Geometrische Algebra GA Werner Benger 2005 1 2

Geometrische Algebra (GA) Werner Benger, 2005 1

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Abgeschlossene Vektoralgebra? Invertierbares Produkt von Vektoren? Was bedeutet Vektordivision “a/b” ? ab=C b=a-1 C Beachte: C nicht notwendigerweise Vektor! Inneres Produkt (nicht assoziativ): a b Skalar n Nicht invertierbar z. B. a b =0 mit a≠ 0, b≠ 0 aber orthogonal Äusseres Produkt (assoziativ): a b Bivektor n n Verallgemeinertes Kreuzprodukt des 3 D: a b Nicht invertierbar z. B. a b =0 mit a≠ 0, b≠ 0 aber parallel Multiplikation von Vektoren 3

Bivektoren a b Beschreibt die durch a und b aufgespannte Fläche, Vorzeichen ist Orientierung b a = - a b Definiert in beliebigen Dimensionen, antisymmetrisch ( nicht kommutativ), assoziativ, distributiv, benötigt keine weitere Struktur Multiplikation von Vektoren 4

Konstruktion von Bivektoren Kein eindeutiger Rückschluss auf erzeugende Vektoren möglich = a b = (a+λb) b b b = 0 = Basiselement |a| |b| sin b a+λb Multiplikation von Vektoren 5

Bivektoren im R 3 3 Basiselemente ex ey, ey ez, e z e x Erweiterung: ex ey ez ist Volumen Multiplikation von Vektoren 6

Anforderung an das Geometrische Produkt Für Elemente A, B, C eines Vektorraumes mit quadratischer Form Q(v) auf Vektoren v soll gelten: 1. 2. 3. 4. Assoziativ: (AB)C = A(BC) Links-distributiv: A(B+C) = AB+AC Rechts-distributiv: (B+C)A= BA+CA Skalarprodukt: a 2 = Q(a) 1 |a|2 Das Geometrische Produkt 7

Eigenschaften des GP Satz von Pythagoras: |a+b|2 = |a|2+|b|2 (A+B) = A 2 + B 2 =AA+AB+BA+BB AB = -BA für A B = 0 antisymm. wenn orthogonal Jedoch: nicht rein antisymmetrisch wegen |AB|2 =|A|2 |B|2 für A B = 0 (d. h. A, B colinear: B= A) Das Geometrische Produkt 8

Geometrisches Produkt William Kingdon Clifford (1845 -79): Zusammenlegen von innerem und äusserem Produkt zu geometrischem Produkt AB (1878): AB : = A B Ergebnis kein Vektor, sondern Skalar + Bivektor! Operiert auf “Multivektoren” Untermenge der Tensoralgebra Geometrisches Produkt ist invertierbar! Das Geometrische Produkt 9

Multivektorkomponenten R 2 : A = A 0 + A 1 e 0 + A 2 e 1 + A 3 e 0 e 1 2. 7819… R 3 : A= A 0 + A 1 e 0 + A 2 e 1 + A 3 e 2 + A 4 e 0 e 1 + A 5 e 1 e 2 + A 6 e 0 e 2 + A 7 e 0 e 1 e 2 + + + + Struktur von Multivektoren 10

Struktur von Multivektoren Linearkombination antisymm. Potenzen - 2 n Komponenten 0 D 1 Skalar 1 D 1 Skalar, 1 Vektor 2 D 1 Skalar, 2 Vektoren, 1 Bivektor 3 D 1 Skalar, 3 Vektoren, 3 Bivektoren, 1 Volumen 4 D 1 Skalar, 4 Vektoren, 6 Bivektoren, 4 Volumen, 1 Hypervolumen 5 D … Struktur von Multivektoren 11

Umkehrung Vektoren a, b: n a b = ½ (ab + ba) symmetrischer Anteil n a b = ½ ( a b - b a ) antisymmetrischer Anteil n a b = -(a b) (ex ey ez) Dual in 3 D Rechnen mit Multivektoren 12

Reflexion an einem Vektor Einheitsvektor n, Vektor v v┴+v║ Vektor v auf n projiziert: v║=(v n) n Reflektierter Vektor w = v┴ – v║ = v – 2 v║ somit w = v – 2(v n) n mit GP w = v – 2[½(vn+nv) ] n = v – vnn – nvn w = -nvn Rechnen mit Multivektoren 13

Geometrisches Quadrat Betrachte (AB)2 von Bivektorbasiselement mit |A|=1, |B|=1, A B = 0 Basiselement AB=A B=-BA (AB)2 = (AB) = -(AB) (BA)=-A(BB) A= -1 Rotation 14

Quaternionen Algebra mittels GA In 2 D: Komplexe Zahlen i: = exey, i 2 = -1 In 3 D: Quaternionen i: = ex ey= exey, j: = ey ez = eyez, k: =ex ez=exez i 2 = -1, j 2 = -1 , k 2 = -1 ijk = (exey)(eyez)(exez) = -1 In 4 D: Biquaternionen Rotation 15

Multiplikation von Vektoren und Bivektoren Rechtsmultiplikation entspricht Rotation (CCW) ex i = ex (exey) = (exex ) ey= ey i = ey(exey)=-ey(eyex)= -ex = Rotation 16

Allgemeine Rotation in 2 D Mehrfache Rotation ex i i = (ex i) i = ey i = -ex = -1 ex Beliebiger Vektor: (Ax ex + Ay ey) i = Ax ex i + Ay ey i = Ax ey - Ay ex Rotation um beliebigen Winkel: A cos + A i sin ≡ “A e i ” rotiert Vektor A um Winkel in Fläche i Rotation 17

Rotor R: =e i =cos + i sin mit i Bivektor, i²=-1 n n R-1=e-i =cos - i sin inverser Rotor In 2 D äquivalent: v R-2 = R 2 v = R v R-1 Jedoch bei Dim>2 Trivektor-Anteil: Rv = v cos + sin (i v + i v ) n i R v R-1 = v┴ + e i v║ e- i = v┴ + v║ e-2 i wegen i v┴ = 0 R v┴ R-1 = v┴ Produkt von Rotoren ist mehrfache Rotation n n R=ABCD, R-1=DCBA ist “reverse” von R Rotor anwendbar auf beliebige Multivektoren Rotation 18

Symmetrien Mehrfachreflexionen an r 1, r 2, r 3, … sind Hintereinanderausführung von Vektoren: n r 3 r 2 r 1 v r 1 r 2 r 3 (nicht mögl. mit Quaternionen) Symmetriegruppen in Molekülen und Kristallen sind charakterisiert durch drei Einheitsvektoren a, b, c n ganzzahliges Triplet {p, q, r} p q r n mit (ab) = (bc) = (ca) = -1 z. B. : Methan (Tetraeder) {3, 3, 3}, Benzol {6, 2, 2} n 19

Differentalgeometrie Ableitungsoperator: : = eμ μ mit μ= / xμ, eμe = μ Anwendbar auf beliebige Multivektoren z. B. : mit v Vektorfeld: v = v + v mit v Gradient (Skalar) und v Rotation (Bivektor) 20

Maxwell in 3 D n n n Faraday-Feld: F = E + B : =exeyez Stromdichte: J = - j Maxwell-Gleichung: F/ t + F = J F = E + B = E + B Skalar : E = Vektor : E / t + B = - j Bivektor: B / t + E = 0 Pseudoskalar: B = 0 21

Cl 3(R) & Spinoren GA in 3 D ist repräsentierbar durch Paulimatrizen: ( ) 0 1 x = 1 0 ( ) y = +i 0 ( ) 1 0 0 -i z = 0 -1 4 komplexe Zahlen 8 Komponenten = 23 Basisvektoren {ex, ey, ez} mit GP haben gleiche algebraische Eigenschaften wie Pauli-Matrizen { x, y, z} Pauli-Spinor (2 komplexe Zahlen, 4 Komponenten) wegen *= reell: = ½ e. B ein Rotor (gerader Multivektor: 1 Skalar, 3 Bivektorkomponenten), d. h. ist eine “Anweisung” zu strecken und zu rotieren beschreibt Interaktion mit dem Magnetfeld 22

Spacetime Algebra (STA) GA in 4 D mit Minkowski-Metrik (+, -, -, -) Wähle orthogonale Basis { 0, 1, 2, 3} n Mit 2 μ ν = μ ν+ ν μ= 2ημν d. h. 02 = - k 2 = 1 Struktur: 1, 4, 6, 4, 1 ( n 4 , 16 -dimensional ) n n Bivektor-Basis: k : = k 0 Pseudoskalar: 0 1 2 3 = 1 2 3 1 { μ} { k, k} { μ} 1 Skalar 4 Vektor 6 Bivektoren 4 Pseudovektoren 1 Pseudoskalar 23

Basis-Bivektoren der STA k: 3 zeitartige Bivektoren k : 3 raumartige Bivektoren z x y z 24

Struktur von Bivektoren Beliebiger Bivektor darstellbar als n n B = B k k = a k k + b k k = a + b a, b: 3 -Vektoren (relativ zu 0) a zeitartiger Anteil b raumartiger Anteil Einteilung in n “komplexer” Bivektor: keine gemeinsamen Richtungen, spannt vollen Raum auf n “simpler” Bivektor: eine Richtung gemeinsam, reduzierbar auf einzelnes “Blatt” 25

Spacetime-Rotor Raumzeit-Rotor: R = e. B =ea+ b e|B| B/|B| R = e a + b = e a e b = [cosh a + sinh a ] [ cos b + sin b ] = [cosh |a| + a/|a| sinh |a| ] [cos |b| + b/|b| sin|b| ] Interpretation: Rotation in raumartiger Ebene b um Winkel |b| Hyperbolische Rotation in zeitartiger Ebene a= a 0 mit “Boost-Faktor” (Geschwindigkeit) tanh|a| Lorentz-Transformation in a , 0 ! 26

Maxwell Gleichungen in 4 D Vierdimensionaler Gradient : = μ μ Elektromagnetisches 4 -Potential A: n F = A = A - A wobei A=0 in Lorentz-Eichung n Faraday-Feld: F = (E + B) 0 Reiner Bivektor (vgl. 3 D), jedoch komplex: E zeitartiger Anteil, B raumartig Maxwell-Gleichung: vgl. Formenkalkül: F = J d*F = J mit F eine 2 -Form, F=d. A 27

Dirac-Gleichung Relativistischer Impuls in Schrödingergleichung: E=p 2/2 m E 2 = m 2 – p 2 (α 0 mc² + ∑ αj pj c) = i ħ / t n mit αj Dirac-Matrizen (4 4) in Dirac-Basis: 0 = α 0, i = α 0 αi mit [ μ, ν] = 2 ημν Kovariante Schreibweise ∑ μ μ = mc² In GA haben Basisvektoren { 0, 1, 2, 3} gleiche algebraischen Eigenschaften wie Dirac-Matrizen: = mc² 0 28

GA in der Computergraphik Homogene Koordinaten (4 D): Zusätzliche Koordinate e , 3 -Vektor: Ai / A Erlaubt einheitliche Beschreibung von Richtungen und Punkten, Standard z. B. in Open. GL Konforme, homogene Koordinaten (5 D): Zusätzliche Koordinaten e 0, e Signatur (+, +, -) , e 0 e =-1, |e 0| = |e | =0 Erlaubt Beschreibung geometrischer Objekte (Kugel, Linie, Ebene, …) als Vektoren in 5 D Vereinigungen und Schnitte von Objekten sind algebraische Operationen (“meet”, “join”) 29

Objekte in Konformer 5 D GA Punkt Paar von Punkten x + e 0 + |x|2/2 e a b Linie a b e Kreis a b c Ebene a b c e Kugel a b c d 30

Implementierungen Auswertung zur Laufzeit n geoma (2001 -2005), GABLE (symbolic GA) Matrix-basiert n CLU (2003) Code-Generator n Gaigen (-2005) Template Meta Programming n GLu. Cat, BOOST (~2003) Erweiterung von Programmiersprachen 31

Literatur http: //modelingnts. la. asu. edu/ http: //www. mrao. cam. ac. uk/˜clifford David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0792355148, Kluwer Academic Publishers (1999) Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics (David Hestenes) Geometric (Clifford) Algebra: a practical tool for efficient geometrical representation (Leo Dorst, University of Amsterdam) An Introduction to the Mathematics of the Space-Time Algebra (Richard E. Harke, University of Texas) EUROGRAPHICS 2004 Tutorial: Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics (D. Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass and L. Dorst) Rotating Astrophysical Systems and a Gauge Theory Approach to Gravity (A. N. Lasenby, C. J. L. Doran, Y. Dabrowski, A. D. Challinor, Cavendish Laboratory, Cambridge), astro-ph/9707165 32