Esttica Versin Junio de 2019 FSICA GENERAL I

Estática Versión: Junio de 2019

FÍSICA GENERAL I Tema 1: Magnitudes físicas. Unidades y medidas Tema 2: Vectores y sistemas de vectores Tema 3: Estática de sistemas Tema 4: Cinemática del punto Tema 5: Cinemática del sólido rígido Tema 6: Cinemática relativa del punto Tema 3: Estática de sistemas Definiciones de punto material, sólido rígido, masa y fuerza Momentos estáticos respecto a puntos. Centro de masas y teoremas de Guldin Tema 7: Dinámica del punto Ecuaciones universales del equilibrio Tema 8: Trabajo y energía I Reacciones y esfuerzos interiores Tema 9: Trabajo y energía II Rozamiento estático. Leyes de Coulomb Tema 10: Movimiento del punto bajo fuerzas centrales Tema 11: Dinámica del los sistemas I Tema 12: Dinámica de los sistemas II Tema 13: Medios deformables I Tema 14: Medios deformables II Rozamientos a la rodadura y al pivotamiento

PROBLEMAS DE ESTÁTICA • Dada una situación de equilibrio, encontrar las fuerzas de ligadura que la hacen posible. • Dado un sistema material y un conjunto de ligaduras, encontrar la o las posiciones de equilibrio LIGADURAS O VÍNCULOS FUERZAS APLICADAS REACCIONES DE LA LIGADURA O FUERZAS DE LIGADURA CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SISTEMA MATERIAL (1)

¡Atención! Buscamos un sistema de vectores de resultante nula, por tanto podemos calcular el momento del sistema con respecto a cualquier punto CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SISTEMA MATERIAL (2)

CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UN SISTEMA MATERIAL (SISTEMAS

Equilibrio de una barra horizontal sostenida por un cable R mg T

Cálculo de las reacciones en los apoyos de una viga de densidad uniforme RA A RA 0. 75 L mg RB B 2 mg

Calcule, para los dos sistemas dibujados, las componentes de la reacción en A y B expresadas en una referencia cartesiana con origen en A cuyo primer vector es horizontal apuntando de A a B y cuyo segundo vector en vertical apuntando hacia arriba, en función de la fuerza aplicada F. (El peso de los sistemas se considera despreciable) L F 2 L B A F L/3 A B L

Una barra de densidad uniforme se apoya en un suelo horizontal y una pared vertical sometida a su propio peso y a diferentes condiciones físicas de ausencia de fricción en el suelo o la pared. Teniendo en cuenta que para cada caso se han dibujado todas las fuerzas que intervienen, calcule las fuerzas que se solicitan para que la barra esté en equilibrio: M=30 kg En las tres soluciones se toman momentos con respecto al punto de apoyo en el suelo

MOMENTO ESTÁTICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE MASAS O’ O Ai mi A 2 A 1 m 2

MOMENTO ESTÁTICO Y CENTRO DE MASAS (1) mi Ai C El momento estático de una distribución de masas con respecto a su centro de masas es nulo A 2 m 2 A 1 m 1 El momento estático de una distribución de masas es igual al momento estático de toda su masa situada en el centro de masas

MOMENTO ESTÁTICO Y CENTRO DE MASAS (2) mi Ai C O A 2 A 1 m 2

MOMENTO ESTÁTICO Y CENTRO DE MASAS (3) Figuras Compuestas C 1 C 2 z x O M 1 y M 2 M 3 C 3

L L L L/2 L

MOMENTO ESTÁTICO Y CENTRO DE MASAS (4) Figuras Compuestas z con agujeros x O M 2 C 2 y M 2 representa la masa ausente C 1 M 1

• La masa de la viga S A • La posición del centro de masas x dm B

• Las reacciones en los puntos de apoyo A y B …tomando momentos con respecto a A

TEOREMAS DE GULDIN 1º L 2º C y. C A y. C V

Encontrar las coordenadas cartesianas del centro de masas del triángulo de la figura y b x a 2º Teorema de Guldin …realizando un proceso análogo

Encontrar la tensión en la cuerda que sujeta al triángulo de masa m de la figura. T b h Tomando momentos con respecto al punto de apoyo en el suelo

Encontrar las coordenadas cartesianas del centro de masas de la placa semicircular de la figura 2º Teorema de Guldin

Encontrar la tensión en la cuerda que sujeta a la placa semicircular de masa m de la figura. Tomando momentos con respecto al punto de apoyo en el suelo

En el objeto plano de la figura L=1 m. Además tiene densidad uniforme σ=1 kg/m 2. Se pide calcular, con respecto a la referencia dibujada, en su caso: • Su masa en kg • Las coordenadas del centro de masas del triángulo isósceles que corona la pieza en metros • Las coordenadas del centro de masas del objeto completo en metros

Utilizamos el objeto como cartel indicador, atornillándolo a la pared en el punto A que actúa sobre el objeto con reacciones normal, NA, y tangencial, RTA, mientras que el punto B es un apoyo que ejerce sólo reacción normal NB. Se pide calcular los valores de las reacciones mencionadas en N. C • Utilizando la referencia del dibujo, las ecuaciones del equilibrio del sistema son: …de donde se obtiene:

Las distribuciones de masa de la figura son planas y tienen una densidad superficial constante, . El radio de los semicírculos azules es R y el del agujero circular de la figura b es R/2. Calcule las coordenadas del centro de masa de las figuras con respecto a las referencias dibujadas. El centro de masas de la figura “a” se puede calcular a partir de sus simetrías y con el teorema de Guldin para figuras planas

Las distribuciones de masa de la figura son planas y tienen una densidad superficial constante, . El radio de los semicírculos azules es R y el del agujero circular de la figura b es R/2. Calcule las coordenadas del centro de masa de las figuras con respecto a las referencias dibujadas. Conocido el centro de masas de una semiesfera, el centro de masas de la figura “b” se puede calcular a partir la definición; teniendo en cuenta que el momento estático de la figura “b” con respecto al origen de la referencia dibujada es el momento estático de la figura “a” menos el del agujero. La coordenada YC puede calcularse también aplicando el teorema de Guldin

LEYES EMPÍRICAS DEL ROZAMIENTO • La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de un bloque desliza sobre un plano • La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el bloque ¡Cuidado! • La fuerza de rozamiento no depende del área aparente de contacto • La fuerza de rozamiento depende de la naturaleza de las superficies en contacto • Una vez comenzado el movimiento del bloque, la fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad ROZAMIENTO

FUERZAS DE REACCIÓN N Rt P ROZAMIENTO Pn N Pt P

ROZAMIENTO ESTÁTICO Y DINÁMICO N d e P R t< e N R t= d N ROZAMIENTO

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO N Rt mg sen mg cos mg Rt mg sen mg ROZAMIENTO e= tg max N mg cos Rt< emg cos Rt= emg cos =mg sen

CAUSAS DEL ROZAMIENTO Rt Fapl El rozamiento depende de la naturaleza de las superficies en contacto BLOQUE MESA Vínculo perfectamente liso μe=μd=0 ROZAMIENTO INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA ENTRE ÁTOMOS O MOLÉCULAS

Equilibrio de arco de circunferencia sobre una pared vertical lisa y una horizontal con fricción A NA 2 R / mg Rt NB B

Una persona intenta arrastrar una caja de masa M atando una cuerda alrededor y tirando de ella formando un ángulo con la horizontal. Determine la mínima fuerza que tiene que aplicar para iniciar el movimiento si el coeficiente de rozamiento estático es . …en la condición límite que se solicita

Una escalera de longitud L y masa M, reposa sobre una pared sin rozamiento y un suelo rugoso con el que forma un ángulo . Un operario de masa m sube hasta el punto más alto. Calcular: ·La reacción normal del suelo N 1 ·La reacción tangencial del suelo RT 1 ·La reacción normal de la pared N 2 ·El mínimo coeficiente de rozamiento que permite que la escalera no resbale

M=30 kg m=100 kg

Una escalera de longitud L y masa despreciable frente a la masa del usuario se apoya sobre una pared sin fricción y un suelo cuyo coeficiente estático de rozamiento es . Si la escalera forma un ángulo con el suelo, determine la altura máxima, que puede alcanzar una persona que subiese por ella sin que la escalera deslice.

Encontrar el mínimo coeficiente de rozamiento que mantiene en equilibrio al triángulo de masa m la figura T b h Tomando momentos con respecto al punto de apoyo en el suelo

Una viga de densidad uniforme , masa M y longitud L reposa sobre un suelo rugoso formando 45 grados con la horizontal y sostenida con una cuerda horizontal. Calcular la tensión de la cuerda y el mínimo coeficiente de rozamiento estático que mantiene el sistema en equilibrio. Tomando momentos con respecto al punto de apoyo en el suelo

Una viga de densidad uniforme, masa M y longitud L reposa sobre un suelo rugoso formando 45 grados con la horizontal y sostenida con una cuerda de dirección perpendicular a la viga. Calcular la tensión de la cuerda, la reacción normal del suelo y el mínimo coeficiente de rozamiento estático que mantiene el sistema en equilibrio. Tomando momentos con respecto al punto de apoyo en el suelo

Calcule el mínimo coeficiente estático que mantiene en equilibrio el disco de la figura si la inclinación del plano es =60º

T Fr N P Tomando momentos con respecto al centro del disco

En el objeto de la figura es una silla de peso 16 N que está formada por tableros de densidad uniforme de la misma anchura y de las longitudes indicadas donde L=80 cm. Se pide calcular, con respecto a la referencia dibujada. • Las coordenadas del centro de masas Suponiendo una anchura de tablero a y una densidad superficial σ

El valor mínimo que tiene que tener la fuerza F indicada en la figura B para que se inicie el vuelco de la silla en el caso de que el suelo ejerza suficiente fricción y el mínimo coeficiente de fricción estática μE necesario para que la silla vuelque en vez de deslizar Las ecuaciones de equilibrio para una fuerza F actuando sobre el sistema y tomando momentos con respecto al apoyo 1 son: …cuando la silla comienza en vuelco N 2=0 lo que permite determinar F para que comience el vuelco a partir de la tercera ecuación. …de la primera ecuación obtenemos…

Carga máxima en una grúa: condición de vuelco a’ a G 1 P 1 d 1 P’ Q P 2 Cuando la grúa Q vuelca, NA = 0 -P’ - P 1 - P 2 - 2 P - Q + NA + NB= 0 2 c P NB P’a’ - P 1 d 1 - Q a - NA b + NB b= 0 P NA A 2 b B NA = P’(b+a’)/2 b + P 1 (b-d 1)/2 b + + P 2/2 + P + Q (b-a)/2 b NA = P’(b+a’)/2 b + P 1 (b-d 1)/2 b + P 2/2 + P + Q (b-a)/2 b=0 Qmax = P’(b+a’)/(a-b) + P 1 (b-d 1)/(a-b) + P 2 b/(a-b) + P 2 b/(a-b)

Deslizamiento o vuelco de un bloque apoyado sobre un plano que se inclina progresivamente Para que vuelque (en el instante de inicio del vuelco): Para que no deslice: mg sen = Rt e N mg sen h/2 mg cos b/2 mg sen e mg cos tg b/h tg e Rt h b Para que no vuelque: N tg b/h Pt e < b/h Pn e > b/h

OTROS ROZAMIENTOS d P N Mr, max = N fr Mp, max = N fp ROZAMIENTO