Fenomeni di Trasporto II Trasporto di calore in

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana Bilancio di energia in caso di trasporto nella sola direzione x T Equazione della conduzione monodimensionale in transitorio x x+dx metà lastra B 1

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore in solidi in transitorio - lastra piana Bilancio di energia Le condizioni al contorno tipiche sono: t = 0 T = T(0) uniforme x = 0 d. T/dx = 0 (simmetria) x = B uguaglianza dei flussi T(0) B= semi spessore della lastra 2

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - numero di Biot Condizione al contorno all’interfaccia solido/fluido In genere In caso di cilindro o sfera L=R (oppure D) diverso da Nusselt 3

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - significato fisico del numero di Biot = rapporto dei T oppure delle resistenze Bi >>1 tutto il T è interno (prevale la resistenza interna) Bi <<1 tutto il T è esterno (prevale la resistenza esterna) Per cilindro e sfera la lunghezza caratteristica è R (oppure D), per la lastra piana è il semi spessore della lastra 4

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Profili di T in funzione di Biot T Bi << 1 (Bi 0. 1) T Bi >> 1 (Bi 10) T(1) T(0) T(1) T(t) tempo T T(t= ) 0 B profilo solo esterno x T T(t= ) 0 B x profilo solo interno 5

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Profili di T in funzione di Biot 0. 1 < Bi < 10 T T(0) T(1) T(t) tempo T T(t= ) 0 B x profilo sia interno che esterno 6

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Soluzioni del bilancio in funzione di Biot Bi 1/Bi 0. 1 10 Bilancio globale V cp d. T/dt = -h. A(T-T ) 1 1 10 0. 1 Carte generalizzate con 1/Bi soluzione grafica dell’equazione di bilancio T(x=B) =T Carte Bird B. C. t=0 T=T(0) 7

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Carte generalizzate - Lastra piana Fornisce la T al centro della lastra in funzione del tempo e di Biot 1/Bi BILANCIO GLOBALE BIRD (T(x=0, t)-T )/(T(t=0)- T ) Tempo adimensionale 8

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Carte generalizzate Coord. adimension ale Fornisce T a qualunque x e t in funzione di T al centro allo stesso t e di Biot (T(x, t)-T )/T(x=0, t)-T ) 1/Bi Si ricava dal grafico precedente 9

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Carte generalizzate Bird lastra piana Fig. 11. 1 -1 Tempo adim. Valgono per Biot (tutto il T è interno) T 1=T T 0=T(t=0) Profili di T (adimensionale) nella lastra coordinata adimensionale 10

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore in solidi in transitorio – t 0 y Bilancio di energia t Spazio semi infinito t 0 T = T 0 y=0 T = T 1 y T = T 0 per ogni y per ogni t >0 T 0 x T T 1 11

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore in solidi in transitorio – t 0 per =2 1 risulta erf =0. 995 Spessore di penetrazione erf 0 1 2 Spazio semi infinito Se al tempo t è < B la soluzione vale anche per lastra piana finita Per cilindro e sfera deve essere almeno < R/2 La soluzione quindi vale per tempi “piccoli” 12

Fenomeni di Trasporto II - Trasporto di calore Conduzione in transitorio - Soluzioni del bilancio in funzione di Biot Bi 1/Bi 0. 1 10 Bilancio globale V cp d. T/dt = -h. A(T-T ) 1 1 10 0. 1 Carte generalizzate con 1/Bi soluzione grafica dell’equazione di bilancio T(x=B) =T Carte Bird per t –> 0 B. C. t=0 T=T(0) 13