, p 34 f AC = 2 a + 2 b Vgl. z. B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12. 78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 9

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Publ. 1731, posthum C Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. a, b, c, d … VEKTOREN + 2 a 2 c + 2 d 2 b c b d A a „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen. “ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II? “ mathematik lehren 196, p 34 f AC = 2 a + 2 b = 2 d + 2 c Vgl. z. B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12. 78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 10

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Publ. 1731, posthum C Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. a, b, c, d … VEKTOREN + 2 a b 2 c + d 2 d + c 2 b c A a+ d b „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen. “ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II? “ mathematik lehren 196, p 34 f a AC = 2 a + 2 b = 2 d + 2 c a+b=d+c Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 11

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten Publ. 1731, posthum e ein Parallelogramm. f u=e+f Was lässt sich über Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms aussagen? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 12

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten Publ. 1731, posthum e ein Parallelogramm. f u=e+f 2. Avar = A 4 Was lässt sich über Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms aussagen? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 13

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Ferdinand WITTENBAUER (1857 – 1922, TU Graz) Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Seitendrittelpunkte … Viertelspunkte usw? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 14

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 15

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz auch im Raum? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 16

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 17

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? JA Gilt dies auch für die Existenz des WITTENBAUER-Parallelogramms? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 18

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? JA Gilt dies auch für die Existenz des WITTENBAUER-Parallelogramms? NEIN Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 19

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Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 21

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 22

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) 60° γ° 60° + γ ° = γ ° + 60° Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 23

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) 60° γ° 60° + γ ° = γ ° + 60° Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 24

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Punkt von FERMAT TORRICELLI Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 25

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Punkt von FERMAT = X 13 telpunkt it m is e r k In = X 1 unkt X 2 = Schwerp telpunkt it m is e r k m U X 3 = ittpunkt n h c s n e h ö H X 4= Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 26

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Ludwig KIEPERT (1846 – 1934, DE) Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) gleichschenkelig ähnliche Dreiecke Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 27

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Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vorbereitung … Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 29

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Vorbereitung … Ein rechter Winkel γ° 90° Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. 90° + γ ° = γ ° + 90° Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 30

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel γ° 90° Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Quadratmittelpunkte Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 31

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel γ° 90° Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Quadratmittelpunkte Zentrische Streckung Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 32

Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel γ° 90° Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Quadratmittelpunkte Zentrische Streckung Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 33

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 35

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 36

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at

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Ein rechter Winkel p p Ein Fixpunkt k Ein Parallelogramm Schatzinselproblem Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL (p + k)/2 Satz von VARIGNON k Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 45

Satz von VARIGNON Schatzinselproblem Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt h (p + k)/2 hh p k h Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 46

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Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt us, a ie r t e m o e G ht die ic n h c o n t h c hen a c m is g in lo e ll it a m d s il e B d s il Da g des B n u f p n ü n io k t r a e ir V p s ie n I d t ls s a r e r u lich n t z sondern t le d il B s a d n. e o dass g s , n n u e g is le r e e w b s s Ü lu Sch nsere u r ü f tachel, 2014 S e th ll u o m r ll t e n H o als K fungiert sowie Unterlagen zum Vortrag: http: //www. muel. at/person/infos. html Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 48

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt ! it e k m a s k r e m f u Danke für die A Unterlagen zum Vortrag: http: //www. muel. at/person/infos. html Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas. mueller@kphvie. ac. at 49