Elektrische Schaltungen I Diese Vorlesung diskutiert die mathematische

Elektrische Schaltungen I • Diese Vorlesung diskutiert die mathematische Modellierung einfacher elektrischer linearer Schaltungen. • Die Modellierung führt zunächst immer auf ein System impliziter Algebrodifferentialgleichungen, das dann durch horizontales sowie vertikales Sortieren auf einen Satz expliziter Algebrodifferentialgleichungen zurückgeführt werden kann. • Durch Elimination der algebraischen Variablen kann sodann eine Zustandsraumdarstellung gewonnen werden. 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Inhaltsverzeichnis • Die Komponenten und ihre Modelle • Die Netzwerktopologie und ihre Gleichungen • Ein Beispiel • Horizontales Sortieren • Vertikales Sortieren • Zustandsraumdarstellung • Umformung in die Zustandsraumdarstellung 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Lineare Netzwerkkomponenten I • Widerstände va i R vb u = va – vb u = R·i vb u = va – vb du i = C· dt u • Kapazitäten va i C u • Induktivitäten 20. Oktober, 2004 va i L u vb u = va – vb di u = L· dt Anfang Präsentation

Lineare Netzwerkkomponenten II U 0 • Spannungsquellen va i | + vb U 0 = v b – v a U 0 = f(t) vb u = vb – va I 0 = f(t) U 0 I 0 • Stromquellen va I 0 u • Erde V 0 - V 0 20. Oktober, 2004 V 0 = 0 Anfang Präsentation

Schaltungstopologie • Knoten va ia ib vb ic va = vb = vc ia + ib + ic = 0 vc • Maschen 20. Oktober, 2004 uab va uca vc vb ubc uab + ubc + uca = 0 Anfang Präsentation

Ein Beispiel I 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Regeln für Gleichungssysteme I • Die Komponenten- und Topologiegleichungen enthalten eine gewisse Redundanz. • So können z. B. sämtliche Potentialvariablen (vi) ohne weiteres eliminiert werden. • Die Stromknotengleichung für den Erdknoten ist redundant und wird nicht benötigt. • Die Maschengleichungen werden nur benötigt, falls die Potentialvariablen eliminiert werden. Andernfalls sind die Maschengleichungen redundant. 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Regeln für Gleichungssysteme II • Falls die Potentialvariablen eliminiert werden, definiert jede Netzwerkkomponente zwei Variablen: den Strom (i) durch das Element und die Spannung (u) über dem Element. • Somit werden zwei Gleichungen benötigt, um diese Variablen zu ermitteln. • Eine der Gleichungen ist die konstituierende Gleichung des Elements selbst, die andere stammt von der Topologie. 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Ein Beispiel II Komponentengleichungen: U 0 = f(t) i. C = C· du. C/dt u 1 = R 1 · i 1 u. L = L· di. L/dt u 2 = R 2 · i 2 Knotengleichungen: i 0 = i 1 + i. L i 1 = i 2 + i. C Das Netzwerk enthält 5 Komponenten Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten Maschengleichungen: U 0 = u 1 + u. C u. L = u 1 + u 2 u. C = u 2 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Regeln für horizontales Sortieren I • Die Zeit t darf als bekannt angenommen werden. • Die Zustandsvariablen (Variablen, die in abgeleiteter Form vorkommen) dürfen als bekannt angenommen werden. U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 i 1 = i 2 + i. C u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u. C i. C = C· du. C/dt u. C = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Regeln für horizontales Sortieren II • Gleichungen, die nur eine Unbekannte enthalten, müssen nach dieser aufgelöst werden. • Die so ermittelten Variablen sind nun bekannt. U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 i 1 = i 2 + i. C u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u. C i. C = C· du. C/dt u. C = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Regeln für horizontales Sortieren III • Variablen, die nur in einer Gleichung auftreten, müssen aus dieser ermittelt werden. U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 i 1 = i 2 + i. C u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u. C i. C = C· du. C/dt u. C = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Regeln für horizontales Sortieren IV • Alle Regeln können rekursiv angewandt werden. U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 i 1 = i 2 + i. C u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u. C i. C = C· du. C/dt u. C = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 i 1 = i 2 + i. C u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u. C i. C = C· du. C/dt u. C = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 Der Algorithmus wird fortgesetzt, bis jede Gleichung genau eine Variable definiert, die daraus ermittelt wird. 20. Oktober, 2004 U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 = i 2 + i. C u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u. C i. C = C· du. C/dt u. C = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 Anfang Präsentation

Regeln für horizontales Sortieren V • Das horizontale Sortieren kann nun mittels symbolischer Formelmanipulation durchgeführt werden. U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 = i 2 + i. C i 1 = u 1 /R 1 i. C = i 1 - i 2 u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u. C i 2 = u 2 /R 2 u 1 = U 0 - u. C i. C = C· du. C/dt u. C = u 2 du. C/dt = i. C /C u 2 = u. C u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 di. L/dt = u. L /L u. L = u 1 + u 2 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Regeln für vertikales Sortieren • Die Gleichungen sind unterdessen Zuweisungen. Sie können so sortiert werden, dass keine Variable verwendet wird, bevor sie definiert wurde. U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L U 0 = f(t) i 2 = u 2 /R 2 i 1 = u 1 /R 1 i. C = i 1 - i 2 u 1 = U 0 - u. C i. C = i 1 - i 2 = u 2 /R 2 u 1 = U 0 - u. C i 1 = u 1 /R 1 u. L = u 1 + u 2 du. C/dt = i. C /C u 2 = u. C i 0 = i 1 + i. L du. C/dt = i. C /C di. L/dt = u. L /L u. L = u 1 + u 2 = u. C di. L/dt = u. L /L 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Regeln für Gleichungssysteme III • Alternativ kann sowohl mit den Spannungen wie auch mit den Potentialvariablen gearbeitet werden. • In diesem Fall müssen zusätzliche Gleichungen für die Knotenpotentiale gefunden werden. Dabei handelt es sich um die Potentialgleichungen der Komponenten sowie um die Potentialgleichungen der Knoten. Diese Gleichungen sind im vorher gezeigten Verfahren ignoriert worden. • Die Maschengleichungen sind in diesem Falle redundant und können ignoriert werden. 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Ein Beispiel III Komponentengleichungen: v 1 v 2 v 0 Das Netzwerk enthält 5 Komponenten und 3 Knoten. Wir benötigen 13 Gleichungen in 13 Unbekannten. 20. Oktober, 2004 U 0 = f(t) U 0 = v 1 – v 0 u 1 = R 1 · i 1 u 1 = v 1 – v 2 u 2 = R 2 · i 2 u 2 = v 2 – v 0 i. C = C· du. C/dt u. C = v 2 – v 0 u. L = L· di. L/dt u. L = v 1 – v 0 = 0 Knotengleichungen: i 0 = i 1 + i. L i 1 = i 2 + i. C Anfang Präsentation

Sortieren • • • 20. Oktober, 2004 Das Sortieren geht gleich vor sich wie beim vorherigen Algorithmus. Der Sortieralgorithmus ist bereits rein informatisch abstrakt und hat nichts mehr mit dem elektrischen Schaltkreis zu tun. Somit kann die Modellierungsaufgabe in zwei Teilaufgaben zerlegt werden: 1. Abbildung der physikalischen Topologie auf ein differentialalgebraisches Gleichungssystem. 2. Umformung des Gleichungssystems in eine ausführbare Programmstruktur. Anfang Präsentation

Zustandsraumdarstellung A n n • Lineare Systeme: dx =A·x+B·u dt y=C·x+D·u ; x(t 0) = x 0 • Nichtlineare Systeme: dx = f(x, u, t) dt y = g(x, u, t) ; n u m y p x x(t 0) = x 0 n m C p n D p m B x = Zustandsvektor u = Eingangsgrössenvektor y = Ausgangsgrössenvektor n = Anzahl Zustandsvariabeln m = Anzahl Eingangsgrössen p = Anzahl Ausgangsgrössen 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Umwandlung in Zustandsform I U 0 = f(t) i 2 = u 2 /R 2 u 1 = U 0 - u. C i. C = i 1 - i 2 i 1 = u 1 /R 1 u. L = u 1 + u 2 i 0 = i 1 + i. L du. C/dt = i. C /C u 2 = u. C di. L/dt = u. L /L Für jede Gleichung, welche eine Zustandsableitung definiert, substituieren wir die Variabeln auf der rechten Seite ihrer Definitionsgleichungen, bis die Zustandsableitungen nur noch von Zustandsvariabeln und Eingangsgrössen abhängig sind. 20. Oktober, 2004 du. C/dt = i. C /C = (i 1 - i 2 ) /C = i 1 /C - i 2 /C = u 1 /(R 1 · C) – u 2 /(R 2 · C) = (U 0 - u. C) /(R 1 · C) – u. C /(R 2 · C) di. L/dt = u. L /L = (u 1 + u 2) /L = u 1 /L + u 2 /L = (U 0 - u. C) /L + u. C /L = U 0 /L Anfang Präsentation

Umwandlung in Zustandsform II. Wir setzen: x = u 1 1 1. . x =-[ x u + + ] R ·C x =i u=U. x = 1. u y=u L 1 2 C L 1 1 2 1 1 0 C 2 y = x 1 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Ein Beispiel IV 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation

Referenzen • Cellier, F. E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 3. • Cellier, F. E. (2001), Matlab code of circuit example. 20. Oktober, 2004 Anfang Präsentation