Mathematische Anstze Dynamisches Verhalten Mathematische Anstze Rechenverfahren Mathematische

Mathematische Ansätze Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren Mathematische Ansätze 1

Mathematische Ansätze Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität 15 Unbekannte: x y z xy xz yz u v w Mathematische Ansätze 2

Mathematische Ansätze 3 stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen 6 Materialgleichungen Mathematische Ansätze 3

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen F a F b Virtueller Schnitt Mathematische Ansätze 4

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen F Normalspannungen =d. Fn/d. A d. Fn d. A d. Ft Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=d. F/d. A Tangentialspannungen =d. Ft/d. A Mathematische Ansätze 5

Stoffunabhängige Gleichungen z zx Gleichgewichtsgleichungen zy yz xz xy yx y x Mathematische Ansätze 6

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x/ x + yx/ y + zx/ z + X = 0 y/ y + xy/ x + zy/ z + Y = 0 z/ z + yz/ y + xz/ x + Z = 0 Mathematische Ansätze 7

Mathematische Ansätze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: G [ u + (1 -2 ) – 1 ( / x)] +X = 0 G [ v + (1 -2 ) – 1 ( / y)] +Y = 0 (Navier) G [ w + (1 -2 ) – 1 ( / z)] +Z = 0 Mathematische Ansätze 8

Mathematische Ansätze In den Navier Gleichungen sind: u = 2 u/ x 2+ 2 u/ y 2 + 2 u/ z 2 v = 2 v/ x 2+ 2 v/ y 2 + 2 v/ z 2 w = 2 w/ x 2+ 2 w/ y 2 + 2 w/ z 2 Mathematische Ansätze (Laplace) 9

Mathematische Ansätze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen: x+(1+ )– 1( 2 / x 2)+2 X/ x+ (1 - )– 1( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 y+(1+ )– 1( 2 / y 2)+2 Y/ y+ (1 - )– 1( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 z+(1+ )– 1( 2 / z 2)+2 Z/ z+ (1 - )– 1( X/ x + Y/ y + Z/ z) = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze 10

Mathematische Ansätze xy+(1+ )– 1 ( 2 / x y) + X/ y + Y/ x = 0 xz+(1+ )– 1 ( 2 / x z) + X/ z + Z/ x = 0 yz+(1+ )– 1 ( 2 / y z) + Y/ z + Z/ y = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze 11

Mathematische Ansätze In den Beltrami-Gleichungen sind: x= 2 x/ x 2+ 2 x/ y 2 + 2 x/ z 2 y= 2 y/ x 2+ 2 y/ y 2 + 2 y/ z 2 z = 2 z/ x 2+ 2 z/ y 2 + 2 z/ z 2 Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung Mathematische Ansätze 12

Stoffunabhängige Gleichungen S - ü = 0 Spannungstensor Bechleunigungsvektor Mathematische Ansätze 13

Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: Tensordarstellung: Sx= xex + yxey+ xzez Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez + zez S= x xy xz yx y yz zx zy z S Spannungstensor Mathematische Ansätze 14

Mathematische Ansätze 15 Unbekannte: x y z xy xz yz u v w 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen Mathematische Ansätze 15

Mathematische Ansätze Kompatibilitätsbedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen Mathematische Ansätze 16

Mathematische Ansätze Kompatibilitätsbedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen u=u(x, y, z, t)=ux(x, y, z, t)ex+uy(x, y, z, t)ey+uz(x, y, z, t)ez Mathematische Ansätze 17

Mathematische Ansätze C D u(x+dx, y, dy, z) u(x, y+dy, z) u(x+dx, y, z) B A u(x, y, z) A 1 B 1 ux(x+dx, y, z)=ux(x, y, z)+( ux(x, y, z)/ x)dx Mathematische Ansätze 18

Kinematisches Gleichgewicht x = u/ x u v w y = v/ y z = w/ z xy = v/ x + u/ y xz = w/ x + u/ z yz = w/ x + v/ z Mathematische Ansätze 19

Mathematische Ansätze Kompatibilitätsbedingung: iklm= 0 Riemann Mathematische Ansätze Tensor 4. Stufe 20

Mathematische Ansätze Stoffgesetze: 1 -starres Material 2 -linear-elastisch 3 -nichtlinear-elast. 4 -linear-elastisch-ideal plastisch 5 -starr-plastisch 6 -viskoses Material: Kriechen 7 -viskoses Material: Relaxieren σ 5 1 4 2 3 6 7 ε Mathematische Ansätze 21

Mathematische Ansätze Stoffgesetze: Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Mathematische Ansätze 22

Mathematische Ansätze Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Verzerrungstensor Spannungstensor Mathematische Ansätze 23

Mathematische Ansätze plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungsgeschwindigkeit Mathematische Ansätze 24

Mathematische Ansätze viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Mathematische Ansätze 25

3. Schwingkopf 1. Kopf für Zellsuspension 2. Hülse 4. Sockel M 6 5. Zylinderschraube 6. Beschleunigungssensor Mathematische Ansätze 26

3. Schwingkopf • Gesamtansicht Mathematische Ansätze 27

3. Schwingkopf • FEM - Simulation Mathematische Ansätze 28

3. Schwingkopf • FEM - Analyse Mathematische Ansätze 29

Mathematische Ansätze Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration Mathematische Ansätze 30