Fenomeni di Trasporto II Trasporto di calore Equazione

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia Si applica la legge di conservazione dell’energia ad un piccolo elemento di volume Dx. Dy. Dz che si fa tendere a dxdydz Dz Dy Dx dy dz dx Calore in ingresso La legge di conservazione dell’energia DU = Q + W è una estensione del primo principio della termodinamica Lavoro compiuto Variazione di sul sistema energia interna dall’esterno 1

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia Si considera un volume fisso nello spazio attraverso il quale passa un fluido Velocità di accumulo dell’energia = cinetica e interna IN –OUT attraverso le superfici Velocità di INOUT dell’energia cinetica e interna per convezione + Velocità di IN+ OUT del calore + per conduzione Lavoro compiuto nella unità di tempo sul sistema da meccanismi molecolari (viscosità pressione) Lavoro compiuto nella unità di tempo sul sistema da forze di volume (gravità) Processi molecolari Forze di volume 2

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia o legge di conservazione dell’energia In pratica è il primo principio della termodinamica scritto per un sistema aperto L’energia cinetica è associata al moto del fluido En. cinetica per unità di volume Per energia interna si intende quella cinetica delle molecole calcolata rispetto al moto complessivo del fluido (moto traslazionale disordinato), quella associata al moto rotazionale e vibrazionale nonché quella dovuta alla interazione delle molecole stesse L’energia potenziale non compare esplicitamente perché si è preferito esprimere il termine di lavoro compiuto dalla forza gravitazionale Altri termini di generazione di energia per processi chimici, elettrici o nucleari non compaiono nella eq. precedente e verranno inseriti se del caso 3

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: accumulo Velocità di accumulo dell’energia cinetica e interna Energia interna per unità di massa = Energia cinetica e interna per unità di volume Dz Dy Dx 4

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: termine di scambio attraverso le superfici Velocità di IN-OUT dell’energia attraverso le superfici del volume di controllo Dz Dy Dx Il vettore e (flusso di energia combinata) rappresenta il flusso dell’energia che entra/esce attraverso le superfici che delimitano il volume e comprende: • trasporto convettivo di energia cinetica ed interna • trasporto di calore per conduzione • lavoro associato a processi molecolari (pressione e tensioni) 5

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: forze di volume Forze di volume Lavoro compiuto dalle forze di volume (gravità) nell’unità di tempo 6

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Scrittura del bilancio di energia 1. Si esplicitano i diversi termini nella equazione di bilancio di energia 2. Si divide per il volume Dx. Dy. Dz 7

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Scrittura del bilancio di energia 3. Si porta al limite per Dx. Dy. Dz 0 In forma più compatta Velocità di accumulo di en. cinetica e interna per unità di volume Velocità di IN-OUT dell’energia attraverso le superfici per unità di volume Lavoro compiuto nell’unità di tempo dalla forza di gravità per unità di volume 8

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e e = flusso di energia combinata rappresenta il flusso di tutte le forme di energia che vengono scambiate attraverso le superfici del volume di controllo Il termine e comprende: Dz Dy Dx 1. trasporto convettivo di energia cinetica ed interna 2. trasporto diffusivo di energia (conduzione) 3. lavoro associato a processi molecolari (pressione e tensioni) 9

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 1 Trasporto convettivo di energia cinetica ed interna z La portata di una qualunque grandezza A, dovuta al trasporto convettivo, attraverso la superficie d. S ortogonale a x è data da: v y d. S x Concentrazione di A Portata volumetrica Concentrazione di A x Portata volumetrica = portata di A = [A/t] 10

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 1 trasporto convettivo della energia cinetica ed interna Portata di energia cinetica e interna lungo x Energia cinetica e energia interna per unità di volume Portata volumetrica lungo x Flusso di energia cinetica e interna attraverso d. S 11

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 2 Trasporto di energia per diffusione (conduzione) flusso diffusivo del calore da legge di Fourier 12

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 3 Lavoro compiuto nell’unità di tempo dalle forze che agiscono sulle superfici del volume (meccanismi molecolari) forza che agisce su un corpo spostamento Lavoro compiuto dalla forza Lavoro compiuto nell’unità di tempo = Velocità di compimento del lavoro 13

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e 3 Lavoro compiuto nell’unità di tempo dalle forze che agiscono sulle superfici del volume (meccanismi molecolari) z Forza per unità di superficie esercitata sulla faccia di normale x dal fluido a x inferiore v y x d. S Px Il fluido a x inferiore esercita una forza Pxd. S sul fluido a x maggiore attraverso la superficie d. S di normale x Forza esercitata dal fluido a x inferiore sulla superficie di normale x 14

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Se vogliamo scrivere il lavoro compiuto nell’unità di tempo dalle forze che agiscono sulla faccia di normale x avremo Che può essere scritto come Lavoro compiuto attraverso la faccia di normale x nell’unità di tempo Forza per unità di superficie esercitata sulla faccia di normale x 15

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Si può scrivere la stessa equazione per le altre facce del volume di controllo Lavoro compiuto attraverso la faccia di normale x Lavoro compiuto attraverso la faccia di normale y Lavoro compiuto attraverso la faccia di normale z Le tensioni sul nostro volume di controllo sono descritte da 9 componenti Si può definire Tensore totale degli sforzi molecolari 16

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Abbiamo definito Tensore totale degli sforzi molecolari Possiamo anche definire un tensore come sommatoria delle sue componenti (costituite da uno scalare) associate a coppie ordinate delle coordinate Un vettore può essere espresso come: 17

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Prodotto diadico Tensore Vedi appendice A Bird-Stewart-Lightfoot 18

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Definendo il prodotto di un tensore per un vettore Come prodotto righe per colonne Che fornisce il vettore Si ottiene il vettore del lavoro per unità di superficie compiuto attraverso le superfici del volume di controllo Lavoro compiuto sulla faccia di normale x 19

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Nota bene 20

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Bilancio di energia: flusso combinato e Flusso di energia combinata Flusso di energia cinetica e Lavoro nell’unità di tempo per unità di superficie interna Flusso diffusivo (conduzione) Dividiamo il tensore degli sforzi in sforzi di pressione e sforzi dovuti ai gradienti di velocità Tensore totale degli sforzi molecolari Pressione Tensore degli sforzi viscosi 21

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Scrittura della eq. di conservazione dell’energia Avevamo ricavato Si ottiene quindi 22

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia rispetto ad osservatore fisso. Coordinate euleriane Abbiamo ottenuto quindi: Velocità di accumulo dell’energia per unità di volume Velocità di out-in dell’energia per unità di volume per convezione out-in Lavoro/tempo compiuto dalle forze di pressione per unità di volume Lavoro/tempo compiuto dalle forze di volume per unità di volume Velocità di out-in dell’energia per unità di volume per diffusione out-in Lavoro/tempo compiuto dalle forze viscose per unità di volume Bilancio di energia per un osservatore fisso nello spazio 23

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane In coordinate euleriane Portando a sinistra il primo termine e mettiamo r in evidenza si ha: Dimostriamo che: 24

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane La derivata rispetto al tempo del primo termine è facendo il prodotto scalare nel secondo termine si ha e facendo le derivate spaziali si ha 25

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane abbiamo ottenuto in forma vettoriale quindi 26

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane Possiamo quindi dire Mettendo in evidenza i fattori comuni =0 Eq. di continuità 27

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane In conclusione la eq. di conservazione dell’energia in coordinate lagrangiane è 28

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Eq. di conservazione della energia termica Se sottraiamo alla equazione di bilancio di energia la eq. di bilancio della energia meccanica si ottiene: Velocità di accumulo dell’energia interna per unità di volume Velocità di in-out dell’energia per unità di volume per diffusione Trasformazione reversibile di energia meccanica in energia interna per unità di volume (compressione/espansione) Trasformazione irreversibile degli sforzi viscosi in energia interna per unità di volume. Per fluidi newtoniani 29

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Equazione dell’energia termica Velocità di accumulo dell’energia interna per unità di volume Velocità di INOUT per conduzione dell’energia interna per unità di volume Velocità reversibile di aumento dell’energia interna per unità di volume per effetto della compressione Velocità irreversibile di aumento dell’energia interna per unità di volume per effetto della dissipazione viscosa 30

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Confronto eq. energia termica e eq. en. meccanica Confrontando le due equazioni si osserva che ci sono 2 termini comuni che compaiono con segni opposti Eq. energia termica Eq. en. meccanica Il primo rappresenta la trasformazione reciproca delle energie meccanica e termica. Può essere positivo o negativo (espansione o compressione) Il secondo: è sempre positivo (fluidi newtoniani) e rappresenta la degradazione irreversibile della energia meccanica (dissipazione viscosa) in termica 31

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore – Equazione energia Prodotto scalare di due tensori. Confronto eq. energia termica e eq. en. meccanica 32