Fenomeni di Trasporto II Trasporto di calore Equazione

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Tecniche per la soluzione di problemi 1) Si verifica se le equazioni possono essere disaccoppiate 2) Individuazione di tutti i termini delle equazioni di variazione che sono nulli e che possono essere trascurabili 3) Adimensionalizzazione 4) Programma di CFD (Fluent) 1

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: liquido in moto laminare che scorre su un piano inclinato caso non isotermo Ex 11. 4 -3 Bird La temperatura della superficie libera è T 0 e la superficie solida si trova a Td. La viscosità del liquido è funzione di T Si assume r e k costanti T 0 vz z x Dalla geometria Dalle BC Td Condizioni stazionarie Moto laminare Fluido incomprimibile 2

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: liquido in moto laminare che scorre su un piano inclinato caso non isotermo Ex 11. 4 -3 Bird La equazione dell’energia è =0 stazionario vx=0 T 0 vz =0 =0 vy=0 x Td 3

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: liquido in moto laminare che scorre su un piano inclinato caso non isotermo Ex 11. 4 -3 Bird La eq. dell’energia è quindi integrando con le B. C. N. B. la equazione di energia è stata risolta indipendentemente da quella del moto A questo punto è possibile risolvere anche la eq. del moto (vedi Bird) 4

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia ESEMPI: Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex 11. 4 -1 Bird Un fluido newtoniano scorre con moto laminare in un tubo di sezione circolare. Per z < 0 T=T 1, per z > 0 la parete del tubo è riscaldata da una resistenza elettrica che determina un flusso di calore radiale qr = -q 0 costante lungo z. Si vuole ricavare il profilo di temperatura nel fluido in condizioni stazionarie. Si assume che le proprietà siano costanti con T r r T qr z r T T 1 5

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex 11. 4 -1 Bird Coordinate cilindriche Ipotesi sulla soluzione T=T(r, z) r r T qr z r T 6

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex 11. 4 -1 Bird Eq di continuità =0 =0 =0 Condizioni stazionarie Per fluido incomprimibile 7

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex 11. 4 -1 Bird Eq di qdm per r m cost. =0 Condizioni stazionarie =0 =0 =0 8

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex 11. 4 -1 Bird Eq. dell’energia in funzione di T per r e m costanti 9

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex 11. 4 -1 Bird Le due equazioni non sono collegate e possono essere risolte separatamente (per l’ipotesi di r e m costanti) La soluzione della equazione del moto ci da il profilo di v che entra nella eq. dell’energia 10

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex 11. 4 -1 Bird La equazione del’energia può essere ulteriormente semplificata utilizzando la adimensionalizzazione 11

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Moto laminare in tubo con flusso termico costante alla parete Ex 11. 4 -1 Bird Se Pe >> 1 N. B. si sono ridotte le BC su z 12

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex 11. 4 -2 Bird Il cilindro esterno ruota con velocità angolare W 0. Il liquido è incomprimibile. Le temperature in corrispondenza del cilindro interno ed esterno sono rispettivamente: Tk e T 1 Si assume che le proprietà siano costanti moto laminare stazionario Ipotesi: 13

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex 11. 4 -2 Bird L’equazione del moto si risolve indipendentemente e ci da il profilo di Le equazioni di continuità e del moto danno il profilo di velocità. 14

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex 11. 4 -2 Bird La equazione dell’energia è Introducendo il profilo di v 15

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex 11. 4 -2 Bird Si può adimensionalizzare Ottenendo: integro 16

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Esempio: Moto tangenziale tra due cilindri coassiali con dissipazione viscosa Ex 11. 4 -2 Bird La soluzione è: N=0 cilindro fermo 17