Die Schwerpunkte des Dreiecks Franz Embacher franz embacherunivie

Die Schwerpunkte des Dreiecks Franz Embacher franz. embacher@univie. ac. at http: //homepage. univie. ac. at/franz. embacher/ Fakultät für Physik der Universität Wien Vortrag auf der 11. Internationalen Tagung über Schulmathematik Technische Universität Wien, 29. Februar 2008

Vorbemerkungen • Entdeckendes und schüler. Innenzentriertes Lernen von Mathematik erfordert geeignete Inhalte • Stoffdidaktischer Vorschlag für Sekundarstufe 2 • Einsatz von Methoden der analytischen Geometrie (Vektorrechnung) und der Stochastik (gewichtetes Mittel) • Thema: Dreiecksgeometrie • l‘art pour l‘art

Was ist der Schwerpunkt des Dreiecks? Es gibt mehrere „demokratische“ Möglichkeiten, einem Dreieck einen „Mittelpunkt“ zuzuweisen! Mathematische Modellierung, Begriffsklärung

Was ist der Schwerpunkt des Dreiecks? Die Lage mancher dieser Mittelpunkte kann rechnerisch bestimmt werden. Vektorrechnung, gewichtetes Mittel

Was ist der Schwerpunkt des Dreiecks? Das Konzept des „Dreiecksmittelpunkts“ kann systematisch verallgemeinert werden! Mathematische Forschung

Der „offizielle“ Schwerpunkt – Version 1 Schwerpunkt („Massenmittelpunkt“) des Eckensystems:

Der „offizielle“ Schwerpunkt – Version 2 Grenzfall Der Schwerpunkt („Massenmittelpunkt“) der Dreiecksfläche ist ebenfalls ! Beweis! Analoges gilt für höhere n-Ecke nicht!

Der Spieker-Punkt Grenzfall Schwerpunkt („Massenmittelpunkt“) der Dreieckslinie:

Der Inkreismittelpunkt neue Sichtweise auf Bekanntes Der Inkreismittelpunkt ist ebenfalls eine Art „Schwerpunkt“:

Ein überraschender Zusammenhang Mathematische Entdeckungen Dynamische Geometrie , und liegen stets auf einer Geraden! bzw.

Zwei „merkwürdige Geraden“ Geschlossene Formeln für die Lage von und wesentlich komplizierter als jene für und ! und sind „didaktisch günstiger“!

Ein weiterer Zusammenhang Mathematische Entdeckungen

Schwerpunkte als gewichtete Mittel neue Einsichten durch Verallgemeinerungen Beliebig gewählte „Massenbelegungen“ Punkt im Dreieck

Weitere Verallgemeinerung Aufgabe der Bedingungen Punkt in der Ebene baryzentrische Koordinaten

Baryzentrische Koordinaten Punkt baryzentrische Koordinatenverhältnisse neuer „Formalismus“

Didaktische Möglichkeiten • Mathematische Modellierung einer „Idee“, Begriffsklärung • Kombination von Methoden aus verschiedenen mathematischen Gebieten (analytische Geometrie, Stochastik), analytische (exakte) Berechnung mit dem Ziel allgemeingültiger Ausdrücke („Formeln“) • Experimentieren, vermuten und beweisen, erforschen mathematischer Sachverhalte, entdecken von Neuem • Betrachten von Grenzfällen • Neue Sichtweise auf Bekanntes, neue Einsichten durch Verallgemeinerungen • Entwicklung neuer „Formalismen“ • Dynamik: innermathematisches Interesse

Lernpfad http: //www. mathe-online. at/lernpfade/Schwerpunkte/. . . mit Aufgabenstellungen und Hinweisen für Schüler. Innen Großer Spielraum für • aufgewandte Zeit und angestrebte Tiefe • Spielregeln der Durchführung (Sozialformen, Diskussionen, Dokumentation durch die Schüler. Innen, . . . )

Danke. . . für Ihre Aufmerksamkeit! Diese Präsentation finden Sie am WWW unter http: //homepage. univie. ac. at/franz. embacher/Mathe. Didaktik/ Int. Tagung. Schulmathematik 29. 02. 2008/